Номер 34, страница 9 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

34. Постройте график функции:

1) $y = |x + 3|;$

2) $y = |x - 1| + 2;$

3) $y = |x + 2| - x.$

1) $y = |x + 3|$

Для построения графика функции, содержащей модуль, необходимо раскрыть модуль. По определению, $|a| = a$, если $a \geq 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$.

Выражение под модулем $x+3$ обращается в ноль при $x = -3$. Это значение разбивает числовую ось на два промежутка: $x \ge -3$ и $x < -3$.

Рассмотрим функцию на каждом из этих промежутков:

• Если $x + 3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$, то $|x+3| = x+3$. Функция принимает вид $y = x+3$. Это линейная функция, её график – прямая. Для построения достаточно двух точек, например: при $x = -3$, $y = -3+3=0$, точка $(-3, 0)$; при $x = 0$, $y=0+3=3$, точка $(0, 3)$.

• Если $x + 3 < 0$, то есть $x < -3$, то $|x+3| = -(x+3) = -x-3$. Функция принимает вид $y = -x-3$. Это также линейная функция. Найдём две точки: при $x = -4$, $y = -(-4)-3=1$, точка $(-4, 1)$; при $x = -5$, $y=-(-5)-3=2$, точка $(-5, 2)$.

Итак, график функции $y=|x+3|$ состоит из двух лучей, выходящих из точки $(-3, 0)$. Также можно отметить, что этот график получается из графика функции $y=|x|$ сдвигом на 3 единицы влево по оси абсцисс.

Ответ: График функции представляет собой "галочку" (два луча), вершина которой находится в точке $(-3, 0)$. Ветви направлены вверх. Для $x \ge -3$ график совпадает с прямой $y = x+3$, а для $x < -3$ — с прямой $y = -x-3$.

2) $y = |x - 1| + 2$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая. Выражение под модулем $x-1$ равно нулю при $x = 1$.

• Если $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$, то $|x-1| = x-1$. Функция принимает вид $y = (x-1) + 2 = x+1$. Это прямая. Найдём точки: при $x=1$, $y=1+1=2$, точка $(1, 2)$; при $x=3$, $y=3+1=4$, точка $(3, 4)$.

• Если $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$, то $|x-1| = -(x-1) = -x+1$. Функция принимает вид $y = (-x+1) + 2 = -x+3$. Это прямая. Найдём точки: при $x=0$, $y=-0+3=3$, точка $(0, 3)$; при $x=-1$, $y=-(-1)+3=4$, точка $(-1, 4)$.

График функции состоит из двух лучей, выходящих из точки $(1, 2)$. Этот график также можно получить преобразованиями графика $y=|x|$: сдвигом на 1 единицу вправо по оси $Ox$ и на 2 единицы вверх по оси $Oy$.

Ответ: График функции представляет собой "галочку", вершина которой находится в точке $(1, 2)$. Ветви направлены вверх. Для $x \ge 1$ график совпадает с прямой $y = x+1$, а для $x < 1$ — с прямой $y = -x+3$.

3) $y = |x + 2| - x$

Снова раскроем модуль. Выражение $x+2$ обращается в ноль при $x = -2$.

• Если $x + 2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$, то $|x+2| = x+2$. Функция принимает вид $y = (x+2) - x = 2$. На этом промежутке график функции – это горизонтальный луч $y=2$, начинающийся в точке $(-2, 2)$ и идущий вправо.

• Если $x + 2 < 0$, то есть $x < -2$, то $|x+2| = -(x+2) = -x-2$. Функция принимает вид $y = (-x-2) - x = -2x-2$. Это линейная функция. Найдём точки на этом луче: при $x=-3$, $y=-2(-3)-2 = 6-2=4$, точка $(-3, 4)$; при $x=-4$, $y=-2(-4)-2=8-2=6$, точка $(-4, 6)$.

Таким образом, график состоит из двух лучей, соединенных в точке $(-2, 2)$.

Ответ: График функции состоит из двух лучей, исходящих из точки $(-2, 2)$. При $x \ge -2$ график является горизонтальным лучом $y=2$. При $x < -2$ график является лучом, лежащим на прямой $y = -2x-2$.