Номер 52, страница 11 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

52. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{7x-8} + \sqrt{3x-14}$;

2) $\sqrt{2x+3} - \frac{1}{\sqrt{9-2x}}}$;

3) $\sqrt{2x-5} + \sqrt{2-x}$?

1) $\sqrt{7x-8}+\sqrt{3x-14}$

Выражение имеет смысл, если подкоренные выражения неотрицательны, то есть больше или равны нулю. Это условие приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} 7x-8 \ge 0 \\ 3x-14 \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно:

1) $7x-8 \ge 0 \implies 7x \ge 8 \implies x \ge \frac{8}{7}$

2) $3x-14 \ge 0 \implies 3x \ge 14 \implies x \ge \frac{14}{3}$

Чтобы система выполнялась, необходимо, чтобы выполнялись оба неравенства одновременно. Для этого нужно найти пересечение решений. Сравним числа $\frac{8}{7}$ и $\frac{14}{3}$:

$\frac{8}{7} = 1\frac{1}{7}$

$\frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$

Так как $4\frac{2}{3} > 1\frac{1}{7}$, то общее решение системы — это $x \ge \frac{14}{3}$. Это означает, что переменная $x$ должна быть больше или равна $\frac{14}{3}$.

Ответ: $x \ge \frac{14}{3}$

2) $\sqrt{2x+3}-\frac{1}{\sqrt{9-2x}}$

Данное выражение имеет смысл при выполнении двух условий:

1. Подкоренное выражение первого слагаемого должно быть неотрицательным: $2x+3 \ge 0$.

2. Подкоренное выражение в знаменателе дроби должно быть строго больше нуля, так как на ноль делить нельзя, а корень из отрицательного числа не извлекается в действительных числах: $9-2x > 0$.

Получаем систему неравенств:

$\begin{cases} 2x+3 \ge 0 \\ 9-2x > 0 \end{cases}$

Решим систему:

1) $2x+3 \ge 0 \implies 2x \ge -3 \implies x \ge -\frac{3}{2}$

2) $9-2x > 0 \implies 9 > 2x \implies x < \frac{9}{2}$

Объединяя оба условия, получаем двойное неравенство: $-\frac{3}{2} \le x < \frac{9}{2}$.

Ответ: $-\frac{3}{2} \le x < \frac{9}{2}$

3) $\sqrt{2x-5}+\sqrt{2-x}$

Выражение имеет смысл, если оба подкоренных выражения неотрицательны. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 2x-5 \ge 0 \\ 2-x \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1) $2x-5 \ge 0 \implies 2x \ge 5 \implies x \ge \frac{5}{2}$

2) $2-x \ge 0 \implies 2 \ge x \implies x \le 2$

Теперь найдем пересечение решений: $x \ge 2.5$ и $x \le 2$. Не существует такого значения $x$, которое было бы одновременно больше или равно $2.5$ и меньше или равно $2$. Следовательно, система не имеет решений, и пересечение множеств пустое.

Ответ: таких значений переменной не существует.