Номер 59, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

59. При каких значениях $a$ корни уравнения $x^2 - 2ax + a^2 - 1 = 0$ больше числа 3?

Данное уравнение является квадратным относительно переменной $x$. Для того чтобы его корни были больше числа 3, необходимо выполнение нескольких условий. Однако, в данном случае, можно найти корни в явном виде.

Исходное уравнение: $x^2 - 2ax + a^2 - 1 = 0$.

Левую часть можно сгруппировать, заметив формулу квадрата разности:

$(x^2 - 2ax + a^2) - 1 = 0$

$(x - a)^2 - 1 = 0$

Перенесем 1 в правую часть:

$(x - a)^2 = 1$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных решения:

$x - a = 1$ или $x - a = -1$

Отсюда находим два корня уравнения:

$x_1 = a + 1$

$x_2 = a - 1$

Согласно условию задачи, оба корня должны быть строго больше 3. Запишем это в виде системы неравенств:

$\begin{cases} x_1 > 3 \\ x_2 > 3 \end{cases}$

Подставим найденные выражения для корней в систему:

$\begin{cases} a + 1 > 3 \\ a - 1 > 3 \end{cases}$

Теперь решим каждое неравенство в системе:

1. $a + 1 > 3 \implies a > 3 - 1 \implies a > 2$

2. $a - 1 > 3 \implies a > 3 + 1 \implies a > 4$

Для того чтобы система имела решение, необходимо, чтобы выполнялись оба неравенства одновременно. Мы ищем пересечение множеств решений $a > 2$ и $a > 4$. Если число больше 4, оно автоматически будет больше 2. Следовательно, общее решение системы неравенств — это более сильное неравенство.

$a \in (2, +\infty) \cap (4, +\infty) \implies a \in (4, +\infty)$

Таким образом, оба корня уравнения будут больше 3 при $a > 4$.

Ответ: $a > 4$.