Номер 29, страница 8 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

29. При каких значениях $a$ можно разложить на линейные множители квадратный трёхчлен:

1) $2x^2 + 7x - a;$

2) $ax^2 + 4x + 8?$

Квадратный трёхчлен $Ax^2 + Bx + C$ можно разложить на линейные множители тогда и только тогда, когда соответствующее квадратное уравнение $Ax^2 + Bx + C = 0$ имеет действительные корни. Это условие выполняется, если дискриминант $D = B^2 - 4AC$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$. Также для того, чтобы трёхчлен был квадратным, необходимо, чтобы старший коэффициент $A$ не был равен нулю.

1) Рассмотрим трёхчлен $2x^2 + 7x - a$.

Здесь коэффициенты: $A=2$, $B=7$, $C=-a$. Старший коэффициент $A=2 \neq 0$, поэтому это всегда квадратный трёхчлен.

Найдём дискриминант:

$D = B^2 - 4AC = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-a) = 49 + 8a$.

Для того чтобы трёхчлен можно было разложить на множители, должно выполняться условие $D \ge 0$.

$49 + 8a \ge 0$

$8a \ge -49$

$a \ge -\frac{49}{8}$

Ответ: при $a \ge -\frac{49}{8}$.

2) Рассмотрим трёхчлен $ax^2 + 4x + 8$.

Здесь коэффициенты: $A=a$, $B=4$, $C=8$.

Для того чтобы данный трёхчлен был квадратным, необходимо, чтобы старший коэффициент $A$ не был равен нулю, то есть $a \neq 0$.

Найдём дискриминант:

$D = B^2 - 4AC = 4^2 - 4 \cdot a \cdot 8 = 16 - 32a$.

Условие разложения на множители: $D \ge 0$.

$16 - 32a \ge 0$

$16 \ge 32a$

$a \le \frac{16}{32}$

$a \le \frac{1}{2}$

Объединяя два условия ($a \neq 0$ и $a \le \frac{1}{2}$), получаем, что $a$ может принимать любые значения из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; 1/2]$.

Ответ: при $a \in (-\infty; 0) \cup (0; 1/2]$.