Номер 60, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

60. При каких значениях $a$ корни уравнения $x^2 - (3a + 1)x + 2a^2 + 4a - 6 = 0$ принадлежат промежутку $[2; 9]$?

Для решения задачи найдем корни данного квадратного уравнения $x^2 - (3a + 1)x + 2a^2 + 4a - 6 = 0$.

Сначала вычислим дискриминант $D$ уравнения, где коэффициенты $A=1$, $B=-(3a + 1)$, $C=2a^2 + 4a - 6$.
$D = B^2 - 4AC = (-(3a + 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a^2 + 4a - 6)$
$D = (3a + 1)^2 - 4(2a^2 + 4a - 6)$
$D = (9a^2 + 6a + 1) - (8a^2 + 16a - 24)$
$D = 9a^2 + 6a + 1 - 8a^2 - 16a + 24$
$D = a^2 - 10a + 25 = (a - 5)^2$

Поскольку дискриминант $D = (a - 5)^2$ является полным квадратом, он всегда неотрицателен ($D \ge 0$) при любых действительных значениях $a$. Следовательно, уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:
$x = \frac{3a + 1 \pm \sqrt{(a - 5)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{3a + 1 \pm (a - 5)}{2}$

Вычислим оба корня:
$x_1 = \frac{3a + 1 + (a - 5)}{2} = \frac{4a - 4}{2} = 2a - 2$
$x_2 = \frac{3a + 1 - (a - 5)}{2} = \frac{2a + 6}{2} = a + 3$

Согласно условию, оба корня должны принадлежать промежутку $[2; 9]$. Это приводит к системе из двух двойных неравенств: $$ \begin{cases} 2 \le x_1 \le 9 \\ 2 \le x_2 \le 9 \end{cases} $$ Подставим выражения для $x_1$ и $x_2$: $$ \begin{cases} 2 \le 2a - 2 \le 9 \\ 2 \le a + 3 \le 9 \end{cases} $$

Решим первое неравенство:
$2 \le 2a - 2 \le 9$
Прибавим 2 ко всем частям неравенства:
$4 \le 2a \le 11$
Разделим все части на 2:
$2 \le a \le \frac{11}{2}$
$2 \le a \le 5,5$

Решим второе неравенство:
$2 \le a + 3 \le 9$
Вычтем 3 из всех частей неравенства:
$-1 \le a \le 6$

Оба условия должны выполняться одновременно, поэтому найдем пересечение полученных промежутков для $a$:
$a \in [2; 5,5] \cap [-1; 6]$
Пересечением этих двух множеств является промежуток $[2; 5,5]$.

Ответ: $a \in [2; 5,5]$.