Страница 9 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

33. Решите уравнение:

1) $|x - 2| + x = 1;$

2) $|2x + 4| - x = 3;$

3) $|x - 4| + x = 9;$

4) $|x + 3| - x = 2.$

1)

Решим уравнение $|x - 2| + x = 1$.

Для решения уравнений с модулем необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения под модулем. Точка, в которой выражение под модулем меняет знак: $x - 2 = 0 \implies x = 2$.

Случай 1: $x \ge 2$.

В этом случае $|x - 2| = x - 2$. Уравнение принимает вид:

$(x - 2) + x = 1$

$2x - 2 = 1$

$2x = 3$

$x = 1.5$

Полученный корень $x = 1.5$ не удовлетворяет условию $x \ge 2$, следовательно, он не является решением.

Случай 2: $x < 2$.

В этом случае $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$. Уравнение принимает вид:

$(2 - x) + x = 1$

$2 = 1$

Получено неверное равенство, значит, в этом случае решений нет.

Объединяя результаты обоих случаев, приходим к выводу, что уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

2)

Решим уравнение $|2x + 4| - x = 3$.

Найдем точку, в которой выражение под модулем равно нулю: $2x + 4 = 0 \implies 2x = -4 \implies x = -2$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x \ge -2$.

В этом случае $2x + 4 \ge 0$, поэтому $|2x + 4| = 2x + 4$. Уравнение принимает вид:

$(2x + 4) - x = 3$

$x + 4 = 3$

$x = -1$

Корень $x = -1$ удовлетворяет условию $x \ge -2$, значит, это решение.

Случай 2: $x < -2$.

В этом случае $2x + 4 < 0$, поэтому $|2x + 4| = -(2x + 4) = -2x - 4$. Уравнение принимает вид:

$(-2x - 4) - x = 3$

$-3x - 4 = 3$

$-3x = 7$

$x = -7/3$

Корень $x = -7/3$ (что примерно равно $-2.33$) удовлетворяет условию $x < -2$, значит, это тоже решение.

Ответ: $-7/3; -1$.

3)

Решим уравнение $|x - 4| + x = 9$.

Найдем точку, в которой выражение под модулем равно нулю: $x - 4 = 0 \implies x = 4$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x \ge 4$.

В этом случае $|x - 4| = x - 4$. Уравнение принимает вид:

$(x - 4) + x = 9$

$2x - 4 = 9$

$2x = 13$

$x = 13/2 = 6.5$

Корень $x = 6.5$ удовлетворяет условию $x \ge 4$, следовательно, является решением.

Случай 2: $x < 4$.

В этом случае $|x - 4| = -(x - 4) = 4 - x$. Уравнение принимает вид:

$(4 - x) + x = 9$

$4 = 9$

Получено неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.

Ответ: $6.5$.

4)

Решим уравнение $|x + 3| - x = 2$.

Найдем точку, в которой выражение под модулем равно нулю: $x + 3 = 0 \implies x = -3$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x \ge -3$.

В этом случае $|x + 3| = x + 3$. Уравнение принимает вид:

$(x + 3) - x = 2$

$3 = 2$

Получено неверное равенство, значит, в этом случае решений нет.

Случай 2: $x < -3$.

В этом случае $|x + 3| = -(x + 3) = -x - 3$. Уравнение принимает вид:

$(-x - 3) - x = 2$

$-2x - 3 = 2$

$-2x = 5$

$x = -5/2 = -2.5$

Полученный корень $x = -2.5$ не удовлетворяет условию $x < -3$, следовательно, он не является решением.

Объединяя результаты обоих случаев, приходим к выводу, что уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

34. Постройте график функции:

1) $y = |x + 3|;$

2) $y = |x - 1| + 2;$

3) $y = |x + 2| - x.$

1) $y = |x + 3|$

Для построения графика функции, содержащей модуль, необходимо раскрыть модуль. По определению, $|a| = a$, если $a \geq 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$.

Выражение под модулем $x+3$ обращается в ноль при $x = -3$. Это значение разбивает числовую ось на два промежутка: $x \ge -3$ и $x < -3$.

Рассмотрим функцию на каждом из этих промежутков:

• Если $x + 3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$, то $|x+3| = x+3$. Функция принимает вид $y = x+3$. Это линейная функция, её график – прямая. Для построения достаточно двух точек, например: при $x = -3$, $y = -3+3=0$, точка $(-3, 0)$; при $x = 0$, $y=0+3=3$, точка $(0, 3)$.

• Если $x + 3 < 0$, то есть $x < -3$, то $|x+3| = -(x+3) = -x-3$. Функция принимает вид $y = -x-3$. Это также линейная функция. Найдём две точки: при $x = -4$, $y = -(-4)-3=1$, точка $(-4, 1)$; при $x = -5$, $y=-(-5)-3=2$, точка $(-5, 2)$.

Итак, график функции $y=|x+3|$ состоит из двух лучей, выходящих из точки $(-3, 0)$. Также можно отметить, что этот график получается из графика функции $y=|x|$ сдвигом на 3 единицы влево по оси абсцисс.

Ответ: График функции представляет собой "галочку" (два луча), вершина которой находится в точке $(-3, 0)$. Ветви направлены вверх. Для $x \ge -3$ график совпадает с прямой $y = x+3$, а для $x < -3$ — с прямой $y = -x-3$.

2) $y = |x - 1| + 2$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая. Выражение под модулем $x-1$ равно нулю при $x = 1$.

• Если $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$, то $|x-1| = x-1$. Функция принимает вид $y = (x-1) + 2 = x+1$. Это прямая. Найдём точки: при $x=1$, $y=1+1=2$, точка $(1, 2)$; при $x=3$, $y=3+1=4$, точка $(3, 4)$.

• Если $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$, то $|x-1| = -(x-1) = -x+1$. Функция принимает вид $y = (-x+1) + 2 = -x+3$. Это прямая. Найдём точки: при $x=0$, $y=-0+3=3$, точка $(0, 3)$; при $x=-1$, $y=-(-1)+3=4$, точка $(-1, 4)$.

График функции состоит из двух лучей, выходящих из точки $(1, 2)$. Этот график также можно получить преобразованиями графика $y=|x|$: сдвигом на 1 единицу вправо по оси $Ox$ и на 2 единицы вверх по оси $Oy$.

Ответ: График функции представляет собой "галочку", вершина которой находится в точке $(1, 2)$. Ветви направлены вверх. Для $x \ge 1$ график совпадает с прямой $y = x+1$, а для $x < 1$ — с прямой $y = -x+3$.

3) $y = |x + 2| - x$

Снова раскроем модуль. Выражение $x+2$ обращается в ноль при $x = -2$.

• Если $x + 2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$, то $|x+2| = x+2$. Функция принимает вид $y = (x+2) - x = 2$. На этом промежутке график функции – это горизонтальный луч $y=2$, начинающийся в точке $(-2, 2)$ и идущий вправо.

• Если $x + 2 < 0$, то есть $x < -2$, то $|x+2| = -(x+2) = -x-2$. Функция принимает вид $y = (-x-2) - x = -2x-2$. Это линейная функция. Найдём точки на этом луче: при $x=-3$, $y=-2(-3)-2 = 6-2=4$, точка $(-3, 4)$; при $x=-4$, $y=-2(-4)-2=8-2=6$, точка $(-4, 6)$.

Таким образом, график состоит из двух лучей, соединенных в точке $(-2, 2)$.

Ответ: График функции состоит из двух лучей, исходящих из точки $(-2, 2)$. При $x \ge -2$ график является горизонтальным лучом $y=2$. При $x < -2$ график является лучом, лежащим на прямой $y = -2x-2$.

35. При каких значениях $b$ имеет положительный корень уравнение:

1) $5x - 7 = 4b;$

2) $(b - 4)x = 9?$

1)

Чтобы найти значения параметра $b$, при которых уравнение имеет положительный корень, сначала выразим $x$ через $b$ из данного уравнения.

$5x - 7 = 4b$

Перенесем $-7$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$5x = 4b + 7$

Разделим обе части уравнения на $5$, чтобы найти $x$:

$x = \frac{4b + 7}{5}$

По условию задачи, корень уравнения $x$ должен быть положительным, то есть $x > 0$. Составим и решим неравенство:

$\frac{4b + 7}{5} > 0$

Знаменатель дроби $5$ является положительным числом. Следовательно, для того чтобы вся дробь была больше нуля, числитель также должен быть больше нуля:

$4b + 7 > 0$

$4b > -7$

$b > -\frac{7}{4}$

Таким образом, уравнение имеет положительный корень при всех значениях $b$, больших $-\frac{7}{4}$.

Ответ: при $b > -\frac{7}{4}$.

2)

Рассмотрим уравнение $(b - 4)x = 9$. Для нахождения $x$ необходимо разделить обе части уравнения на $(b - 4)$. Это действие возможно только в том случае, если делитель не равен нулю. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x$ равен нулю.

$b - 4 = 0$, то есть $b = 4$.

Подставив это значение в исходное уравнение, получим:

$0 \cdot x = 9$

$0 = 9$

Это равенство является неверным, следовательно, при $b = 4$ уравнение не имеет корней.

Случай 2: Коэффициент при $x$ не равен нулю.

$b - 4 \neq 0$, то есть $b \neq 4$.

В этом случае мы можем выразить $x$:

$x = \frac{9}{b - 4}$

Согласно условию, корень $x$ должен быть положительным, то есть $x > 0$.

$\frac{9}{b - 4} > 0$

Числитель дроби $9$ — положительное число. Чтобы вся дробь была положительной, ее знаменатель также должен быть положительным.

$b - 4 > 0$

$b > 4$

Полученное условие $b > 4$ автоматически исключает случай $b = 4$.

Ответ: при $b > 4$.

36. При каких значениях $b$ имеет единственный положительный корень уравнение:

1) $(b-2)x = b^2 - 4$;

2) $(4b^2 + 11b)x = b?$

1)

Рассмотрим уравнение $(b - 2)x = b^2 - 4$.

Это линейное уравнение вида $Ax = B$, где $A = b - 2$ и $B = b^2 - 4$.

Для того чтобы уравнение имело единственный корень, коэффициент при $x$ не должен быть равен нулю. То есть, $b - 2 \neq 0$, откуда $b \neq 2$.

При $b \neq 2$ корень уравнения равен:

$x = \frac{b^2 - 4}{b - 2}$

Разложим числитель по формуле разности квадратов:

$x = \frac{(b - 2)(b + 2)}{b - 2}$

Сократив дробь, получаем:

$x = b + 2$

По условию, этот корень должен быть положительным, то есть $x > 0$.

$b + 2 > 0$

$b > -2$

Таким образом, мы имеем два условия для $b$: $b \neq 2$ и $b > -2$.

Рассмотрим случай, когда $b = 2$. Уравнение принимает вид:

$(2 - 2)x = 2^2 - 4$

$0 \cdot x = 0$

Это равенство верно для любого значения $x$, то есть уравнение имеет бесконечно много корней, а не единственный положительный корень. Следовательно, значение $b=2$ не подходит.

Объединяя условия $b > -2$ и $b \neq 2$, получаем итоговое решение.

Ответ: $b \in (-2, 2) \cup (2, +\infty)$.

2)

Рассмотрим уравнение $(4b^2 + 11b)x = b$.

Это линейное уравнение вида $Ax = B$, где $A = 4b^2 + 11b$ и $B = b$.

Уравнение имеет единственный корень, если коэффициент при $x$ не равен нулю.

$4b^2 + 11b \neq 0$

$b(4b + 11) \neq 0$

Это означает, что $b \neq 0$ и $4b + 11 \neq 0$, то есть $b \neq -\frac{11}{4}$.

При этих условиях единственный корень уравнения равен:

$x = \frac{b}{4b^2 + 11b} = \frac{b}{b(4b + 11)}$

Так как $b \neq 0$, мы можем сократить дробь:

$x = \frac{1}{4b + 11}$

По условию, корень должен быть положительным, то есть $x > 0$.

$\frac{1}{4b + 11} > 0$

Дробь положительна, когда ее числитель и знаменатель одного знака. Так как числитель (1) положителен, знаменатель также должен быть положителен:

$4b + 11 > 0$

$4b > -11$

$b > -\frac{11}{4}$

Итак, мы имеем условия: $b > -\frac{11}{4}$ и $b \neq 0$.

Рассмотрим случаи, когда коэффициент при $x$ равен нулю.

Если $b = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$. Уравнение имеет бесконечное множество корней, что не соответствует условию.

Если $b = -\frac{11}{4}$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = -\frac{11}{4}$. Это равенство неверно, и уравнение не имеет корней.

Следовательно, оба этих случая не подходят.

Объединяя условия $b > -\frac{11}{4}$ и $b \neq 0$, получаем итоговое решение.

Ответ: $b \in (-\frac{11}{4}, 0) \cup (0, +\infty)$.

37. При каких значениях $a$ не имеет корней уравнение:

1) $x^2 + 4x - a = 0;$

2) $(a-1)x^2 + (2a-3)x + a = 0;$

3) $(a-2)x^2 - 2(a-3)x + a + 1 = 0?$

1) Уравнение $x^2 + 4x - a = 0$ является квадратным. Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант отрицателен ($D < 0$).
Коэффициенты уравнения: $A=1, B=4, C=-a$.
Найдем дискриминант по формуле $D = B^2 - 4AC$:
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 16 + 4a$.
Решим неравенство $D < 0$:
$16 + 4a < 0$
$4a < -16$
$a < -4$
Ответ: $a \in (-\infty; -4)$.

2) Рассмотрим уравнение $(a-1)x^2 + (2a-3)x + a = 0$.
Необходимо рассмотреть два случая.
Случай 1: Уравнение является линейным. Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю.
$a-1 = 0 \implies a=1$.
Подставим $a=1$ в исходное уравнение:
$(1-1)x^2 + (2 \cdot 1 - 3)x + 1 = 0$
$0 \cdot x^2 - x + 1 = 0$
$-x = -1 \implies x=1$.
При $a=1$ уравнение имеет один корень, что не удовлетворяет условию задачи.
Случай 2: Уравнение является квадратным. Это происходит при $a-1 \neq 0$, то есть $a \neq 1$.
Уравнение не имеет корней, если его дискриминант $D < 0$.
$D = (2a-3)^2 - 4(a-1)a = (4a^2 - 12a + 9) - (4a^2 - 4a) = 4a^2 - 12a + 9 - 4a^2 + 4a = -8a + 9$.
Решим неравенство $D < 0$:
$-8a + 9 < 0$
$9 < 8a$
$a > \frac{9}{8}$.
Это решение удовлетворяет условию $a \neq 1$, так как $\frac{9}{8} > 1$.
Ответ: $a \in (\frac{9}{8}; +\infty)$.

3) Рассмотрим уравнение $(a-2)x^2 - 2(a-3)x + a + 1 = 0$.
Необходимо рассмотреть два случая.
Случай 1: Уравнение является линейным. Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю.
$a-2 = 0 \implies a=2$.
Подставим $a=2$ в исходное уравнение:
$(2-2)x^2 - 2(2-3)x + 2 + 1 = 0$
$0 \cdot x^2 - 2(-1)x + 3 = 0$
$2x + 3 = 0 \implies x = -\frac{3}{2}$.
При $a=2$ уравнение имеет один корень, что не удовлетворяет условию задачи.
Случай 2: Уравнение является квадратным. Это происходит при $a-2 \neq 0$, то есть $a \neq 2$.
Уравнение не имеет корней, если его дискриминант $D < 0$. Так как коэффициент при $x$ четный, удобнее использовать $D_1 = (\frac{B}{2})^2 - AC$.
$D_1 = (-(a-3))^2 - (a-2)(a+1) = (a^2 - 6a + 9) - (a^2 + a - 2a - 2) = (a^2 - 6a + 9) - (a^2 - a - 2) = -5a + 11$.
Решим неравенство $D_1 < 0$:
$-5a + 11 < 0$
$11 < 5a$
$a > \frac{11}{5}$.
Это решение удовлетворяет условию $a \neq 2$, так как $\frac{11}{5} = 2.2 > 2$.
Ответ: $a \in (\frac{11}{5}; +\infty)$.

38. Для каждого значения $a$ решите неравенство:

1) $(a-3)x < 0;$

2) $(a-3)x > 4;$

3) $(a-3)x \le a-3;$

4) $(a-3)^2 x \ge 0;$

5) $a-x \le 2-ax;$

6) $4(x-a) > 8+ax;$

7) $(a+1)x > a^2-1;$

8) $(a-5)x \le a^2-25.$

1) $(a-3)x < 0$

Решение данного линейного неравенства зависит от знака коэффициента $k = a-3$ при переменной $x$. Рассмотрим три возможных случая.

1. Если $a-3 > 0$, то есть $a > 3$. Делим обе части неравенства на положительное число $(a-3)$, знак неравенства при этом сохраняется: $x < \frac{0}{a-3}$, что равносильно $x < 0$.

2. Если $a-3 < 0$, то есть $a < 3$. Делим обе части неравенства на отрицательное число $(a-3)$, знак неравенства при этом меняется на противоположный: $x > \frac{0}{a-3}$, что равносильно $x > 0$.

3. Если $a-3 = 0$, то есть $a = 3$. Неравенство принимает вид $0 \cdot x < 0$, или $0 < 0$. Это неверное числовое неравенство, следовательно, решений нет.

Ответ: если $a > 3$, то $x \in (-\infty; 0)$; если $a < 3$, то $x \in (0; +\infty)$; если $a = 3$, то решений нет.

2) $(a-3)x > 4$

Решение зависит от знака коэффициента $k = a-3$.

1. Если $a-3 > 0$, то есть $a > 3$. Делим обе части на положительное число $(a-3)$, знак неравенства сохраняется: $x > \frac{4}{a-3}$.

2. Если $a-3 < 0$, то есть $a < 3$. Делим обе части на отрицательное число $(a-3)$, знак неравенства меняется на противоположный: $x < \frac{4}{a-3}$.

3. Если $a-3 = 0$, то есть $a = 3$. Неравенство принимает вид $0 \cdot x > 4$, или $0 > 4$. Это неверное числовое неравенство, следовательно, решений нет.

Ответ: если $a > 3$, то $x \in (\frac{4}{a-3}; +\infty)$; если $a < 3$, то $x \in (-\infty; \frac{4}{a-3})$; если $a = 3$, то решений нет.

3) $(a-3)x \leq a-3$

Решение зависит от знака коэффициента $k = a-3$.

1. Если $a-3 > 0$, то есть $a > 3$. Делим обе части на положительное число $(a-3)$, знак неравенства сохраняется: $x \leq \frac{a-3}{a-3}$, что равносильно $x \leq 1$.

2. Если $a-3 < 0$, то есть $a < 3$. Делим обе части на отрицательное число $(a-3)$, знак неравенства меняется на противоположный: $x \geq \frac{a-3}{a-3}$, что равносильно $x \geq 1$.

3. Если $a-3 = 0$, то есть $a = 3$. Неравенство принимает вид $0 \cdot x \leq 0$, или $0 \leq 0$. Это верное числовое неравенство, которое выполняется при любом значении $x$.

Ответ: если $a > 3$, то $x \in (-\infty; 1]$; если $a < 3$, то $x \in [1; +\infty)$; если $a = 3$, то $x \in (-\infty; +\infty)$.

4) $(a-3)^2 x \geq 0$

Решение зависит от знака коэффициента $k = (a-3)^2$.

1. Если $a \neq 3$, то $(a-3)^2 > 0$. Делим обе части неравенства на положительное число $(a-3)^2$, знак неравенства сохраняется: $x \geq \frac{0}{(a-3)^2}$, что равносильно $x \geq 0$.

2. Если $a = 3$, то $(a-3)^2 = 0$. Неравенство принимает вид $0 \cdot x \geq 0$, или $0 \geq 0$. Это верное числовое неравенство, которое выполняется при любом значении $x$.

Ответ: если $a \neq 3$, то $x \in [0; +\infty)$; если $a = 3$, то $x \in (-\infty; +\infty)$.

5) $a-x \leq 2-ax$

Сначала преобразуем неравенство, собрав слагаемые с $x$ в одной части:
$ax - x \leq 2-a$
$x(a-1) \leq 2-a$

Решение зависит от знака коэффициента $k = a-1$.

1. Если $a-1 > 0$, то есть $a > 1$. Делим обе части на положительное число $(a-1)$: $x \leq \frac{2-a}{a-1}$.

2. Если $a-1 < 0$, то есть $a < 1$. Делим обе части на отрицательное число $(a-1)$ и меняем знак неравенства: $x \geq \frac{2-a}{a-1}$.

3. Если $a-1 = 0$, то есть $a = 1$. Неравенство принимает вид $0 \cdot x \leq 2-1$, или $0 \leq 1$. Это верное числовое неравенство, которое выполняется при любом значении $x$.

Ответ: если $a > 1$, то $x \in (-\infty; \frac{2-a}{a-1}]$; если $a < 1$, то $x \in [\frac{2-a}{a-1}; +\infty)$; если $a = 1$, то $x \in (-\infty; +\infty)$.

6) $4(x-a) > 8 + ax$

Преобразуем неравенство:
$4x - 4a > 8 + ax$
$4x - ax > 8 + 4a$
$x(4-a) > 4(a+2)$

Решение зависит от знака коэффициента $k = 4-a$.

1. Если $4-a > 0$, то есть $a < 4$. Делим на положительное число $(4-a)$: $x > \frac{4(a+2)}{4-a}$.

2. Если $4-a < 0$, то есть $a > 4$. Делим на отрицательное число $(4-a)$ и меняем знак неравенства: $x < \frac{4(a+2)}{4-a}$.

3. Если $4-a = 0$, то есть $a = 4$. Неравенство принимает вид $0 \cdot x > 4(4+2)$, или $0 > 24$. Это неверное числовое неравенство, следовательно, решений нет.

Ответ: если $a < 4$, то $x \in (\frac{4(a+2)}{4-a}; +\infty)$; если $a > 4$, то $x \in (-\infty; \frac{4(a+2)}{4-a})$; если $a = 4$, то решений нет.

7) $(a+1)x > a^2-1$

Разложим правую часть на множители: $(a+1)x > (a-1)(a+1)$.

Решение зависит от знака коэффициента $k = a+1$.

1. Если $a+1 > 0$, то есть $a > -1$. Делим на положительное число $(a+1)$: $x > a-1$.

2. Если $a+1 < 0$, то есть $a < -1$. Делим на отрицательное число $(a+1)$ и меняем знак неравенства: $x < a-1$.

3. Если $a+1 = 0$, то есть $a = -1$. Неравенство принимает вид $0 \cdot x > (-1)^2 - 1$, или $0 > 0$. Это неверное числовое неравенство, следовательно, решений нет.

Ответ: если $a > -1$, то $x \in (a-1; +\infty)$; если $a < -1$, то $x \in (-\infty; a-1)$; если $a = -1$, то решений нет.

8) $(a-5)x \leq a^2-25$

Разложим правую часть на множители: $(a-5)x \leq (a-5)(a+5)$.

Решение зависит от знака коэффициента $k = a-5$.

1. Если $a-5 > 0$, то есть $a > 5$. Делим на положительное число $(a-5)$: $x \leq a+5$.

2. Если $a-5 < 0$, то есть $a < 5$. Делим на отрицательное число $(a-5)$ и меняем знак неравенства: $x \geq a+5$.

3. Если $a-5 = 0$, то есть $a = 5$. Неравенство принимает вид $0 \cdot x \leq 5^2 - 25$, или $0 \leq 0$. Это верное числовое неравенство, которое выполняется при любом значении $x$.

Ответ: если $a > 5$, то $x \in (-\infty; a+5]$; если $a < 5$, то $x \in [a+5; +\infty)$; если $a = 5$, то $x \in (-\infty; +\infty)$.

39. Среди чисел -2; 1,5; 4 укажите решения системы неравенств:

1) $ \begin{cases} x > -3, \\ x < 6; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 2x - 1 > x + 3, \\ 8x + 3 > 7 + x. \end{cases} $

Чтобы определить, какие из чисел –2; 1,5; 4 являются решениями систем неравенств, нужно сначала найти множество решений для каждой системы, а затем проверить, принадлежат ли ему данные числа.

1) Рассмoтрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x > -3, \\ x < 6; \end{cases} $$ Решением данной системы являются все значения $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-3 < x < 6$. Геометрически это интервал от -3 до 6, не включая концы интервала, то есть $x \in (-3; 6)$.

Теперь проверим каждое из предложенных чисел:

• Для числа -2: $-3 < -2 < 6$. Это верное неравенство, значит, -2 является решением системы.
• Для числа 1,5: $-3 < 1,5 < 6$. Это верное неравенство, значит, 1,5 является решением системы.
• Для числа 4: $-3 < 4 < 6$. Это верное неравенство, значит, 4 является решением системы.

Ответ: -2; 1,5; 4.

2) Рассмoтрим систему неравенств: $$ \begin{cases} 2x - 1 > x + 3, \\ 8x + 3 > 7 + x. \end{cases} $$ Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Решение первого неравенства: $2x - 1 > x + 3$ $2x - x > 3 + 1$ $x > 4$

Решение второго неравенства: $8x + 3 > 7 + x$ $8x - x > 7 - 3$ $7x > 4$ $x > \frac{4}{7}$

Решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств, то есть $x > 4$ и $x > \frac{4}{7}$. Поскольку любое число, большее 4, также больше и $\frac{4}{7}$, то общим решением системы является $x > 4$. Геометрически это интервал от 4 до плюс бесконечности, не включая 4, то есть $x \in (4; +\infty)$.

Теперь проверим каждое из предложенных чисел:

• Для числа -2: $-2 > 4$. Это неверное неравенство, значит, -2 не является решением системы.
• Для числа 1,5: $1,5 > 4$. Это неверное неравенство, значит, 1,5 не является решением системы.
• Для числа 4: $4 > 4$. Это неверное неравенство (неравенство строгое), значит, 4 не является решением системы.

Ответ: среди предложенных чисел нет решений.

40. Изобразите на координатной прямой промежуток:

1) $(-4; 2);$

2) $[-4; 2];$

3) $[-4; 2);$

4) $(-4; 2].$

1) (-4; 2)

Данный промежуток является открытым интервалом. Он включает в себя все действительные числа $x$, которые удовлетворяют строгому двойному неравенству $-4 < x < 2$. Круглые скобки означают, что концы промежутка, числа -4 и 2, не принадлежат этому множеству. На координатной прямой такие точки изображаются "выколотыми" или пустыми кружками.

Ответ:

2) [-4; 2]

Данный промежуток является отрезком (или замкнутым интервалом). Он включает в себя все действительные числа $x$, которые удовлетворяют нестрогому двойному неравенству $-4 \le x \le 2$. Квадратные скобки означают, что концы промежутка, числа -4 и 2, принадлежат этому множеству. На координатной прямой такие точки изображаются "закрашенными" или сплошными кружками.

Ответ:

3) [-4; 2)

Данный промежуток является полуинтервалом. Он включает в себя все действительные числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $-4 \le x < 2$. Квадратная скобка у числа -4 означает, что оно включается в промежуток, а круглая скобка у числа 2 – что оно не включается. На координатной прямой точка -4 изображается закрашенной, а точка 2 – выколотой.

Ответ:

4) (-4; 2]

Данный промежуток также является полуинтервалом. Он включает в себя все действительные числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $-4 < x \le 2$. Круглая скобка у числа -4 означает, что оно не включается в промежуток, а квадратная скобка у числа 2 – что оно включается. На координатной прямой точка -4 изображается выколотой, а точка 2 – закрашенной.

Ответ:

41. Изобразите на координатной прямой и запишите промежуток, который задаётся неравенством:

1) $0 < x < 9$;

2) $\frac{1}{3} \le x \le 4\frac{1}{8}$;

3) $-3,8 < x \le 6,4$;

4) $0,1 \le x < 604$.

1) $0 < x < 9$

Данное двойное неравенство является строгим. Это означает, что $x$ принимает значения больше 0, но меньше 9. Сами числа 0 и 9 в этот промежуток не входят.

Изображение на координатной прямой:
На числовой оси отмечаем точки 0 и 9. Так как неравенство строгое, эти точки изображаются "выколотыми" (пустыми) кружками. Область между этими точками штрихуется.

Запись промежутка:
Для строгих неравенств используются круглые скобки. Промежуток, соответствующий неравенству $0 < x < 9$, записывается как $(0; 9)$.

Ответ: $(0; 9)$

2) $\frac{1}{3} \le x \le 4\frac{1}{8}$

Данное двойное неравенство является нестрогим. Это означает, что $x$ принимает значения от $\frac{1}{3}$ до $4\frac{1}{8}$ включительно.

Изображение на координатной прямой:
На числовой оси отмечаем точки $\frac{1}{3}$ и $4\frac{1}{8}$. Так как неравенство нестрогое, эти точки изображаются закрашенными (сплошными) кружками, что означает их включение в промежуток. Область между этими точками штрихуется.

Запись промежутка:
Для нестрогих неравенств используются квадратные скобки. Промежуток, соответствующий неравенству $\frac{1}{3} \le x \le 4\frac{1}{8}$, записывается как $[\frac{1}{3}; 4\frac{1}{8}]$.

Ответ: $[\frac{1}{3}; 4\frac{1}{8}]$

3) $-3,8 < x \le 6,4$

Данное двойное неравенство является смешанным. С одной стороны, $x$ строго больше $-3,8$, а с другой — меньше или равен $6,4$. Это означает, что число $-3,8$ не входит в промежуток, а число $6,4$ входит.

Изображение на координатной прямой:
На числовой оси отмечаем точки $-3,8$ и $6,4$. Точка $-3,8$ изображается "выколотым" кружком (так как неравенство $x > -3,8$ строгое), а точка $6,4$ — закрашенным кружком (так как неравенство $x \le 6,4$ нестрогое). Область между точками штрихуется.

Запись промежутка:
Для записи такого промежутка используются и круглая, и квадратная скобки. Промежуток записывается как $(-3,8; 6,4]$.

Ответ: $(-3,8; 6,4]$

4) $0,1 \le x < 604$

Это также смешанное двойное неравенство. $x$ больше или равен $0,1$, но строго меньше $604$. Число $0,1$ входит в промежуток, а число $604$ — нет.

Изображение на координатной прямой:
На числовой оси отмечаем точки $0,1$ и $604$. Точка $0,1$ изображается закрашенным кружком (неравенство $x \ge 0,1$ нестрогое), а точка $604$ — "выколотым" кружком (неравенство $x < 604$ строгое). Область между ними штрихуется.

Запись промежутка:
Промежуток, соответствующий данному неравенству, записывается с помощью квадратной и круглой скобок: $[0,1; 604)$.

Ответ: $[0,1; 604)$