Страница 17 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

74. Какие из линейных функций $y = -15x + 17$; $y = 0,64x - 12$; $y = -0,39x$; $y = 114x + 23$; $y = -x + 4$:

1) возрастающие;

2) убывающие?

Для определения, является ли линейная функция возрастающей или убывающей, необходимо проанализировать знак ее углового коэффициента. Линейная функция имеет общий вид $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент.

• Если коэффициент $k > 0$, то функция является возрастающей.
• Если коэффициент $k < 0$, то функция является убывающей.

Проанализируем каждую из заданных функций:

• Для $y = -15x + 17$, угловой коэффициент $k = -15$. Так как $k < 0$, функция убывающая.
• Для $y = 0,64x - 12$, угловой коэффициент $k = 0,64$. Так как $k > 0$, функция возрастающая.
• Для $y = -0,39x$, угловой коэффициент $k = -0,39$. Так как $k < 0$, функция убывающая.
• Для $y = 114x + 23$, угловой коэффициент $k = 114$. Так как $k > 0$, функция возрастающая.
• Для $y = -x + 4$, угловой коэффициент $k = -1$. Так как $k < 0$, функция убывающая.

1) возрастающие

К возрастающим функциям относятся те, у которых угловой коэффициент $k$ положителен. В данном списке это:

$y = 0,64x - 12$ (поскольку $k = 0,64 > 0$)

$y = 114x + 23$ (поскольку $k = 114 > 0$)

Ответ: $y = 0,64x - 12$; $y = 114x + 23$.

2) убывающие

К убывающим функциям относятся те, у которых угловой коэффициент $k$ отрицателен. В данном списке это:

$y = -15x + 17$ (поскольку $k = -15 < 0$)

$y = -0,39x$ (поскольку $k = -0,39 < 0$)

$y = -x + 4$ (поскольку $k = -1 < 0$)

Ответ: $y = -15x + 17$; $y = -0,39x$; $y = -x + 4$.

75. Найдите нули функции:

1) $f(x) = 0,3x + 7;$

2) $f(x) = 5x^2 - 3x - 2;$

3) $f(x) = \sqrt{x + 2};$

4) $f(x) = \frac{x^2 - 5x + 4}{x - 4};$

5) $f(x) = \sqrt{25 - x^2};$

6) $f(x) = \sqrt{x^2 + 4};$

7) $f(x) = x\sqrt{x - 2}.$

Нули функции – это значения аргумента (x), при которых значение функции (f(x)) равно нулю. Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение $f(x) = 0$.

1) $f(x) = 0,3x + 7$

Приравниваем функцию к нулю и решаем линейное уравнение:
$0,3x + 7 = 0$
$0,3x = -7$
$x = -\frac{7}{0,3} = -\frac{70}{3} = -23\frac{1}{3}$
Ответ: $-23\frac{1}{3}$.

2) $f(x) = 5x^2 - 3x - 2$

Приравниваем функцию к нулю и решаем квадратное уравнение:
$5x^2 - 3x - 2 = 0$
Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49$.
Находим корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{3 + 7}{10} = \frac{10}{10} = 1$
$x_2 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{3 - 7}{10} = \frac{-4}{10} = -0,4$
Ответ: $-0,4$; $1$.

3) $f(x) = \sqrt{x + 2}$

Сначала найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$.
Теперь решаем уравнение $f(x) = 0$:
$\sqrt{x + 2} = 0$
Возводим обе части в квадрат:
$x + 2 = 0$
$x = -2$
Значение $x = -2$ принадлежит области определения функции.
Ответ: $-2$.

4) $f(x) = \frac{x^2 - 5x + 4}{x - 4}$

Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$.
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Приравниваем числитель к нулю:
$x^2 - 5x + 4 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Корень $x = 4$ не входит в область определения функции, поэтому он не является нулем функции.
Единственным нулем является $x = 1$.
Ответ: $1$.

5) $f(x) = \sqrt{25 - x^2}$

Область определения функции: $25 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 25 \implies -5 \le x \le 5$.
Решаем уравнение $f(x) = 0$:
$\sqrt{25 - x^2} = 0$
Возводим обе части в квадрат:
$25 - x^2 = 0$
$x^2 = 25$
$x = \pm 5$
Оба значения, $x=5$ и $x=-5$, принадлежат области определения функции.
Ответ: $-5$; $5$.

6) $f(x) = \sqrt{x^2 + 4}$

Область определения функции: $x^2 + 4 \ge 0$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 4 \ge 4$. Неравенство выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.
Решаем уравнение $f(x) = 0$:
$\sqrt{x^2 + 4} = 0$
Возводим обе части в квадрат:
$x^2 + 4 = 0$
$x^2 = -4$
Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Ответ: нулей нет.

7) $f(x) = x\sqrt{x - 2}$

Область определения функции: $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.
Решаем уравнение $f(x) = 0$:
$x\sqrt{x - 2} = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $x = 0$. Этот корень не входит в область определения ($0 < 2$), поэтому он не является нулем функции.
2) $\sqrt{x - 2} = 0$. Возводим в квадрат: $x - 2 = 0$, откуда $x = 2$. Этот корень входит в область определения.
Ответ: $2$.

76. Докажите, что функция:

1) $f(x) = \frac{4}{x-1}$ убывает на промежутке $(1; +\infty)$;

2) $f(x) = x^2 - 2x$ возрастает на промежутке $[1; +\infty)$.

Чтобы доказать, что функция убывает на заданном промежутке, необходимо показать, что для любых двух значений $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) < f(x_1)$.

Возьмем два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(1; +\infty)$ так, что $1 < x_1 < x_2$.

Сравним значения функции в этих точках: $f(x_1) = \frac{4}{x_1-1}$ и $f(x_2) = \frac{4}{x_2-1}$.

Рассмотрим разность $f(x_2) - f(x_1)$:

$f(x_2) - f(x_1) = \frac{4}{x_2-1} - \frac{4}{x_1-1} = \frac{4(x_1-1) - 4(x_2-1)}{(x_2-1)(x_1-1)} = \frac{4x_1 - 4 - 4x_2 + 4}{(x_2-1)(x_1-1)} = \frac{4(x_1-x_2)}{(x_1-1)(x_2-1)}$.

Теперь оценим знак полученного выражения:

1. Так как по условию $x_1 < x_2$, то разность $x_1 - x_2 < 0$. Следовательно, числитель $4(x_1-x_2)$ отрицателен.

2. Так как $x_1$ и $x_2$ принадлежат промежутку $(1; +\infty)$, то $x_1 > 1$ и $x_2 > 1$. Отсюда следует, что $x_1 - 1 > 0$ и $x_2 - 1 > 0$.

3. Знаменатель $(x_1-1)(x_2-1)$ является произведением двух положительных чисел, следовательно, он положителен.

Таким образом, вся дробь $\frac{4(x_1-x_2)}{(x_1-1)(x_2-1)}$ имеет отрицательный знак, так как числитель отрицателен, а знаменатель положителен.

Следовательно, $f(x_2) - f(x_1) < 0$, что равносильно $f(x_2) < f(x_1)$.

Мы показали, что для любых $x_1, x_2$ из промежутка $(1; +\infty)$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется $f(x_1) > f(x_2)$. Это по определению означает, что функция $f(x)$ убывает на данном промежутке.

Ответ: Доказано.

Чтобы доказать, что функция возрастает на заданном промежутке, необходимо показать, что для любых двух значений $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

Возьмем два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ из промежутка $[1; +\infty)$ так, что $1 \le x_1 < x_2$.

Сравним значения функции в этих точках, рассмотрев их разность $f(x_2) - f(x_1)$:

$f(x_2) - f(x_1) = (x_2^2 - 2x_2) - (x_1^2 - 2x_1) = (x_2^2 - x_1^2) - (2x_2 - 2x_1) = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1) - 2(x_2 - x_1)$.

Вынесем общий множитель $(x_2 - x_1)$ за скобки:

$f(x_2) - f(x_1) = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1 - 2)$.

Теперь оценим знак полученного произведения:

1. Так как по условию $x_1 < x_2$, то множитель $(x_2 - x_1)$ положителен.

2. Так как $x_1 \ge 1$ и $x_2 > x_1$, то $x_2 > 1$. Сложив неравенства $x_1 \ge 1$ и $x_2 > 1$, получим $x_1 + x_2 > 1 + 1 = 2$. Следовательно, множитель $(x_1 + x_2 - 2)$ также положителен.

Произведение двух положительных множителей является положительным числом: $(x_2 - x_1)(x_2 + x_1 - 2) > 0$.

Следовательно, $f(x_2) - f(x_1) > 0$, что равносильно $f(x_2) > f(x_1)$.

Мы показали, что для любых $x_1, x_2$ из промежутка $[1; +\infty)$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется $f(x_1) < f(x_2)$. Это по определению означает, что функция $f(x)$ возрастает на данном промежутке.

Ответ: Доказано.

77. При каких значениях $a$ точка $A(a; 27)$ принадлежит графику функции $y = 3x^2$?

Чтобы точка $A(a; 27)$ принадлежала графику функции $y = 3x^2$, ее координаты должны удовлетворять уравнению этой функции. Координаты точки $A$ — это $x = a$ и $y = 27$.

Подставим эти значения в уравнение функции:
$27 = 3 \cdot a^2$

Теперь решим полученное уравнение относительно $a$. Для этого сначала разделим обе части уравнения на 3:
$\frac{27}{3} = a^2$
$9 = a^2$

Чтобы найти $a$, нужно извлечь квадратный корень из 9. Уравнение $a^2 = 9$ имеет два корня:
$a = \sqrt{9}$ и $a = -\sqrt{9}$
$a_1 = 3$
$a_2 = -3$

Следовательно, точка $A(a; 27)$ принадлежит графику функции $y = 3x^2$ при двух значениях $a$: 3 и -3.

Ответ: $a = -3$ или $a = 3$.

78. Известно, что точка $D(2; -7)$ принадлежит графику функции $y = ax^2$. Найдите значение $a$.

По условию, точка $D(2; -7)$ принадлежит графику функции $y = ax^2$. Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению функции.

Подставим координаты $x = 2$ и $y = -7$ в уравнение функции:

$-7 = a \cdot (2)^2$

Выполним вычисление:

$-7 = a \cdot 4$

Теперь выразим $a$ из этого уравнения, разделив обе части на 4:

$a = \frac{-7}{4}$

$a = -1.75$

Таким образом, значение коэффициента $a$ равно $-1.75$.

Ответ: $a = -1.75$

79. На рисунке 3 изображён график функции $y = f(x)$. Постройте график функции:

1) $y = 2f(x)$;

2) $y = -f(x)$;

3) $y = -\frac{1}{3}f(x)$.

Рис. 3

Для построения графиков заданных функций, мы будем использовать преобразования графика исходной функции $y = f(x)$. Для этого сначала определим координаты нескольких характерных точек на исходном графике:

• Точки пересечения с осью абсцисс (нули функции): $(-4, 0)$ и $(1, 0)$.
• Точка локального максимума: $(-2, 5)$.
• Точка локального минимума: $(2, -1)$.
• Точка пересечения с осью ординат: $(0, 3)$.

1) y = 2f(x);

Чтобы построить график функции $y = 2f(x)$, нужно выполнить преобразование графика функции $y = f(x)$. Данное преобразование представляет собой растяжение графика вдоль оси ординат (оси $y$) в 2 раза от оси абсцисс. Это означает, что для каждой точки $(x_0, y_0)$ на исходном графике, соответствующая точка на новом графике будет иметь координаты $(x_0, 2y_0)$. Абсцисса каждой точки остается прежней, а ордината умножается на 2.

Применим это преобразование к ключевым точкам:

• Точки $(-4, 0)$ и $(1, 0)$ останутся на месте, так как их ординаты равны нулю ($2 \cdot 0 = 0$).
• Точка локального максимума $(-2, 5)$ перейдет в точку $(-2, 2 \cdot 5)$, то есть $(-2, 10)$.
• Точка локального минимума $(2, -1)$ перейдет в точку $(2, 2 \cdot (-1))$, то есть $(2, -2)$.
• Точка пересечения с осью $y$ $(0, 3)$ перейдет в точку $(0, 2 \cdot 3)$, то есть $(0, 6)$.

Соединив новые точки плавной линией, сохраняя общую форму исходного графика, мы получим график функции $y = 2f(x)$.

Ответ: График функции $y = 2f(x)$ получается из графика $y = f(x)$ путем растяжения вдоль оси $y$ в 2 раза. Нули функции остаются в точках $x=-4$ и $x=1$. Локальный максимум будет в точке $(-2, 10)$, локальный минимум — в точке $(2, -2)$, а пересечение с осью $y$ — в точке $(0, 6)$.

2) y = -f(x);

График функции $y = -f(x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси $x$). Для каждой точки $(x_0, y_0)$ на исходном графике, соответствующая точка на новом графике будет иметь координаты $(x_0, -y_0)$. Абсцисса каждой точки остается прежней, а знак ординаты меняется на противоположный.

Применим это преобразование к ключевым точкам:

• Точки $(-4, 0)$ и $(1, 0)$ останутся на месте, так как их ординаты равны нулю ($-0 = 0$).
• Точка локального максимума $(-2, 5)$ перейдет в точку $(-2, -5)$, которая станет точкой локального минимума.
• Точка локального минимума $(2, -1)$ перейдет в точку $(2, -(-1))$, то есть $(2, 1)$, которая станет точкой локального максимума.
• Точка пересечения с осью $y$ $(0, 3)$ перейдет в точку $(0, -3)$.

Соединив новые точки плавной линией, мы получим график функции $y = -f(x)$, который является "перевернутой" версией исходного графика.

Ответ: График функции $y = -f(x)$ получается из графика $y = f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси $x$. Нули функции остаются в точках $x=-4$ и $x=1$. Локальный максимум исходной функции становится локальным минимумом в точке $(-2, -5)$, локальный минимум — локальным максимумом в точке $(2, 1)$, а пересечение с осью $y$ — в точке $(0, -3)$.

3) y = $-\frac{1}{3}f(x)$.

Построение графика функции $y = -\frac{1}{3}f(x)$ включает два преобразования графика $y = f(x)$: симметричное отражение относительно оси $x$ и сжатие вдоль оси $y$ в 3 раза. Для каждой точки $(x_0, y_0)$ на исходном графике, соответствующая точка на новом графике будет иметь координаты $(x_0, -\frac{1}{3}y_0)$. Абсцисса каждой точки остается прежней, а ордината умножается на коэффициент $-\frac{1}{3}$.

Применим это преобразование к ключевым точкам:

• Точки $(-4, 0)$ и $(1, 0)$ останутся на месте, так как их ординаты равны нулю.
• Точка локального максимума $(-2, 5)$ перейдет в точку $(-2, -\frac{1}{3} \cdot 5)$, то есть $(-2, -\frac{5}{3})$. Эта точка будет локальным минимумом.
• Точка локального минимума $(2, -1)$ перейдет в точку $(2, -\frac{1}{3} \cdot (-1))$, то есть $(2, \frac{1}{3})$. Эта точка будет локальным максимумом.
• Точка пересечения с осью $y$ $(0, 3)$ перейдет в точку $(0, -\frac{1}{3} \cdot 3)$, то есть $(0, -1)$.

Новый график будет отражен относительно оси $x$ и "сплюснут" по вертикали в 3 раза по сравнению с исходным.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{3}f(x)$ получается из графика $y=f(x)$ путем отражения относительно оси $x$ и сжатия к оси $x$ в 3 раза. Нули функции остаются в точках $x=-4$ и $x=1$. Локальный максимум исходной функции становится локальным минимумом в точке $(-2, -\frac{5}{3})$, локальный минимум — локальным максимумом в точке $(2, \frac{1}{3})$, а пересечение с осью $y$ — в точке $(0, -1)$.