Номер 51, страница 11 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

51. Решите систему неравенств:

1) $ \begin{cases} x < 5, \\ x > 3, \\ x < 4,7; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 2x - 7 > 6, \\ 3 - 4x < 9, \\ 7x - 8 > 2; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} 0,6 - 4x \ge 2,2, \\ 2,5x - 2 < 8, \\ 3,1x + 9 < 1,6x + 3. \end{cases} $

1)

Дана система неравенств:

$ \begin{cases} x < 5, \\ x > 3, \\ x < 4,7; \end{cases} $

Решением этой системы является пересечение решений всех трех неравенств. На числовой оси это соответствует промежутку, который удовлетворяет всем трем условиям одновременно.

Условие $x > 3$ означает, что $x$ находится правее 3.

Условие $x < 5$ означает, что $x$ находится левее 5.

Условие $x < 4,7$ означает, что $x$ находится левее 4,7.

Пересечение условий $x < 5$ и $x < 4,7$ дает более сильное (ограничивающее) условие $x < 4,7$.

Теперь найдем пересечение условий $x > 3$ и $x < 4,7$. Это все числа, которые одновременно больше 3 и меньше 4,7.

Таким образом, решение системы — это интервал $(3; 4,7)$.

Ответ: $x \in (3; 4,7)$.

2)

Решим каждое неравенство системы по отдельности:

$ \begin{cases} 2x - 7 > 6, \\ 3 - 4x < 9, \\ 7x - 8 > 2; \end{cases} $

1. Первое неравенство:

$2x - 7 > 6$

$2x > 6 + 7$

$2x > 13$

$x > \frac{13}{2}$

$x > 6,5$

2. Второе неравенство:

$3 - 4x < 9$

$-4x < 9 - 3$

$-4x < 6$

При делении на отрицательное число (-4) знак неравенства меняется на противоположный:

$x > \frac{6}{-4}$

$x > -1,5$

3. Третье неравенство:

$7x - 8 > 2$

$7x > 2 + 8$

$7x > 10$

$x > \frac{10}{7}$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x > 6,5$, $x > -1,5$ и $x > \frac{10}{7}$. Чтобы выполнялись все три условия, $x$ должен быть больше наибольшего из этих трех чисел. Так как $6,5 > \frac{10}{7} > -1,5$, то решением системы является $x > 6,5$.

Ответ: $x \in (6,5; +\infty)$.

3)

Решим каждое неравенство системы по отдельности:

$ \begin{cases} 0,6 - 4x \ge 2,2, \\ 2,5x - 2 < 8, \\ 3,1x + 9 < 1,6x + 3; \end{cases} $

1. Первое неравенство:

$0,6 - 4x \ge 2,2$

$-4x \ge 2,2 - 0,6$

$-4x \ge 1,6$

При делении на отрицательное число (-4) знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{1,6}{-4}$

$x \le -0,4$

2. Второе неравенство:

$2,5x - 2 < 8$

$2,5x < 8 + 2$

$2,5x < 10$

$x < \frac{10}{2,5}$

$x < 4$

3. Третье неравенство:

$3,1x + 9 < 1,6x + 3$

$3,1x - 1,6x < 3 - 9$

$1,5x < -6$

$x < \frac{-6}{1,5}$

$x < -4$

Найдем пересечение полученных решений: $x \le -0,4$, $x < 4$ и $x < -4$. Чтобы выполнялись все три условия, $x$ должен быть меньше всех трех верхних границ. Наиболее строгим является условие $x < -4$, так как если число меньше -4, оно автоматически меньше 4 и меньше либо равно -0,4.

Следовательно, решением системы является $x < -4$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4)$.