Номер 56, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

56. Решите уравнение:

1) $|x| + |x - 4| = 5;$

2) $|x + 1| + |x - 3| = 4;$

3) $|x| - |x - 5| = 6;$

4) $|2x - 3| - |x + 2| = 4x + 5.$

Для решения уравнения $|x| + |x - 4| = 5$ воспользуемся методом интервалов. На числовой оси отметим точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль: $x=0$ и $x-4=0 \Rightarrow x=4$. Эти точки разбивают числовую ось на три промежутка: $(-\infty, 0)$, $[0, 4)$ и $[4, +\infty)$.

1. Рассмотрим промежуток $x < 0$. На этом промежутке $|x| = -x$ и $|x - 4| = -(x - 4) = 4 - x$. Уравнение принимает вид:

$-x + (4 - x) = 5$

$-2x + 4 = 5$

$-2x = 1$

$x = -0.5$

Так как $-0.5 < 0$, это решение принадлежит рассматриваемому промежутку.

2. Рассмотрим промежуток $0 \le x < 4$. На этом промежутке $|x| = x$ и $|x - 4| = -(x - 4) = 4 - x$. Уравнение принимает вид:

$x + (4 - x) = 5$

$4 = 5$

Получено неверное равенство, следовательно, на данном промежутке решений нет.

3. Рассмотрим промежуток $x \ge 4$. На этом промежутке $|x| = x$ и $|x - 4| = x - 4$. Уравнение принимает вид:

$x + (x - 4) = 5$

$2x - 4 = 5$

$2x = 9$

$x = 4.5$

Так как $4.5 \ge 4$, это решение принадлежит рассматриваемому промежутку.

Объединяя найденные решения, получаем два корня.

Ответ: $x_1 = -0.5, x_2 = 4.5$.

Решим уравнение $|x + 1| + |x - 3| = 4$ методом интервалов. Нули подмодульных выражений: $x+1=0 \Rightarrow x=-1$ и $x-3=0 \Rightarrow x=3$. Эти точки разбивают числовую ось на три промежутка: $(-\infty, -1)$, $[-1, 3)$ и $[3, +\infty)$.

1. При $x < -1$: $|x + 1| = -(x + 1)$ и $|x - 3| = -(x - 3)$. Уравнение становится:

$-(x + 1) - (x - 3) = 4$

$-x - 1 - x + 3 = 4$

$-2x + 2 = 4$

$-2x = 2$

$x = -1$

Это значение не входит в промежуток $x < -1$, поэтому на данном промежутке решений нет.

2. При $-1 \le x < 3$: $|x + 1| = x + 1$ и $|x - 3| = -(x - 3)$. Уравнение становится:

$(x + 1) - (x - 3) = 4$

$x + 1 - x + 3 = 4$

$4 = 4$

Получено верное тождество. Это означает, что все числа из промежутка $[-1, 3)$ являются решениями уравнения.

3. При $x \ge 3$: $|x + 1| = x + 1$ и $|x - 3| = x - 3$. Уравнение становится:

$(x + 1) + (x - 3) = 4$

$2x - 2 = 4$

$2x = 6$

$x = 3$

Это значение принадлежит промежутку $x \ge 3$, следовательно, является решением.

Объединяя решения из второго и третьего случаев, получаем, что решением является отрезок $[-1, 3]$.

Ответ: $x \in [-1, 3]$.

Рассмотрим функцию $f(x) = |x| - |x - 5|$. Уравнение можно записать как $|f(x)| = 6$. Исследуем поведение функции $f(x)$ на различных интервалах, определяемых нулями подмодульных выражений: $x=0$ и $x=5$.

1. При $x < 0$: $f(x) = -x - (-(x - 5)) = -x + x - 5 = -5$.

2. При $0 \le x < 5$: $f(x) = x - (-(x - 5)) = x + x - 5 = 2x - 5$. Значения функции на этом отрезке меняются от $f(0) = 2(0) - 5 = -5$ до почти $f(5) = 2(5) - 5 = 5$.

3. При $x \ge 5$: $f(x) = x - (x - 5) = x - x + 5 = 5$.

Таким образом, множество значений функции $f(x)$ есть отрезок $[-5, 5]$.

Уравнение $|f(x)| = 6$ означает, что значение функции $f(x)$ должно быть равно $6$ или $-6$. Однако, как мы установили, все значения $f(x)$ лежат в пределах от $-5$ до $5$. Следовательно, не существует такого $x$, при котором $f(x)$ было бы равно $6$ или $-6$.

Ответ: решений нет.

Решим уравнение $|2x - 3| - |x + 2| = 4x + 5$ методом интервалов. Нули подмодульных выражений: $2x-3=0 \Rightarrow x=1.5$ и $x+2=0 \Rightarrow x=-2$. Разбиваем числовую ось на три промежутка: $(-\infty, -2)$, $[-2, 1.5)$ и $[1.5, +\infty)$.

1. При $x < -2$: $|2x - 3| = -(2x - 3)$ и $|x + 2| = -(x + 2)$. Уравнение принимает вид:

$-(2x - 3) - (-(x + 2)) = 4x + 5$

$-2x + 3 + x + 2 = 4x + 5$

$-x + 5 = 4x + 5$

$-5x = 0$

$x = 0$

Значение $x=0$ не принадлежит промежутку $x < -2$, поэтому не является решением.

2. При $-2 \le x < 1.5$: $|2x - 3| = -(2x - 3)$ и $|x + 2| = x + 2$. Уравнение принимает вид:

$-(2x - 3) - (x + 2) = 4x + 5$

$-2x + 3 - x - 2 = 4x + 5$

$-3x + 1 = 4x + 5$

$-7x = 4$

$x = -4/7$

Значение $x=-4/7$ принадлежит промежутку $[-2, 1.5)$, так как $-2 \le -4/7 < 1.5$. Это и есть решение.

3. При $x \ge 1.5$: $|2x - 3| = 2x - 3$ и $|x + 2| = x + 2$. Уравнение принимает вид:

$(2x - 3) - (x + 2) = 4x + 5$

$2x - 3 - x - 2 = 4x + 5$

$x - 5 = 4x + 5$

$-3x = 10$

$x = -10/3$

Значение $x = -10/3$ не принадлежит промежутку $x \ge 1.5$, поэтому не является решением.

Единственным решением уравнения является $x = -4/7$.

Ответ: $x = -4/7$.