Номер 55, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

55. Решите неравенство:

1) $|x| > 8$;

2) $|x + 5| \ge 7,8$;

3) $|0,5x + 6| \ge 1$;

4) $|11 - 4x| > 6$.

1) $|x| > 8$

Неравенство с модулем вида $|f(x)| > a$, где $a > 0$, равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.

В данном случае получаем совокупность:

$x > 8$ или $x < -8$.

Решением является объединение двух интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty; -8) \cup (8; +\infty)$.

2) $|x + 5| \geq 7,8$

Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$x + 5 \geq 7,8$ или $x + 5 \leq -7,8$.

Решим каждое неравенство отдельно:

1) $x + 5 \geq 7,8$

$x \geq 7,8 - 5$

$x \geq 2,8$

2) $x + 5 \leq -7,8$

$x \leq -7,8 - 5$

$x \leq -12,8$

Объединяем полученные решения.

Ответ: $x \in (-\infty; -12,8] \cup [2,8; +\infty)$.

3) $|0,5x + 6| \geq 1$

Неравенство равносильно совокупности:

$0,5x + 6 \geq 1$ или $0,5x + 6 \leq -1$.

Решим каждое неравенство:

1) $0,5x + 6 \geq 1$

$0,5x \geq 1 - 6$

$0,5x \geq -5$

$x \geq \frac{-5}{0,5}$

$x \geq -10$

2) $0,5x + 6 \leq -1$

$0,5x \leq -1 - 6$

$0,5x \leq -7$

$x \leq \frac{-7}{0,5}$

$x \leq -14$

Объединяем полученные решения.

Ответ: $x \in (-\infty; -14] \cup [-10; +\infty)$.

4) $|11 - 4x| > 6$

Неравенство равносильно совокупности:

$11 - 4x > 6$ или $11 - 4x < -6$.

Решим каждое неравенство:

1) $11 - 4x > 6$

$-4x > 6 - 11$

$-4x > -5$

При делении на отрицательное число (-4) знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-5}{-4}$

$x < \frac{5}{4}$

$x < 1,25$

2) $11 - 4x < -6$

$-4x < -6 - 11$

$-4x < -17$

При делении на отрицательное число (-4) знак неравенства меняется на противоположный:

$x > \frac{-17}{-4}$

$x > \frac{17}{4}$

$x > 4,25$

Объединяем полученные решения.

Ответ: $x \in (-\infty; 1,25) \cup (4,25; +\infty)$.