Номер 54, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

54. Решите неравенство:

1) $|x| < 3$;

2) $|x - 1| \leq 4,2$;

3) $|7x + 8| \leq 2$;

4) $|10 - 3x| < 5$.

1)

Неравенство вида $|f(x)| < a$, где $a > 0$, равносильно двойному неравенству $-a < f(x) < a$.

Применяя это правило к неравенству $|x| < 3$, получаем:

$-3 < x < 3$

Решением является интервал от -3 до 3, не включая концы.

Ответ: $x \in (-3; 3)$.

2)

Неравенство вида $|f(x)| \le a$, где $a > 0$, равносильно двойному неравенству $-a \le f(x) \le a$.

Для неравенства $|x - 1| \le 4,2$ это означает:

$-4,2 \le x - 1 \le 4,2$

Чтобы найти $x$, прибавим 1 ко всем частям двойного неравенства:

$-4,2 + 1 \le x - 1 + 1 \le 4,2 + 1$

$-3,2 \le x \le 5,2$

Решением является отрезок от -3,2 до 5,2.

Ответ: $x \in [-3,2; 5,2]$.

3)

Неравенство $|7x + 8| \le 2$ равносильно двойному неравенству:

$-2 \le 7x + 8 \le 2$

Сначала вычтем 8 из всех частей неравенства:

$-2 - 8 \le 7x + 8 - 8 \le 2 - 8$

$-10 \le 7x \le -6$

Теперь разделим все части на 7. Так как 7 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$-\frac{10}{7} \le x \le -\frac{6}{7}$

Решением является отрезок.

Ответ: $x \in [-\frac{10}{7}; -\frac{6}{7}]$.

4)

Неравенство $|10 - 3x| < 5$ равносильно двойному неравенству:

$-5 < 10 - 3x < 5$

Вычтем 10 из всех частей неравенства:

$-5 - 10 < 10 - 3x - 10 < 5 - 10$

$-15 < -3x < -5$

Теперь разделим все части на -3. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-15}{-3} > x > \frac{-5}{-3}$

$5 > x > \frac{5}{3}$

Запишем это неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):

$\frac{5}{3} < x < 5$

Решением является интервал.

Ответ: $x \in (\frac{5}{3}; 5)$.