Номер 75, страница 17 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

75. Найдите нули функции:

1) $f(x) = 0,3x + 7;$

2) $f(x) = 5x^2 - 3x - 2;$

3) $f(x) = \sqrt{x + 2};$

4) $f(x) = \frac{x^2 - 5x + 4}{x - 4};$

5) $f(x) = \sqrt{25 - x^2};$

6) $f(x) = \sqrt{x^2 + 4};$

7) $f(x) = x\sqrt{x - 2}.$

Нули функции – это значения аргумента (x), при которых значение функции (f(x)) равно нулю. Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение $f(x) = 0$.

1) $f(x) = 0,3x + 7$

Приравниваем функцию к нулю и решаем линейное уравнение:
$0,3x + 7 = 0$
$0,3x = -7$
$x = -\frac{7}{0,3} = -\frac{70}{3} = -23\frac{1}{3}$
Ответ: $-23\frac{1}{3}$.

2) $f(x) = 5x^2 - 3x - 2$

Приравниваем функцию к нулю и решаем квадратное уравнение:
$5x^2 - 3x - 2 = 0$
Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49$.
Находим корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{3 + 7}{10} = \frac{10}{10} = 1$
$x_2 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{3 - 7}{10} = \frac{-4}{10} = -0,4$
Ответ: $-0,4$; $1$.

3) $f(x) = \sqrt{x + 2}$

Сначала найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$.
Теперь решаем уравнение $f(x) = 0$:
$\sqrt{x + 2} = 0$
Возводим обе части в квадрат:
$x + 2 = 0$
$x = -2$
Значение $x = -2$ принадлежит области определения функции.
Ответ: $-2$.

4) $f(x) = \frac{x^2 - 5x + 4}{x - 4}$

Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$.
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Приравниваем числитель к нулю:
$x^2 - 5x + 4 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Корень $x = 4$ не входит в область определения функции, поэтому он не является нулем функции.
Единственным нулем является $x = 1$.
Ответ: $1$.

5) $f(x) = \sqrt{25 - x^2}$

Область определения функции: $25 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 25 \implies -5 \le x \le 5$.
Решаем уравнение $f(x) = 0$:
$\sqrt{25 - x^2} = 0$
Возводим обе части в квадрат:
$25 - x^2 = 0$
$x^2 = 25$
$x = \pm 5$
Оба значения, $x=5$ и $x=-5$, принадлежат области определения функции.
Ответ: $-5$; $5$.

6) $f(x) = \sqrt{x^2 + 4}$

Область определения функции: $x^2 + 4 \ge 0$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 4 \ge 4$. Неравенство выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.
Решаем уравнение $f(x) = 0$:
$\sqrt{x^2 + 4} = 0$
Возводим обе части в квадрат:
$x^2 + 4 = 0$
$x^2 = -4$
Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Ответ: нулей нет.

7) $f(x) = x\sqrt{x - 2}$

Область определения функции: $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.
Решаем уравнение $f(x) = 0$:
$x\sqrt{x - 2} = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $x = 0$. Этот корень не входит в область определения ($0 < 2$), поэтому он не является нулем функции.
2) $\sqrt{x - 2} = 0$. Возводим в квадрат: $x - 2 = 0$, откуда $x = 2$. Этот корень входит в область определения.
Ответ: $2$.