Страница 10 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

42. Запишите все целые числа, принадлежащие промежутку:

1) $[4; 8];$

2) $(3,7; 9];$

3) $[-4,8; 2];$

4) $(-3; 3).$

1) Промежуток $[4; 8]$ задает все числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $4 \le x \le 8$. Квадратные скобки означают, что концы промежутка (числа 4 и 8) также входят в него. Требуется найти все целые числа в этом диапазоне.
Начнем с наименьшего целого числа, равного 4, и будем перечислять все последующие целые числа до 8 включительно.
Это числа: 4, 5, 6, 7, 8.
Ответ: 4, 5, 6, 7, 8.

2) Промежуток $(3,7; 9]$ задает все числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $3,7 < x \le 9$. Круглая скобка слева означает, что число 3,7 не входит в промежуток (строгое неравенство), а квадратная скобка справа означает, что число 9 входит в промежуток (нестрогое неравенство).
Наименьшее целое число, которое больше 3,7, это 4. Наибольшее целое число, которое меньше или равно 9, это 9.
Перечислим все целые числа от 4 до 9 включительно: 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Ответ: 4, 5, 6, 7, 8, 9.

3) Промежуток $[-4,8; 2]$ задает все числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $-4,8 \le x \le 2$. Квадратные скобки означают, что оба конца промежутка входят в него.
Наименьшее целое число, которое больше или равно -4,8, это -4. Наибольшее целое число, которое меньше или равно 2, это 2.
Перечислим все целые числа от -4 до 2 включительно: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2.
Ответ: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2.

4) Промежуток $(-3; 3)$ задает все числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $-3 < x < 3$. Круглые скобки означают, что оба конца промежутка (числа -3 и 3) не входят в него.
Наименьшее целое число, которое больше -3, это -2. Наибольшее целое число, которое меньше 3, это 2.
Перечислим все целые числа от -2 до 2 включительно: -2, -1, 0, 1, 2.
Ответ: -2, -1, 0, 1, 2.

43. Укажите наибольшее и наименьшее целые числа, принадлежащие промежутку:

1) $[-10; -5];$

2) $(6; 12].$

1) Рассматривается промежуток $[-10; -5]$.

Этот тип записи обозначает числовой отрезок. Квадратные скобки означают, что концы промежутка, числа $-10$ и $-5$, включаются в него. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-10 \le x \le -5$.

Целые числа, которые удовлетворяют этому неравенству, это: $-10, -9, -8, -7, -6, -5$.

Из этого списка чисел нужно выбрать наименьшее и наибольшее.

Наименьшее целое число — это самое левое число на числовой прямой, то есть $-10$.

Наибольшее целое число — это самое правое число на числовой прямой, то есть $-5$.

Ответ: наименьшее целое число — $-10$, наибольшее целое число — $-5$.

2) Рассматривается промежуток $(6; 12]$.

Этот тип записи обозначает полуинтервал. Круглая скобка возле числа $6$ означает, что оно не включается в промежуток (строгое неравенство). Квадратная скобка возле числа $12$ означает, что оно включается в промежуток (нестрогое неравенство). Это можно записать в виде двойного неравенства: $6 < x \le 12$.

Мы ищем целые числа, которые строго больше $6$ и при этом меньше или равны $12$.

Первое целое число, которое больше $6$, это $7$. Последним целым числом в этом промежутке является $12$, так как оно удовлетворяет условию $x \le 12$.

Целые числа, принадлежащие этому промежутку: $7, 8, 9, 10, 11, 12$.

Из этого списка чисел наименьшим является $7$.

Наибольшим является $12$.

Ответ: наименьшее целое число — $7$, наибольшее целое число — $12$.

44. Изобразите на координатной прямой и запишите пересечение промежутков:

1) $ [-2; 6] $ и $ [3; 8] $

2) $ [4; 7] $ и $ (4; 9] $

3) $ (-\infty; 5,2) $ и $ (4,3; +\infty) $

4) $ (-\infty; 3,7) $ и $ (3,9; +\infty) $

5) $ [10; +\infty) $ и $ [13,4; +\infty) $

6) $ [6; 10] $ и $ [7,3; 8] $

1)

Чтобы найти пересечение промежутков $[-2; 6]$ и $[3; 8]$, изобразим их на координатной прямой.
Промежуток $[-2; 6]$ — это множество всех чисел $x$, для которых выполняется неравенство $-2 \le x \le 6$. На координатной прямой это отрезок, ограниченный закрашенными точками $-2$ и $6$.
Промежуток $[3; 8]$ — это множество всех чисел $x$, для которых выполняется неравенство $3 \le x \le 8$. На координатной прямой это отрезок, ограниченный закрашенными точками $3$ и $8$.
Пересечением двух промежутков является их общая часть. Наложив один промежуток на другой, мы увидим, что их общая часть — это множество чисел, которые больше или равны $3$ и одновременно меньше или равны $6$.
Таким образом, пересечение этих промежутков есть отрезок $[3; 6]$.
Запись операции: $[-2; 6] \cap [3; 8] = [3; 6]$.
Ответ: $[3; 6]$.

2)

Найдем пересечение промежутков $[4; 7]$ и $(4; 9]$.
Промежуток $[4; 7]$ — это отрезок, включающий все числа $x$, такие что $4 \le x \le 7$. Точки $4$ и $7$ закрашены.
Промежуток $(4; 9]$ — это полуинтервал, включающий все числа $x$, такие что $4 < x \le 9$. Точка $4$ выколота, а точка $9$ закрашена.
Их общей частью будут все числа, которые находятся между $4$ и $7$. При этом число $4$ не входит в пересечение, так как оно не принадлежит второму промежутку. Число $7$ входит в пересечение, так как оно принадлежит обоим промежуткам.
Следовательно, пересечение — это полуинтервал $(4; 7]$.
Запись операции: $[4; 7] \cap (4; 9] = (4; 7]$.
Ответ: $(4; 7]$.

3)

Найдем пересечение промежутков $(-\infty; 5,2)$ и $(4,3; +\infty)$.
Промежуток $(-\infty; 5,2)$ — это открытый луч, состоящий из всех чисел, меньших $5,2$ ($x < 5,2$). На прямой это вся область левее выколотой точки $5,2$.
Промежуток $(4,3; +\infty)$ — это открытый луч, состоящий из всех чисел, больших $4,3$ ($x > 4,3$). На прямой это вся область правее выколотой точки $4,3$.
Пересечением будут числа, которые одновременно меньше $5,2$ и больше $4,3$. Это числа, заключенные между $4,3$ и $5,2$.
Таким образом, пересечением является интервал $(4,3; 5,2)$.
Запись операции: $(-\infty; 5,2) \cap (4,3; +\infty) = (4,3; 5,2)$.
Ответ: $(4,3; 5,2)$.

4)

Найдем пересечение промежутков $(-\infty; 3,7)$ и $(3,9; +\infty)$.
Первый промежуток $(-\infty; 3,7)$ — это все числа, которые строго меньше $3,7$.
Второй промежуток $(3,9; +\infty)$ — это все числа, которые строго больше $3,9$.
На координатной прямой эти два промежутка не имеют общих точек. Не существует числа, которое было бы одновременно меньше $3,7$ и больше $3,9$.
Следовательно, их пересечение является пустым множеством, которое обозначается символом $\emptyset$.
Запись операции: $(-\infty; 3,7) \cap (3,9; +\infty) = \emptyset$.
Ответ: $\emptyset$.

5)

Найдем пересечение промежутков $[10; +\infty)$ и $[13,4; +\infty)$.
Промежуток $[10; +\infty)$ — это луч, включающий все числа $x$, такие что $x \ge 10$.
Промежуток $[13,4; +\infty)$ — это луч, включающий все числа $x$, такие что $x \ge 13,4$.
На координатной прямой оба луча направлены вправо. Общая часть начинается с большей из двух начальных точек. Так как $13,4 > 10$, то любое число, большее или равное $13,4$, также будет больше или равно $10$.
Таким образом, пересечением является промежуток $[13,4; +\infty)$.
Запись операции: $[10; +\infty) \cap [13,4; +\infty) = [13,4; +\infty)$.
Ответ: $[13,4; +\infty)$.

6)

Найдем пересечение промежутков $[6; 10]$ и $[7,3; 8]$.
Промежуток $[6; 10]$ — это отрезок, включающий все числа от $6$ до $10$ включительно.
Промежуток $[7,3; 8]$ — это отрезок, включающий все числа от $7,3$ до $8$ включительно.
Изобразив эти отрезки на координатной прямой, мы видим, что второй отрезок $[7,3; 8]$ полностью содержится внутри первого отрезка $[6; 10]$, так как $6 \le 7,3$ и $8 \le 10$.
Следовательно, их пересечением будет меньший из отрезков.
Запись операции: $[6; 10] \cap [7,3; 8] = [7,3; 8]$.
Ответ: $[7,3; 8]$.

45. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} 5x > -25, \\ -7x > 14; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 6x - 7 \ge 4x - 3, \\ 3x + 16 \ge 8x - 4; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 0.3(x - 6) \le 0.5x + 1, \\ 4x + 7 > 2(x + 6.5); \end{cases}$

4) $\begin{cases} 3x(x - 7) - x(4 + 3x) < 5, \\ 12x^2 - (2x - 3)(6x + 4) < 17; \end{cases}$

5) $\begin{cases} \frac{5x - 4}{6} - 1 > \frac{2x + 1}{3}, \\ \frac{3x + 1}{4} - 2x > 2.5 - \frac{3x - 2}{8}; \end{cases}$

6) $\begin{cases} (5x - 1)^2 + 4x \le (5x - 1)(5x + 1) - 4x, \\ \frac{2x - 7}{6} + \frac{7x + 3}{3} \le 3 - \frac{2 - x}{2}. \end{cases}$

1)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 5x > -25, \\ -7x > 14; \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$5x > -25$

$x > \frac{-25}{5}$

$x > -5$

Решим второе неравенство:

$-7x > 14$

При делении на отрицательное число ($-7$) знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{14}{-7}$

$x < -2$

Найдем пересечение решений $x > -5$ и $x < -2$. Решением системы является интервал, в котором выполняются оба неравенства: $-5 < x < -2$.

Ответ: $x \in (-5; -2)$.

2)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 6x - 7 \geq 4x - 3, \\ 3x + 16 \geq 8x - 4; \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$6x - 7 \geq 4x - 3$

$6x - 4x \geq -3 + 7$

$2x \geq 4$

$x \geq 2$

Решим второе неравенство:

$3x + 16 \geq 8x - 4$

$16 + 4 \geq 8x - 3x$

$20 \geq 5x$

$4 \geq x$, или $x \leq 4$

Найдем пересечение решений $x \geq 2$ и $x \leq 4$. Решением системы является отрезок, в котором выполняются оба неравенства: $2 \leq x \leq 4$.

Ответ: $x \in [2; 4]$.

3)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 0,3(x - 6) \leq 0,5x + 1, \\ 4x + 7 > 2(x + 6,5); \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$0,3x - 1,8 \leq 0,5x + 1$

$-1,8 - 1 \leq 0,5x - 0,3x$

$-2,8 \leq 0,2x$

$\frac{-2,8}{0,2} \leq x$

$-14 \leq x$, или $x \geq -14$

Решим второе неравенство:

$4x + 7 > 2x + 13$

$4x - 2x > 13 - 7$

$2x > 6$

$x > 3$

Найдем пересечение решений $x \geq -14$ и $x > 3$. Решением системы является интервал, в котором выполняются оба неравенства: $x > 3$.

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

4)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 3x(x - 7) - x(4 + 3x) < 5, \\ 12x^2 - (2x - 3)(6x + 4) < 17; \end{cases} $

Решим первое неравенство, раскрыв скобки:

$3x^2 - 21x - 4x - 3x^2 < 5$

Приведем подобные слагаемые:

$-25x < 5$

Разделим на $-25$, изменив знак неравенства на противоположный:

$x > \frac{5}{-25}$

$x > -0,2$

Решим второе неравенство, раскрыв скобки:

$12x^2 - (12x^2 + 8x - 18x - 12) < 17$

$12x^2 - 12x^2 + 10x + 12 < 17$

Приведем подобные слагаемые:

$10x + 12 < 17$

$10x < 5$

$x < \frac{5}{10}$

$x < 0,5$

Найдем пересечение решений $x > -0,2$ и $x < 0,5$. Решением системы является интервал: $-0,2 < x < 0,5$.

Ответ: $x \in (-0,2; 0,5)$.

5)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{5x - 4}{6} - 1 > \frac{2x + 1}{3}, \\ \frac{3x + 1}{4} - 2x > 2,5 - \frac{3x - 2}{8}; \end{cases} $

Решим первое неравенство. Умножим обе части на общий знаменатель 6:

$6 \cdot (\frac{5x - 4}{6}) - 6 \cdot 1 > 6 \cdot (\frac{2x + 1}{3})$

$5x - 4 - 6 > 2(2x + 1)$

$5x - 10 > 4x + 2$

$5x - 4x > 10 + 2$

$x > 12$

Решим второе неравенство. Умножим обе части на общий знаменатель 8:

$8 \cdot (\frac{3x + 1}{4}) - 8 \cdot 2x > 8 \cdot 2,5 - 8 \cdot (\frac{3x - 2}{8})$

$2(3x + 1) - 16x > 20 - (3x - 2)$

$6x + 2 - 16x > 20 - 3x + 2$

$-10x + 2 > 22 - 3x$

$-10x + 3x > 22 - 2$

$-7x > 20$

Разделим на $-7$, изменив знак неравенства на противоположный:

$x < -\frac{20}{7}$

Найдем пересечение решений $x > 12$ и $x < -20/7$. Поскольку нет чисел, которые одновременно больше 12 и меньше $-20/7$, система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

6)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} (5x - 1)^2 + 4x \leq (5x - 1)(5x + 1) - 4x, \\ \frac{2x - 7}{6} + \frac{7x + 3}{3} \leq 3 - \frac{2 - x}{2}; \end{cases} $

Решим первое неравенство. Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ и $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

$(25x^2 - 10x + 1) + 4x \leq (25x^2 - 1) - 4x$

$25x^2 - 6x + 1 \leq 25x^2 - 4x - 1$

Уберем $25x^2$ из обеих частей:

$-6x + 1 \leq -4x - 1$

$1 + 1 \leq -4x + 6x$

$2 \leq 2x$

$1 \leq x$, или $x \geq 1$

Решим второе неравенство. Умножим обе части на общий знаменатель 6:

$6 \cdot (\frac{2x - 7}{6}) + 6 \cdot (\frac{7x + 3}{3}) \leq 6 \cdot 3 - 6 \cdot (\frac{2 - x}{2})$

$(2x - 7) + 2(7x + 3) \leq 18 - 3(2 - x)$

$2x - 7 + 14x + 6 \leq 18 - 6 + 3x$

$16x - 1 \leq 12 + 3x$

$16x - 3x \leq 12 + 1$

$13x \leq 13$

$x \leq 1$

Найдем пересечение решений $x \geq 1$ и $x \leq 1$. Единственное число, удовлетворяющее обоим условиям, это $x = 1$.

Ответ: $x = 1$.

46. Сколько целых решений имеет система неравенств:

1) $\begin{cases} 6x - 9 < 3x + 15 \\ 7 - 2x > 13 - 5x \end{cases}$

2) $\begin{cases} 8x + 20 \geq 3x + 5 \\ 2x + 1 \geq 4x - 5 \end{cases}$

3) $\begin{cases} 5x - 1 > 2x + 4 \\ 10x - 5 \leq 3x + 13 \end{cases}$

4) $\begin{cases} \frac{5x+3}{2} - 1 \geq 3x \\ (x+1)(x-4) - 2 \leq (x+2)(x-3) - x? \end{cases}$

1) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 6x - 9 < 3x + 15 \\ 7 - 2x > 13 - 5x \end{cases}$

Сначала решим первое неравенство: $6x - 9 < 3x + 15$. Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа в правую: $6x - 3x < 15 + 9$, что дает $3x < 24$. Разделив обе части на 3, получим $x < 8$.

Теперь решим второе неравенство: $7 - 2x > 13 - 5x$. Аналогично, $5x - 2x > 13 - 7$, что дает $3x > 6$. Разделив обе части на 3, получим $x > 2$.

Решением системы является пересечение полученных множеств: $2 < x < 8$.

Целыми решениями в этом интервале являются числа 3, 4, 5, 6, 7. Их количество равно 5.

Ответ: 5

2) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 8x + 20 \ge 3x + 5 \\ 2x + 1 \ge 4x - 5 \end{cases}$

Решаем первое неравенство: $8x + 20 \ge 3x + 5$. Переносим слагаемые: $8x - 3x \ge 5 - 20$, откуда $5x \ge -15$. Делим на 5: $x \ge -3$.

Решаем второе неравенство: $2x + 1 \ge 4x - 5$. Переносим слагаемые: $1 + 5 \ge 4x - 2x$, откуда $6 \ge 2x$. Делим на 2: $3 \ge x$ или $x \le 3$.

Решением системы является пересечение множеств: $-3 \le x \le 3$.

Целыми решениями в этом отрезке являются числа -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. Их количество равно 7.

Ответ: 7

3) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 5x - 1 > 2x + 4 \\ 10x - 5 \le 3x + 13 \end{cases}$

Решаем первое неравенство: $5x - 1 > 2x + 4$. Переносим слагаемые: $5x - 2x > 4 + 1$, что дает $3x > 5$. Отсюда $x > \frac{5}{3}$.

Решаем второе неравенство: $10x - 5 \le 3x + 13$. Переносим слагаемые: $10x - 3x \le 13 + 5$, что дает $7x \le 18$. Отсюда $x \le \frac{18}{7}$.

Решением системы является пересечение множеств: $\frac{5}{3} < x \le \frac{18}{7}$.

Поскольку $\frac{5}{3} \approx 1,67$ и $\frac{18}{7} \approx 2,57$, единственным целым числом в интервале $(1.67; 2.57]$ является 2. Таким образом, система имеет одно целое решение.

Ответ: 1

4) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{5x + 3}{2} - 1 \ge 3x \\ (x + 1)(x - 4) - 2 \le (x + 2)(x - 3) - x \end{cases}$

Решаем первое неравенство: $\frac{5x + 3}{2} - 1 \ge 3x$. Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от знаменателя: $5x + 3 - 2 \ge 6x$. Упрощаем: $5x + 1 \ge 6x$, откуда $1 \ge 6x - 5x$, то есть $x \le 1$.

Решаем второе неравенство: $(x + 1)(x - 4) - 2 \le (x + 2)(x - 3) - x$. Раскроем скобки в обеих частях: $(x^2 - 3x - 4) - 2 \le (x^2 - x - 6) - x$. Упрощаем: $x^2 - 3x - 6 \le x^2 - 2x - 6$. Сокращаем $x^2$ и -6 с обеих сторон: $-3x \le -2x$. Переносим слагаемые: $0 \le -2x + 3x$, откуда $x \ge 0$.

Решением системы является пересечение множеств: $0 \le x \le 1$.

Целыми решениями в этом отрезке являются числа 0 и 1. Их количество равно 2.

Ответ: 2