Номер 46, страница 10 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

46. Сколько целых решений имеет система неравенств:

1) $\begin{cases} 6x - 9 < 3x + 15 \\ 7 - 2x > 13 - 5x \end{cases}$

2) $\begin{cases} 8x + 20 \geq 3x + 5 \\ 2x + 1 \geq 4x - 5 \end{cases}$

3) $\begin{cases} 5x - 1 > 2x + 4 \\ 10x - 5 \leq 3x + 13 \end{cases}$

4) $\begin{cases} \frac{5x+3}{2} - 1 \geq 3x \\ (x+1)(x-4) - 2 \leq (x+2)(x-3) - x? \end{cases}$

1) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 6x - 9 < 3x + 15 \\ 7 - 2x > 13 - 5x \end{cases}$

Сначала решим первое неравенство: $6x - 9 < 3x + 15$. Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа в правую: $6x - 3x < 15 + 9$, что дает $3x < 24$. Разделив обе части на 3, получим $x < 8$.

Теперь решим второе неравенство: $7 - 2x > 13 - 5x$. Аналогично, $5x - 2x > 13 - 7$, что дает $3x > 6$. Разделив обе части на 3, получим $x > 2$.

Решением системы является пересечение полученных множеств: $2 < x < 8$.

Целыми решениями в этом интервале являются числа 3, 4, 5, 6, 7. Их количество равно 5.

Ответ: 5

2) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 8x + 20 \ge 3x + 5 \\ 2x + 1 \ge 4x - 5 \end{cases}$

Решаем первое неравенство: $8x + 20 \ge 3x + 5$. Переносим слагаемые: $8x - 3x \ge 5 - 20$, откуда $5x \ge -15$. Делим на 5: $x \ge -3$.

Решаем второе неравенство: $2x + 1 \ge 4x - 5$. Переносим слагаемые: $1 + 5 \ge 4x - 2x$, откуда $6 \ge 2x$. Делим на 2: $3 \ge x$ или $x \le 3$.

Решением системы является пересечение множеств: $-3 \le x \le 3$.

Целыми решениями в этом отрезке являются числа -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. Их количество равно 7.

Ответ: 7

3) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 5x - 1 > 2x + 4 \\ 10x - 5 \le 3x + 13 \end{cases}$

Решаем первое неравенство: $5x - 1 > 2x + 4$. Переносим слагаемые: $5x - 2x > 4 + 1$, что дает $3x > 5$. Отсюда $x > \frac{5}{3}$.

Решаем второе неравенство: $10x - 5 \le 3x + 13$. Переносим слагаемые: $10x - 3x \le 13 + 5$, что дает $7x \le 18$. Отсюда $x \le \frac{18}{7}$.

Решением системы является пересечение множеств: $\frac{5}{3} < x \le \frac{18}{7}$.

Поскольку $\frac{5}{3} \approx 1,67$ и $\frac{18}{7} \approx 2,57$, единственным целым числом в интервале $(1.67; 2.57]$ является 2. Таким образом, система имеет одно целое решение.

Ответ: 1

4) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{5x + 3}{2} - 1 \ge 3x \\ (x + 1)(x - 4) - 2 \le (x + 2)(x - 3) - x \end{cases}$

Решаем первое неравенство: $\frac{5x + 3}{2} - 1 \ge 3x$. Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от знаменателя: $5x + 3 - 2 \ge 6x$. Упрощаем: $5x + 1 \ge 6x$, откуда $1 \ge 6x - 5x$, то есть $x \le 1$.

Решаем второе неравенство: $(x + 1)(x - 4) - 2 \le (x + 2)(x - 3) - x$. Раскроем скобки в обеих частях: $(x^2 - 3x - 4) - 2 \le (x^2 - x - 6) - x$. Упрощаем: $x^2 - 3x - 6 \le x^2 - 2x - 6$. Сокращаем $x^2$ и -6 с обеих сторон: $-3x \le -2x$. Переносим слагаемые: $0 \le -2x + 3x$, откуда $x \ge 0$.

Решением системы является пересечение множеств: $0 \le x \le 1$.

Целыми решениями в этом отрезке являются числа 0 и 1. Их количество равно 2.

Ответ: 2