Номер 33, страница 9 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

33. Решите уравнение:

1) $|x - 2| + x = 1;$

2) $|2x + 4| - x = 3;$

3) $|x - 4| + x = 9;$

4) $|x + 3| - x = 2.$

1)

Решим уравнение $|x - 2| + x = 1$.

Для решения уравнений с модулем необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения под модулем. Точка, в которой выражение под модулем меняет знак: $x - 2 = 0 \implies x = 2$.

Случай 1: $x \ge 2$.

В этом случае $|x - 2| = x - 2$. Уравнение принимает вид:

$(x - 2) + x = 1$

$2x - 2 = 1$

$2x = 3$

$x = 1.5$

Полученный корень $x = 1.5$ не удовлетворяет условию $x \ge 2$, следовательно, он не является решением.

Случай 2: $x < 2$.

В этом случае $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$. Уравнение принимает вид:

$(2 - x) + x = 1$

$2 = 1$

Получено неверное равенство, значит, в этом случае решений нет.

Объединяя результаты обоих случаев, приходим к выводу, что уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

2)

Решим уравнение $|2x + 4| - x = 3$.

Найдем точку, в которой выражение под модулем равно нулю: $2x + 4 = 0 \implies 2x = -4 \implies x = -2$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x \ge -2$.

В этом случае $2x + 4 \ge 0$, поэтому $|2x + 4| = 2x + 4$. Уравнение принимает вид:

$(2x + 4) - x = 3$

$x + 4 = 3$

$x = -1$

Корень $x = -1$ удовлетворяет условию $x \ge -2$, значит, это решение.

Случай 2: $x < -2$.

В этом случае $2x + 4 < 0$, поэтому $|2x + 4| = -(2x + 4) = -2x - 4$. Уравнение принимает вид:

$(-2x - 4) - x = 3$

$-3x - 4 = 3$

$-3x = 7$

$x = -7/3$

Корень $x = -7/3$ (что примерно равно $-2.33$) удовлетворяет условию $x < -2$, значит, это тоже решение.

Ответ: $-7/3; -1$.

3)

Решим уравнение $|x - 4| + x = 9$.

Найдем точку, в которой выражение под модулем равно нулю: $x - 4 = 0 \implies x = 4$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x \ge 4$.

В этом случае $|x - 4| = x - 4$. Уравнение принимает вид:

$(x - 4) + x = 9$

$2x - 4 = 9$

$2x = 13$

$x = 13/2 = 6.5$

Корень $x = 6.5$ удовлетворяет условию $x \ge 4$, следовательно, является решением.

Случай 2: $x < 4$.

В этом случае $|x - 4| = -(x - 4) = 4 - x$. Уравнение принимает вид:

$(4 - x) + x = 9$

$4 = 9$

Получено неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.

Ответ: $6.5$.

4)

Решим уравнение $|x + 3| - x = 2$.

Найдем точку, в которой выражение под модулем равно нулю: $x + 3 = 0 \implies x = -3$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x \ge -3$.

В этом случае $|x + 3| = x + 3$. Уравнение принимает вид:

$(x + 3) - x = 2$

$3 = 2$

Получено неверное равенство, значит, в этом случае решений нет.

Случай 2: $x < -3$.

В этом случае $|x + 3| = -(x + 3) = -x - 3$. Уравнение принимает вид:

$(-x - 3) - x = 2$

$-2x - 3 = 2$

$-2x = 5$

$x = -5/2 = -2.5$

Полученный корень $x = -2.5$ не удовлетворяет условию $x < -3$, следовательно, он не является решением.

Объединяя результаты обоих случаев, приходим к выводу, что уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.