Страница 13 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

63. Даны функции $g(x) = \frac{3}{x} - 4x$ и $\varphi(x) = 2x - 5$. Сравните:

1) $g(1)$ и $\varphi(1)$;

2) $g\left(\frac{1}{2}\right)$ и $\varphi(4)$;

3) $g(-2)$ и $\varphi(1)$.

Для сравнения значений функций в каждом пункте, необходимо подставить указанные значения аргумента $x$ в формулы функций $g(x) = \frac{3}{x} - 4x$ и $\varphi(x) = 2x - 5$ и вычислить их значения.

1) g(1) и φ(1);

Найдем значение функции $g(x)$ при $x=1$:
$g(1) = \frac{3}{1} - 4 \cdot 1 = 3 - 4 = -1$.
Найдем значение функции $\varphi(x)$ при $x=1$:
$\varphi(1) = 2 \cdot 1 - 5 = 2 - 5 = -3$.
Теперь сравним полученные значения: $-1 > -3$.
Следовательно, $g(1) > \varphi(1)$.

Ответ: $g(1) > \varphi(1)$.

2) g($\frac{1}{2}$) и φ(4);

Найдем значение функции $g(x)$ при $x=\frac{1}{2}$:
$g(\frac{1}{2}) = \frac{3}{\frac{1}{2}} - 4 \cdot \frac{1}{2} = 3 \cdot 2 - 2 = 6 - 2 = 4$.
Найдем значение функции $\varphi(x)$ при $x=4$:
$\varphi(4) = 2 \cdot 4 - 5 = 8 - 5 = 3$.
Сравним полученные значения: $4 > 3$.
Следовательно, $g(\frac{1}{2}) > \varphi(4)$.

Ответ: $g(\frac{1}{2}) > \varphi(4)$.

3) g(-2) и φ(1).

Найдем значение функции $g(x)$ при $x=-2$:
$g(-2) = \frac{3}{-2} - 4 \cdot (-2) = -1.5 + 8 = 6.5$.
Значение функции $\varphi(1)$ было найдено в первом пункте: $\varphi(1) = -3$.
Сравним полученные значения: $6.5 > -3$.
Следовательно, $g(-2) > \varphi(1)$.

Ответ: $g(-2) > \varphi(1)$.

64. Дана функция $f(x) = \begin{cases} -2x + 1, & \text{если } x \le -4, \\ x^2 - 7, & \text{если } -4 < x < 3, \\ 2, & \text{если } x \ge 3. \end{cases}$

Найдите:

1) $f(-5);$

2) $f(-2);$

3) $f(3);$

4) $f(7,6).$

Чтобы найти значение функции в заданной точке, необходимо определить, какому из трех интервалов принадлежит аргумент $x$, и подставить его в соответствующую формулу.

1) f(-5)

Аргумент $x = -5$. Проверяем, какому условию удовлетворяет это значение:

Так как $-5 \le -4$, то используем первую формулу: $f(x) = -2x + 1$.

Подставляем значение $x = -5$:

$f(-5) = -2 \cdot (-5) + 1 = 10 + 1 = 11$.

Ответ: 11

2) f(-2)

Аргумент $x = -2$. Проверяем, какому условию удовлетворяет это значение:

Так как $-4 < -2 < 3$, то используем вторую формулу: $f(x) = x^2 - 7$.

Подставляем значение $x = -2$:

$f(-2) = (-2)^2 - 7 = 4 - 7 = -3$.

Ответ: -3

3) f(3)

Аргумент $x = 3$. Проверяем, какому условию удовлетворяет это значение:

Так как $3 \ge 3$, то используем третью формулу: $f(x) = 2$.

Для любого значения $x$ из этого промежутка, значение функции постоянно и равно 2.

$f(3) = 2$.

Ответ: 2

4) f(7,6)

Аргумент $x = 7,6$. Проверяем, какому условию удовлетворяет это значение:

Так как $7,6 \ge 3$, то используем третью формулу: $f(x) = 2$.

Для любого значения $x$ из этого промежутка, значение функции постоянно и равно 2.

$f(7,6) = 2$.

Ответ: 2

65. При каком значении $x$ значение функции $h(x) = \frac{x^2+3}{x-3}$ равно 19?

Чтобы найти значение $x$, при котором значение функции $h(x) = \frac{x^2+3}{x-3}$ равно 19, необходимо приравнять функцию к этому значению и решить полученное уравнение:

$\frac{x^2+3}{x-3} = 19$

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:

$x - 3 \neq 0$

$x \neq 3$

Далее, для решения уравнения умножим обе его части на выражение $(x-3)$, при условии, что $x \neq 3$:

$x^2 + 3 = 19 \cdot (x - 3)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$x^2 + 3 = 19x - 57$

Перенесём все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 19x + 3 + 57 = 0$

$x^2 - 19x + 60 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае коэффициенты равны: $a=1$, $b=-19$, $c=60$.

$D = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 361 - 240 = 121$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-19) - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{19 - 11}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-(-19) + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{19 + 11}{2} = \frac{30}{2} = 15$

Оба найденных корня (4 и 15) удовлетворяют условию ОДЗ ($x \neq 3$), следовательно, оба являются решениями исходного уравнения.

Ответ: 4; 15.

66. На рисунке 1 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-3,5; 5]$. Пользуясь графиком, найдите:

1) $f(-2,5); f(-2); f(-0,5); f(0); f(0,5); f(3);$

2) значения $x$, при которых $f(x) = -2,5; f(x) = 3; f(x) = 1,5; f(x) = 0;$

3) область значений функции.

Рис. 1

1) $f(-2.5); f(-2); f(-0.5); f(0); f(0.5); f(3)$

Чтобы найти значение функции $y = f(x)$ при заданном значении аргумента $x$, необходимо найти на оси абсцисс (горизонтальной оси) заданное значение $x$, затем найти соответствующую ему точку на графике и определить её ординату (значение по вертикальной оси).

- Для $x = -2.5$: находим на оси $Ox$ точку $-2.5$. Двигаясь вертикально к графику, видим, что он пересекает ось $Ox$ в этой точке. Значит, ордината равна 0. Таким образом, $f(-2.5) = 0$.
- Для $x = -2$: находим на оси $Ox$ точку $-2$. Соответствующая точка на графике имеет ординату $1.5$. Таким образом, $f(-2) = 1.5$.
- Для $x = -0.5$: находим на оси $Ox$ точку $-0.5$. Соответствующая точка на графике имеет ординату примерно $2.8$. Таким образом, $f(-0.5) \approx 2.8$.
- Для $x = 0$: график пересекает ось ординат $Oy$ в точке со значением $2$. Таким образом, $f(0) = 2$.
- Для $x = 0.5$: находим на оси $Ox$ точку $0.5$. Соответствующая точка на графике имеет ординату $1$. Таким образом, $f(0.5) = 1$.
- Для $x = 3$: находим на оси $Ox$ точку $3$. Соответствующая точка на графике имеет ординату $-1.5$. Таким образом, $f(3) = -1.5$.

Ответ: $f(-2.5) = 0$; $f(-2) = 1.5$; $f(-0.5) \approx 2.8$; $f(0) = 2$; $f(0.5) = 1$; $f(3) = -1.5$.

2) значения $x$, при которых $f(x) = -2.5; f(x) = 3; f(x) = 1.5; f(x) = 0$

Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых функция $f(x)$ принимает определённое значение $a$, необходимо провести горизонтальную прямую $y = a$ и найти абсциссы всех точек пересечения этой прямой с графиком функции.

- При $f(x) = -2.5$: проводим прямую $y = -2.5$. Эта прямая пересекает график в одной точке, которая является начальной точкой графика на заданном интервале. Абсцисса этой точки $x = -3.5$.
- При $f(x) = 3$: проводим прямую $y = 3$. Эта прямая касается графика в его самой высокой точке (вершине). Абсцисса этой точки $x = -1$.
- При $f(x) = 1.5$: проводим прямую $y = 1.5$. Эта прямая пересекает график в двух точках. Абсциссы этих точек: $x = -2$ и $x \approx 0.25$.
- При $f(x) = 0$: находим точки, в которых график пересекает ось абсцисс $Ox$ (прямую $y=0$). Это происходит в трех точках. Абсциссы этих точек: $x = -2.5$, $x = 1.5$ и $x = 4$.

Ответ: $f(x) = -2.5$ при $x = -3.5$; $f(x) = 3$ при $x = -1$; $f(x) = 1.5$ при $x = -2$ и $x \approx 0.25$; $f(x) = 0$ при $x \in \{-2.5; 1.5; 4\}$.

3) область значений функции

Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает функция $y$ на своей области определения (в данном случае, на промежутке $[-3.5; 5]$). Чтобы найти область значений по графику, нужно определить наименьшее и наибольшее значение функции на этом промежутке.

- Наибольшее значение функции (максимум) на графике равно $3$. Оно достигается при $x = -1$.
- Наименьшее значение функции (минимум) на графике равно $-2.5$. Оно достигается на левой границе области определения, при $x = -3.5$.

Следовательно, функция принимает все значения от $-2.5$ до $3$ включительно. Область значений функции записывается в виде отрезка.

Ответ: $[-2.5; 3]$.