Номер 48, страница 11 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

48. Решите неравенство:

1) $-2 < x - 5 < 7;$

2) $-4,2 \le 3x + 2,4 \le 6;$

3) $0,6 \le 5 - 2x < 0,8;$

4) $7 < \frac{x}{4} - 1 < 7,1;$

5) $1 \le \frac{6x + 5}{2} \le 4;$

6) $2,4 < \frac{8 - 4x}{3} < 2,8.$

1) Дано двойное неравенство: $-2 < x - 5 < 7$.

Чтобы найти решение, нужно изолировать переменную $x$ в центральной части неравенства. Для этого прибавим 5 ко всем трём частям:

$-2 + 5 < x - 5 + 5 < 7 + 5$

Выполняем сложение:

$3 < x < 12$

Это означает, что $x$ находится в интервале от 3 до 12, не включая границы.

Ответ: $(3; 12)$

2) Дано двойное неравенство: $-4,2 \le 3x + 2,4 \le 6$.

Сначала вычтем 2,4 из всех частей неравенства, чтобы избавиться от свободного члена в центральной части:

$-4,2 - 2,4 \le 3x + 2,4 - 2,4 \le 6 - 2,4$

$-6,6 \le 3x \le 3,6$

Теперь разделим все части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$\frac{-6,6}{3} \le \frac{3x}{3} \le \frac{3,6}{3}$

$-2,2 \le x \le 1,2$

Решением является числовой отрезок, включая концы.

Ответ: $[-2,2; 1,2]$

3) Дано двойное неравенство: $0,6 \le 5 - 2x < 0,8$.

Сначала вычтем 5 из всех частей неравенства:

$0,6 - 5 \le 5 - 2x - 5 < 0,8 - 5$

$-4,4 \le -2x < -4,2$

Теперь разделим все части на -2. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-4,4}{-2} \ge \frac{-2x}{-2} > \frac{-4,2}{-2}$

$2,2 \ge x > 2,1$

Для удобства восприятия запишем неравенство в стандартном виде, от меньшего числа к большему:

$2,1 < x \le 2,2$

Решением является полуинтервал.

Ответ: $(2,1; 2,2]$

4) Дано двойное неравенство: $7 < \frac{x}{4} - 1 < 7,1$.

Сначала прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$7 + 1 < \frac{x}{4} - 1 + 1 < 7,1 + 1$

$8 < \frac{x}{4} < 8,1$

Теперь умножим все части на 4, чтобы избавиться от знаменателя. Знак неравенства при умножении на положительное число не меняется:

$8 \cdot 4 < \frac{x}{4} \cdot 4 < 8,1 \cdot 4$

$32 < x < 32,4$

Решением является интервал.

Ответ: $(32; 32,4)$

5) Дано двойное неравенство: $1 \le \frac{6x + 5}{2} \le 4$.

Сначала умножим все части на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$1 \cdot 2 \le \frac{6x + 5}{2} \cdot 2 \le 4 \cdot 2$

$2 \le 6x + 5 \le 8$

Далее вычтем 5 из всех частей:

$2 - 5 \le 6x + 5 - 5 \le 8 - 5$

$-3 \le 6x \le 3$

Наконец, разделим все части на 6:

$\frac{-3}{6} \le \frac{6x}{6} \le \frac{3}{6}$

$-0,5 \le x \le 0,5$

Решением является числовой отрезок.

Ответ: $[-0,5; 0,5]$

6) Дано двойное неравенство: $2,4 < \frac{8 - 4x}{3} < 2,8$.

Умножим все части на 3:

$2,4 \cdot 3 < \frac{8 - 4x}{3} \cdot 3 < 2,8 \cdot 3$

$7,2 < 8 - 4x < 8,4$

Вычтем 8 из всех частей:

$7,2 - 8 < 8 - 4x - 8 < 8,4 - 8$

$-0,8 < -4x < 0,4$

Разделим все части на -4. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-0,8}{-4} > \frac{-4x}{-4} > \frac{0,4}{-4}$

$0,2 > x > -0,1$

Запишем в стандартном виде (от меньшего к большему):

$-0,1 < x < 0,2$

Решением является интервал.

Ответ: $(-0,1; 0,2)$