Номер 66, страница 13 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

66. На рисунке 1 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-3,5; 5]$. Пользуясь графиком, найдите:

1) $f(-2,5); f(-2); f(-0,5); f(0); f(0,5); f(3);$

2) значения $x$, при которых $f(x) = -2,5; f(x) = 3; f(x) = 1,5; f(x) = 0;$

3) область значений функции.

Рис. 1

1) $f(-2.5); f(-2); f(-0.5); f(0); f(0.5); f(3)$

Чтобы найти значение функции $y = f(x)$ при заданном значении аргумента $x$, необходимо найти на оси абсцисс (горизонтальной оси) заданное значение $x$, затем найти соответствующую ему точку на графике и определить её ординату (значение по вертикальной оси).

- Для $x = -2.5$: находим на оси $Ox$ точку $-2.5$. Двигаясь вертикально к графику, видим, что он пересекает ось $Ox$ в этой точке. Значит, ордината равна 0. Таким образом, $f(-2.5) = 0$.
- Для $x = -2$: находим на оси $Ox$ точку $-2$. Соответствующая точка на графике имеет ординату $1.5$. Таким образом, $f(-2) = 1.5$.
- Для $x = -0.5$: находим на оси $Ox$ точку $-0.5$. Соответствующая точка на графике имеет ординату примерно $2.8$. Таким образом, $f(-0.5) \approx 2.8$.
- Для $x = 0$: график пересекает ось ординат $Oy$ в точке со значением $2$. Таким образом, $f(0) = 2$.
- Для $x = 0.5$: находим на оси $Ox$ точку $0.5$. Соответствующая точка на графике имеет ординату $1$. Таким образом, $f(0.5) = 1$.
- Для $x = 3$: находим на оси $Ox$ точку $3$. Соответствующая точка на графике имеет ординату $-1.5$. Таким образом, $f(3) = -1.5$.

Ответ: $f(-2.5) = 0$; $f(-2) = 1.5$; $f(-0.5) \approx 2.8$; $f(0) = 2$; $f(0.5) = 1$; $f(3) = -1.5$.

2) значения $x$, при которых $f(x) = -2.5; f(x) = 3; f(x) = 1.5; f(x) = 0$

Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых функция $f(x)$ принимает определённое значение $a$, необходимо провести горизонтальную прямую $y = a$ и найти абсциссы всех точек пересечения этой прямой с графиком функции.

- При $f(x) = -2.5$: проводим прямую $y = -2.5$. Эта прямая пересекает график в одной точке, которая является начальной точкой графика на заданном интервале. Абсцисса этой точки $x = -3.5$.
- При $f(x) = 3$: проводим прямую $y = 3$. Эта прямая касается графика в его самой высокой точке (вершине). Абсцисса этой точки $x = -1$.
- При $f(x) = 1.5$: проводим прямую $y = 1.5$. Эта прямая пересекает график в двух точках. Абсциссы этих точек: $x = -2$ и $x \approx 0.25$.
- При $f(x) = 0$: находим точки, в которых график пересекает ось абсцисс $Ox$ (прямую $y=0$). Это происходит в трех точках. Абсциссы этих точек: $x = -2.5$, $x = 1.5$ и $x = 4$.

Ответ: $f(x) = -2.5$ при $x = -3.5$; $f(x) = 3$ при $x = -1$; $f(x) = 1.5$ при $x = -2$ и $x \approx 0.25$; $f(x) = 0$ при $x \in \{-2.5; 1.5; 4\}$.

3) область значений функции

Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает функция $y$ на своей области определения (в данном случае, на промежутке $[-3.5; 5]$). Чтобы найти область значений по графику, нужно определить наименьшее и наибольшее значение функции на этом промежутке.

- Наибольшее значение функции (максимум) на графике равно $3$. Оно достигается при $x = -1$.
- Наименьшее значение функции (минимум) на графике равно $-2.5$. Оно достигается на левой границе области определения, при $x = -3.5$.

Следовательно, функция принимает все значения от $-2.5$ до $3$ включительно. Область значений функции записывается в виде отрезка.

Ответ: $[-2.5; 3]$.