Номер 45, страница 10 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

45. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} 5x > -25, \\ -7x > 14; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 6x - 7 \ge 4x - 3, \\ 3x + 16 \ge 8x - 4; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 0.3(x - 6) \le 0.5x + 1, \\ 4x + 7 > 2(x + 6.5); \end{cases}$

4) $\begin{cases} 3x(x - 7) - x(4 + 3x) < 5, \\ 12x^2 - (2x - 3)(6x + 4) < 17; \end{cases}$

5) $\begin{cases} \frac{5x - 4}{6} - 1 > \frac{2x + 1}{3}, \\ \frac{3x + 1}{4} - 2x > 2.5 - \frac{3x - 2}{8}; \end{cases}$

6) $\begin{cases} (5x - 1)^2 + 4x \le (5x - 1)(5x + 1) - 4x, \\ \frac{2x - 7}{6} + \frac{7x + 3}{3} \le 3 - \frac{2 - x}{2}. \end{cases}$

1)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 5x > -25, \\ -7x > 14; \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$5x > -25$

$x > \frac{-25}{5}$

$x > -5$

Решим второе неравенство:

$-7x > 14$

При делении на отрицательное число ($-7$) знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{14}{-7}$

$x < -2$

Найдем пересечение решений $x > -5$ и $x < -2$. Решением системы является интервал, в котором выполняются оба неравенства: $-5 < x < -2$.

Ответ: $x \in (-5; -2)$.

2)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 6x - 7 \geq 4x - 3, \\ 3x + 16 \geq 8x - 4; \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$6x - 7 \geq 4x - 3$

$6x - 4x \geq -3 + 7$

$2x \geq 4$

$x \geq 2$

Решим второе неравенство:

$3x + 16 \geq 8x - 4$

$16 + 4 \geq 8x - 3x$

$20 \geq 5x$

$4 \geq x$, или $x \leq 4$

Найдем пересечение решений $x \geq 2$ и $x \leq 4$. Решением системы является отрезок, в котором выполняются оба неравенства: $2 \leq x \leq 4$.

Ответ: $x \in [2; 4]$.

3)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 0,3(x - 6) \leq 0,5x + 1, \\ 4x + 7 > 2(x + 6,5); \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$0,3x - 1,8 \leq 0,5x + 1$

$-1,8 - 1 \leq 0,5x - 0,3x$

$-2,8 \leq 0,2x$

$\frac{-2,8}{0,2} \leq x$

$-14 \leq x$, или $x \geq -14$

Решим второе неравенство:

$4x + 7 > 2x + 13$

$4x - 2x > 13 - 7$

$2x > 6$

$x > 3$

Найдем пересечение решений $x \geq -14$ и $x > 3$. Решением системы является интервал, в котором выполняются оба неравенства: $x > 3$.

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

4)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 3x(x - 7) - x(4 + 3x) < 5, \\ 12x^2 - (2x - 3)(6x + 4) < 17; \end{cases} $

Решим первое неравенство, раскрыв скобки:

$3x^2 - 21x - 4x - 3x^2 < 5$

Приведем подобные слагаемые:

$-25x < 5$

Разделим на $-25$, изменив знак неравенства на противоположный:

$x > \frac{5}{-25}$

$x > -0,2$

Решим второе неравенство, раскрыв скобки:

$12x^2 - (12x^2 + 8x - 18x - 12) < 17$

$12x^2 - 12x^2 + 10x + 12 < 17$

Приведем подобные слагаемые:

$10x + 12 < 17$

$10x < 5$

$x < \frac{5}{10}$

$x < 0,5$

Найдем пересечение решений $x > -0,2$ и $x < 0,5$. Решением системы является интервал: $-0,2 < x < 0,5$.

Ответ: $x \in (-0,2; 0,5)$.

5)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{5x - 4}{6} - 1 > \frac{2x + 1}{3}, \\ \frac{3x + 1}{4} - 2x > 2,5 - \frac{3x - 2}{8}; \end{cases} $

Решим первое неравенство. Умножим обе части на общий знаменатель 6:

$6 \cdot (\frac{5x - 4}{6}) - 6 \cdot 1 > 6 \cdot (\frac{2x + 1}{3})$

$5x - 4 - 6 > 2(2x + 1)$

$5x - 10 > 4x + 2$

$5x - 4x > 10 + 2$

$x > 12$

Решим второе неравенство. Умножим обе части на общий знаменатель 8:

$8 \cdot (\frac{3x + 1}{4}) - 8 \cdot 2x > 8 \cdot 2,5 - 8 \cdot (\frac{3x - 2}{8})$

$2(3x + 1) - 16x > 20 - (3x - 2)$

$6x + 2 - 16x > 20 - 3x + 2$

$-10x + 2 > 22 - 3x$

$-10x + 3x > 22 - 2$

$-7x > 20$

Разделим на $-7$, изменив знак неравенства на противоположный:

$x < -\frac{20}{7}$

Найдем пересечение решений $x > 12$ и $x < -20/7$. Поскольку нет чисел, которые одновременно больше 12 и меньше $-20/7$, система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

6)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} (5x - 1)^2 + 4x \leq (5x - 1)(5x + 1) - 4x, \\ \frac{2x - 7}{6} + \frac{7x + 3}{3} \leq 3 - \frac{2 - x}{2}; \end{cases} $

Решим первое неравенство. Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ и $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

$(25x^2 - 10x + 1) + 4x \leq (25x^2 - 1) - 4x$

$25x^2 - 6x + 1 \leq 25x^2 - 4x - 1$

Уберем $25x^2$ из обеих частей:

$-6x + 1 \leq -4x - 1$

$1 + 1 \leq -4x + 6x$

$2 \leq 2x$

$1 \leq x$, или $x \geq 1$

Решим второе неравенство. Умножим обе части на общий знаменатель 6:

$6 \cdot (\frac{2x - 7}{6}) + 6 \cdot (\frac{7x + 3}{3}) \leq 6 \cdot 3 - 6 \cdot (\frac{2 - x}{2})$

$(2x - 7) + 2(7x + 3) \leq 18 - 3(2 - x)$

$2x - 7 + 14x + 6 \leq 18 - 6 + 3x$

$16x - 1 \leq 12 + 3x$

$16x - 3x \leq 12 + 1$

$13x \leq 13$

$x \leq 1$

Найдем пересечение решений $x \geq 1$ и $x \leq 1$. Единственное число, удовлетворяющее обоим условиям, это $x = 1$.

Ответ: $x = 1$.