Страница 8 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

26. Найдите наибольшее целое решение неравенства:

1) $2x + 9 > 4x - 7;$

2) $14x^2 - (2x - 3)(7x + 4) \le 14;$

3) $(3x + 2)^2 - (9x - 1)(x + 1) \ge 17;$

4) $(x - 1)(x + 1) < 2(x - 5)^2 - x(x - 3).$

1) Решим неравенство $2x + 9 > 4x - 7$.
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну часть неравенства, а свободные члены — в другую:
$9 + 7 > 4x - 2x$
Приведем подобные слагаемые:
$16 > 2x$
Разделим обе части неравенства на 2. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства не меняется:
$8 > x$, что эквивалентно $x < 8$.
Множество целых решений этого неравенства: $\{..., 5, 6, 7\}$. Наибольшим целым решением является 7.
Ответ: 7

2) Решим неравенство $14x^2 - (2x - 3)(7x + 4) \le 14$.
Сначала раскроем скобки в произведении многочленов:
$(2x - 3)(7x + 4) = 2x \cdot 7x + 2x \cdot 4 - 3 \cdot 7x - 3 \cdot 4 = 14x^2 + 8x - 21x - 12 = 14x^2 - 13x - 12$.
Подставим полученное выражение в исходное неравенство:
$14x^2 - (14x^2 - 13x - 12) \le 14$
Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых внутри них на противоположные:
$14x^2 - 14x^2 + 13x + 12 \le 14$
Приведем подобные слагаемые:
$13x + 12 \le 14$
Перенесем 12 в правую часть с противоположным знаком:
$13x \le 14 - 12$
$13x \le 2$
Разделим обе части неравенства на 13:
$x \le \frac{2}{13}$.
Целые числа, удовлетворяющие этому неравенству, это ..., -2, -1, 0. Наибольшим из них является 0.
Ответ: 0

3) Решим неравенство $(3x + 2)^2 - (9x - 1)(x + 1) \ge 17$.
Раскроем скобки. Для первого слагаемого используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(3x + 2)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 + 12x + 4$.
Для второго слагаемого перемножим многочлены:
$(9x - 1)(x + 1) = 9x \cdot x + 9x \cdot 1 - 1 \cdot x - 1 \cdot 1 = 9x^2 + 9x - x - 1 = 9x^2 + 8x - 1$.
Подставим полученные выражения в неравенство:
$(9x^2 + 12x + 4) - (9x^2 + 8x - 1) \ge 17$
Раскроем вторые скобки:
$9x^2 + 12x + 4 - 9x^2 - 8x + 1 \ge 17$
Приведем подобные слагаемые:
$(9x^2 - 9x^2) + (12x - 8x) + (4 + 1) \ge 17$
$4x + 5 \ge 17$
Перенесем 5 в правую часть:
$4x \ge 17 - 5$
$4x \ge 12$
Разделим обе части на 4:
$x \ge 3$.
Решением неравенства является множество всех чисел, больших или равных 3, то есть промежуток $[3, +\infty)$. Множество целых решений: $\{3, 4, 5, 6, ...\}$. Это множество не ограничено сверху, поэтому наибольшего целого решения не существует.
Ответ: наибольшего целого решения не существует.

4) Решим неравенство $(x - 1)(x + 1) < 2(x - 5)^2 - x(x - 3)$.
Раскроем скобки в обеих частях неравенства. В левой части применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.
В правой части раскроем квадрат разности $(x-5)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25$, а также произведение $x(x-3) = x^2 - 3x$.
Подставим раскрытые выражения в неравенство:
$x^2 - 1 < 2(x^2 - 10x + 25) - (x^2 - 3x)$
$x^2 - 1 < 2x^2 - 20x + 50 - x^2 + 3x$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$x^2 - 1 < (2x^2 - x^2) + (-20x + 3x) + 50$
$x^2 - 1 < x^2 - 17x + 50$
Вычтем $x^2$ из обеих частей неравенства, от этого знак неравенства не изменится:
$-1 < -17x + 50$
Перенесем слагаемое $-17x$ в левую часть, а $-1$ в правую, изменив их знаки:
$17x < 50 + 1$
$17x < 51$
Разделим обе части на 17:
$x < \frac{51}{17}$
$x < 3$.
Множество целых решений этого неравенства: $\{..., 0, 1, 2\}$. Наибольшим целым решением является 2.
Ответ: 2

27. Решите неравенство:

1) $3x + 6 > 2(2x - 7) - x;$

2) $6,2(3 - 2x) \ge 20 - (12,4x + 1,4);$

3) $6x + (x - 2)(x + 2) \ge (x + 3)^2;$

4) $2x(x - 4) - (2x + 5)(x - 10) < 2(3,5x + 50).$

1)

Решим неравенство $3x + 6 > 2(2x - 7) - x$.

Сначала раскроем скобки в правой части неравенства:

$3x + 6 > 4x - 14 - x$

Далее приведем подобные слагаемые в правой части:

$3x + 6 > 3x - 14$

Теперь перенесем все слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а свободные члены — в правую часть неравенства:

$3x - 3x > -14 - 6$

$0 \cdot x > -20$

Мы получили верное числовое неравенство $0 > -20$, которое не зависит от значения переменной $x$. Это означает, что исходное неравенство справедливо при любом значении $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2)

Решим неравенство $6,2(3 - 2x) \geq 20 - (12,4x + 1,4)$.

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$18,6 - 12,4x \geq 20 - 12,4x - 1,4$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$18,6 - 12,4x \geq 18,6 - 12,4x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$-12,4x + 12,4x \geq 18,6 - 18,6$

$0 \cdot x \geq 0$

Полученное неравенство $0 \geq 0$ является верным и не зависит от значения переменной $x$. Следовательно, решением исходного неравенства является любое действительное число.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

3)

Решим неравенство $6x + (x - 2)(x + 2) \geq (x + 3)^2$.

Для упрощения выражения воспользуемся формулами сокращенного умножения: разностью квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ и квадратом суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Применим формулы:

$6x + (x^2 - 4) \geq x^2 + 6x + 9$

Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства и приведем подобные:

$6x + x^2 - 4 - x^2 - 6x - 9 \geq 0$

$(x^2 - x^2) + (6x - 6x) + (-4 - 9) \geq 0$

$-13 \geq 0$

В результате мы получили неверное числовое неравенство, которое не зависит от $x$. Это означает, что исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений, или $x \in \emptyset$.

4)

Решим неравенство $2x(x - 4) - (2x + 5)(x - 10) < 2(3,5x + 50)$.

Сначала раскроем все скобки в неравенстве.

$2x(x - 4) = 2x^2 - 8x$

$(2x + 5)(x - 10) = 2x^2 - 20x + 5x - 50 = 2x^2 - 15x - 50$

$2(3,5x + 50) = 7x + 100$

Подставим полученные выражения в исходное неравенство:

$(2x^2 - 8x) - (2x^2 - 15x - 50) < 7x + 100$

Раскроем скобки, перед которыми стоит знак минус, изменив знаки слагаемых на противоположные:

$2x^2 - 8x - 2x^2 + 15x + 50 < 7x + 100$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(2x^2 - 2x^2) + (-8x + 15x) + 50 < 7x + 100$

$7x + 50 < 7x + 100$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$7x - 7x < 100 - 50$

$0 \cdot x < 50$

Получили верное числовое неравенство $0 < 50$. Так как оно не зависит от переменной $x$, решением исходного неравенства является любое действительное число.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

28. При каких значениях x имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{4x-3}$;

2) $\sqrt{5-11x}$;

3) $\frac{7}{\sqrt{4x+16}}$;

4) $\sqrt{x+5} + \frac{1}{x-3}$;

5) $\sqrt{8-16x} + \frac{5}{x^2-4}$;

6) $\frac{10}{\sqrt{3x+36}} + \frac{9}{|x|-1}$?

1) Выражение $\sqrt{4x-3}$ имеет смысл (определено), когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть больше или равно нулю.
Решим неравенство:
$4x - 3 \ge 0$
$4x \ge 3$
$x \ge \frac{3}{4}$
Таким образом, выражение имеет смысл при $x$, принадлежащем промежутку $[\frac{3}{4}; +\infty)$.
Ответ: $x \in [\frac{3}{4}; +\infty)$.

2) Выражение $\sqrt{5-11x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.
Решим неравенство:
$5 - 11x \ge 0$
$5 \ge 11x$
$x \le \frac{5}{11}$
Таким образом, выражение имеет смысл при $x$, принадлежащем промежутку $(-\infty; \frac{5}{11}]$.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{5}{11}]$.

3) Выражение $\frac{7}{\sqrt{4x+16}}$ имеет смысл, когда выполняются два условия: подкоренное выражение неотрицательно, и знаменатель не равен нулю. Поскольку корень находится в знаменателе, подкоренное выражение должно быть строго больше нуля.
Решим строгое неравенство:
$4x + 16 > 0$
$4x > -16$
$x > -4$
Таким образом, выражение имеет смысл при $x$, принадлежащем промежутку $(-4; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-4; +\infty)$.

4) Выражение $\sqrt{x+5} + \frac{1}{x-3}$ является суммой двух слагаемых и имеет смысл, когда каждое из них имеет смысл.
1. Для слагаемого $\sqrt{x+5}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательно:
$x+5 \ge 0 \implies x \ge -5$
2. Для слагаемого $\frac{1}{x-3}$ знаменатель не должен быть равен нулю:
$x-3 \ne 0 \implies x \ne 3$
Необходимо найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно: $x \ge -5$ и $x \ne 3$.
Это соответствует объединению промежутков $[-5; 3) \cup (3; +\infty)$.
Ответ: $x \in [-5; 3) \cup (3; +\infty)$.

5) Выражение $\sqrt{8-16x} + \frac{5}{x^2-4}$ имеет смысл, когда каждое из слагаемых имеет смысл.
1. Для слагаемого $\sqrt{8-16x}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательно:
$8-16x \ge 0 \implies 8 \ge 16x \implies x \le \frac{8}{16} \implies x \le \frac{1}{2}$
2. Для слагаемого $\frac{5}{x^2-4}$ знаменатель не должен быть равен нулю:
$x^2-4 \ne 0 \implies x^2 \ne 4 \implies x \ne 2$ и $x \ne -2$.
Объединим условия: $x \le \frac{1}{2}$, $x \ne 2$ и $x \ne -2$. Условие $x \ne 2$ автоматически выполняется, так как $x \le \frac{1}{2}$. Остается учесть, что $x \ne -2$.
Таким образом, $x$ принадлежит объединению промежутков $(-\infty; -2) \cup (-2; \frac{1}{2}]$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; \frac{1}{2}]$.

6) Выражение $\frac{10}{\sqrt{3x+36}} + \frac{9}{|x|-1}$ имеет смысл, когда каждое из слагаемых имеет смысл.
1. Для слагаемого $\frac{10}{\sqrt{3x+36}}$ подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля:
$3x+36 > 0 \implies 3x > -36 \implies x > -12$
2. Для слагаемого $\frac{9}{|x|-1}$ знаменатель не должен быть равен нулю:
$|x|-1 \ne 0 \implies |x| \ne 1 \implies x \ne 1$ и $x \ne -1$.
Объединим все условия: $x > -12$, $x \ne 1$ и $x \ne -1$.
Это соответствует объединению промежутков $(-12; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-12; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

29. При каких значениях $a$ можно разложить на линейные множители квадратный трёхчлен:

1) $2x^2 + 7x - a;$

2) $ax^2 + 4x + 8?$

Квадратный трёхчлен $Ax^2 + Bx + C$ можно разложить на линейные множители тогда и только тогда, когда соответствующее квадратное уравнение $Ax^2 + Bx + C = 0$ имеет действительные корни. Это условие выполняется, если дискриминант $D = B^2 - 4AC$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$. Также для того, чтобы трёхчлен был квадратным, необходимо, чтобы старший коэффициент $A$ не был равен нулю.

1) Рассмотрим трёхчлен $2x^2 + 7x - a$.

Здесь коэффициенты: $A=2$, $B=7$, $C=-a$. Старший коэффициент $A=2 \neq 0$, поэтому это всегда квадратный трёхчлен.

Найдём дискриминант:

$D = B^2 - 4AC = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-a) = 49 + 8a$.

Для того чтобы трёхчлен можно было разложить на множители, должно выполняться условие $D \ge 0$.

$49 + 8a \ge 0$

$8a \ge -49$

$a \ge -\frac{49}{8}$

Ответ: при $a \ge -\frac{49}{8}$.

2) Рассмотрим трёхчлен $ax^2 + 4x + 8$.

Здесь коэффициенты: $A=a$, $B=4$, $C=8$.

Для того чтобы данный трёхчлен был квадратным, необходимо, чтобы старший коэффициент $A$ не был равен нулю, то есть $a \neq 0$.

Найдём дискриминант:

$D = B^2 - 4AC = 4^2 - 4 \cdot a \cdot 8 = 16 - 32a$.

Условие разложения на множители: $D \ge 0$.

$16 - 32a \ge 0$

$16 \ge 32a$

$a \le \frac{16}{32}$

$a \le \frac{1}{2}$

Объединяя два условия ($a \neq 0$ и $a \le \frac{1}{2}$), получаем, что $a$ может принимать любые значения из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; 1/2]$.

Ответ: при $a \in (-\infty; 0) \cup (0; 1/2]$.

30. В саду растут яблони и вишни. Количество яблонь относится к количеству вишен как 3 : 8. Какое наибольшее количество вишен может быть в саду, если всего растёт не более 400 деревьев?

Пусть в саду растёт $3k$ яблонь и $8k$ вишен, где $k$ — это некоторый положительный коэффициент, который должен быть целым числом, так как количество деревьев может быть только целым. При таком представлении соотношение количества яблонь к количеству вишен будет $3k : 8k$, что равно $3:8$, как и указано в условии.

Общее количество деревьев в саду является суммой количества яблонь и вишен:
$Всего\ деревьев = 3k + 8k = 11k$

По условию задачи, всего в саду растёт не более 400 деревьев. Это можно записать в виде неравенства:
$11k \le 400$

Чтобы найти наибольшее возможное количество вишен, нам необходимо найти наибольшее целое значение $k$, которое удовлетворяет этому неравенству. Решим неравенство относительно $k$:
$k \le \frac{400}{11}$
$k \le 36 \frac{4}{11}$

Поскольку $k$ должно быть целым числом, его наибольшее возможное значение равно 36.

Теперь мы можем рассчитать наибольшее количество вишен, которое может быть в саду. Количество вишен равно $8k$. Подставим максимальное значение $k=36$:
$Количество\ вишен = 8 \times 36 = 288$

При этом количество яблонь составит $3 \times 36 = 108$ деревьев, а общее количество деревьев будет $288 + 108 = 396$, что соответствует условию "не более 400".

Ответ: 288.

31. Стороны треугольника равны 10 см, 18 см и $b$ см, где $b$ — натуральное число. Какое наименьшее значение может принимать $b$?

Для того чтобы треугольник с заданными сторонами мог существовать, должно выполняться неравенство треугольника. Это правило гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда должна быть больше длины третьей стороны.

Пусть стороны треугольника равны $a=10$ см, $c=18$ см и $b$ см. Применим неравенство треугольника ко всем трём сторонам:

• Сумма сторон $a$ и $c$ должна быть больше стороны $b$:
  $10 + 18 > b \implies 28 > b$
• Сумма сторон $a$ и $b$ должна быть больше стороны $c$:
  $10 + b > 18 \implies b > 18 - 10 \implies b > 8$
• Сумма сторон $c$ и $b$ должна быть больше стороны $a$:
  $18 + b > 10$. Это неравенство всегда выполняется, так как $b$ — натуральное число, то есть $b \ge 1$, и $18+b$ будет заведомо больше 10.

Таким образом, мы получили два основных ограничения для длины стороны $b$:

$b < 28$ и $b > 8$.

Объединив эти два условия, получаем, что значение $b$ должно находиться в интервале:

$8 < b < 28$

По условию задачи, $b$ является натуральным числом. Нас просят найти наименьшее возможное значение для $b$. Наименьшее натуральное число, которое строго больше 8, — это 9.

Ответ: 9.

32. Сумма трёх последовательных натуральных чисел, кратных 3, не превышает 130. Найдите наибольшее значение, которое может принимать первое число из этой тройки чисел.

Пусть первое из трёх последовательных натуральных чисел, кратных 3, равно $x$. Так как числа являются последовательными натуральными, кратными 3, то каждое следующее число больше предыдущего на 3. Следовательно, второе число равно $x + 3$, а третье число равно $x + 6$.

По условию задачи, сумма этих трёх чисел не превышает 130. Это можно записать в виде неравенства:
$x + (x + 3) + (x + 6) \le 130$

Решим полученное неравенство:
$3x + 9 \le 130$
Перенесём 9 в правую часть неравенства, изменив знак:
$3x \le 130 - 9$
$3x \le 121$
Разделим обе части неравенства на 3:
$x \le \frac{121}{3}$
$x \le 40\frac{1}{3}$

Из условия известно, что $x$ — это натуральное число, кратное 3. Нам необходимо найти наибольшее такое число, удовлетворяющее неравенству $x \le 40\frac{1}{3}$. Наибольшее целое число, которое меньше или равно $40\frac{1}{3}$, это 40. Однако число 40 не делится на 3 без остатка.
Поэтому мы должны найти ближайшее к 40 целое число (не превышающее 40), которое кратно 3. Таким числом является 39.

Проверим: если первое число равно 39, то следующие два числа, кратные 3, — это 42 и 45. Их сумма составляет $39 + 42 + 45 = 126$. Это значение не превышает 130 ($126 \le 130$), что соответствует условию.
Если бы мы взяли следующее по величине число, кратное 3, то есть 42, то сумма была бы $42 + 45 + 48 = 135$, что уже больше 130.
Следовательно, наибольшее возможное значение для первого числа — 39.

Ответ: 39.