Страница 5 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

8. Известно, что $a < b$. Сравните:

1) $a-3$ и $b$;

2) $a$ и $b+4$;

3) $-a+1$ и $-b+1$;

4) $a+5$ и $b-1$.

1) a - 3 и b;

По условию нам дано неравенство $a < b$. Выражение $a - 3$ меньше, чем $a$, так как из числа вычитается положительное значение 3. Таким образом, $a - 3 < a$. Используя свойство транзитивности для неравенств, мы можем объединить два неравенства: $a - 3 < a$ и $a < b$. Из этого следует, что $a - 3 < b$.

Ответ: $a - 3 < b$.

2) a и b + 4;

Мы исходим из того, что $a < b$. Выражение $b + 4$ больше, чем $b$, так как к числу прибавляется положительное значение 4. Таким образом, $b < b + 4$. Снова применим свойство транзитивности: $a < b$ и $b < b + 4$. Следовательно, $a < b + 4$.

Ответ: $a < b + 4$.

3) -a + 1 и -b + 1;

Начнем с исходного неравенства $a < b$. Умножим обе части неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $-a > -b$. Теперь прибавим к обеим частям полученного неравенства число 1. Сложение или вычитание одного и того же числа не меняет знак неравенства: $-a + 1 > -b + 1$.

Ответ: $-a + 1 > -b + 1$.

4) a + 5 и b - 1.

Чтобы сравнить два выражения, найдем их разность: $(a + 5) - (b - 1) = a + 5 - b + 1 = (a - b) + 6$. Из условия $a < b$ следует, что разность $a - b$ является отрицательным числом, то есть $a - b < 0$. Знак итогового выражения $(a - b) + 6$ зависит от величины разности $a - b$. Рассмотрим несколько примеров:

• Пусть $a = 1$ и $b = 10$. Условие $a < b$ выполняется. Тогда $a + 5 = 1 + 5 = 6$, а $b - 1 = 10 - 1 = 9$. В этом случае $a + 5 < b - 1$.
• Пусть $a = 4$ и $b = 5$. Условие $a < b$ выполняется. Тогда $a + 5 = 4 + 5 = 9$, а $b - 1 = 5 - 1 = 4$. В этом случае $a + 5 > b - 1$.
• Пусть $a = 1$ и $b = 7$. Условие $a < b$ выполняется. Тогда $a + 5 = 1 + 5 = 6$, а $b - 1 = 7 - 1 = 6$. В этом случае $a + 5 = b - 1$.

Поскольку результат сравнения может быть любым (меньше, больше или равно), то на основании только условия $a < b$ сделать однозначный вывод о соотношении между $a + 5$ и $b - 1$ невозможно.

Ответ: Сравнить невозможно, так как результат сравнения зависит от конкретных значений $a$ и $b$.

9. Сравните числа $a$ и 0, если:

1) $6a > 5a$;

2) $\frac{a}{8} < \frac{a}{9}$;

3) $-7a > -9a$;

4) $-\frac{a}{100} > -\frac{a}{10}$.

1) Дано неравенство $6a > 5a$.
Для того чтобы найти знак числа $a$, решим это неравенство. Перенесем $5a$ в левую часть неравенства с противоположным знаком:
$6a - 5a > 0$
Приведем подобные члены:
$a > 0$
Следовательно, число $a$ больше нуля.
Ответ: $a > 0$.

2) Дано неравенство $\frac{a}{8} < \frac{a}{9}$.
Перенесем все члены в левую часть неравенства:
$\frac{a}{8} - \frac{a}{9} < 0$
Приведем дроби к общему знаменателю, который равен $72$:
$\frac{9a}{72} - \frac{8a}{72} < 0$
$\frac{9a - 8a}{72} < 0$
$\frac{a}{72} < 0$
Умножим обе части неравенства на $72$. Так как $72 > 0$, знак неравенства не изменится:
$a < 0$
Следовательно, число $a$ меньше нуля.
Ответ: $a < 0$.

3) Дано неравенство $-7a > -9a$.
Перенесем $-9a$ в левую часть неравенства с противоположным знаком:
$-7a + 9a > 0$
Приведем подобные члены:
$2a > 0$
Разделим обе части неравенства на $2$. Так как $2 > 0$, знак неравенства не изменится:
$a > 0$
Следовательно, число $a$ больше нуля.
Ответ: $a > 0$.

4) Дано неравенство $-\frac{a}{100} > -\frac{a}{10}$.
Перенесем все члены в левую часть неравенства:
$\frac{a}{10} - \frac{a}{100} > 0$
Приведем дроби к общему знаменателю, который равен $100$:
$\frac{10a}{100} - \frac{a}{100} > 0$
$\frac{10a - a}{100} > 0$
$\frac{9a}{100} > 0$
Умножим обе части неравенства на $100$ и разделим на $9$. Так как оба числа положительные, знак неравенства не изменится:
$a > 0$
Следовательно, число $a$ больше нуля.
Ответ: $a > 0$.

10. Дано: $a > 0$ и $b < 0$. Сравните:

1) $a - b$ и $0$;

2) $b - a$ и $a$;

3) $4a - 5b$ и $b$;

4) $\frac{1}{3b - 2a}$ и $a$.

1) a – b и 0;

По условию дано, что $a > 0$ (a — положительное число) и $b < 0$ (b — отрицательное число).

Рассмотрим выражение $a - b$. Так как $b$ — отрицательное число, то $-b$ будет положительным числом, то есть $-b > 0$.

Таким образом, выражение $a - b$ представляет собой сумму двух положительных чисел: $a$ (которое положительно по условию) и $-b$ (которое тоже положительно). Сумма двух положительных чисел всегда положительна.

Следовательно, $a - b > 0$.

Ответ: $a - b > 0$

2) b – a и a;

По условию $b < 0$ и $a > 0$.

Рассмотрим выражение $b - a$. Это то же самое, что и $b + (-a)$.

Так как $a > 0$, то $-a < 0$. Выражение $b - a$ является суммой двух отрицательных чисел ($b$ и $-a$). Сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна.

Значит, $b - a < 0$.

Теперь сравним отрицательное число $b - a$ и положительное число $a$. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

Следовательно, $b - a < a$.

Ответ: $b - a < a$

3) 4a – 5b и b;

Для сравнения двух выражений найдем знак их разности: $(4a - 5b) - b$.

$(4a - 5b) - b = 4a - 5b - b = 4a - 6b$.

Определим знак полученного выражения $4a - 6b$.

По условию $a > 0$, следовательно, $4a > 0$.

По условию $b < 0$, следовательно, $6b < 0$, а $-6b > 0$.

Выражение $4a - 6b$ является суммой двух положительных чисел ($4a$ и $-6b$), поэтому оно положительно: $4a - 6b > 0$.

Так как разность $(4a - 5b) - b > 0$, то уменьшаемое больше вычитаемого.

Следовательно, $4a - 5b > b$.

Ответ: $4a - 5b > b$

4) $\frac{1}{3b - 2a}$ и a.

Сначала определим знак знаменателя дроби $3b - 2a$.

По условию $b < 0$, значит, $3b < 0$.

По условию $a > 0$, значит, $2a > 0$, а $-2a < 0$.

Знаменатель $3b - 2a$ является суммой двух отрицательных чисел ($3b$ и $-2a$), следовательно, он отрицателен: $3b - 2a < 0$.

Теперь определим знак всей дроби $\frac{1}{3b - 2a}$. Числитель дроби (1) — положительное число, а знаменатель ($3b - 2a$) — отрицательное. При делении положительного числа на отрицательное результат будет отрицательным.

Таким образом, $\frac{1}{3b - 2a} < 0$.

Теперь сравним отрицательное число $\frac{1}{3b - 2a}$ и положительное число $a$ (по условию $a > 0$). Любое отрицательное число меньше любого положительного.

Следовательно, $\frac{1}{3b - 2a} < a$.

Ответ: $\frac{1}{3b - 2a} < a$

11. Верно ли утверждение:

1) если $a > 3$ и $b > 10$, то $a+b > 13$;

2) если $a > 3$ и $b > 10$, то $a+b > 12$;

3) если $a > 3$ и $b > 10$, то $a+b > 14$;

4) если $a > 3$ и $b > 10$, то $ab > 30$;

5) если $a > 3$ и $b > 10$, то $a-b > -7$;

6) если $a > 3$ и $b > 10$, то $ab > 28$;

7) если $a > 3$ и $b > 10$, то $2a+4b > 39$;

8) если $a > 3$ и $b < 10$, то $a-b > -7$;

9) если $a < 3$ и $b < 10$, то $ab < 30$;

10) если $0 < a < 3$ и $0 < b < 10$, то $ab < 30$;

11) если $a > 3$, то $a^2 > 9$;

12) если $a < 3$, то $a^2 < 9$;

13) если $a > 3$, то $\frac{1}{a} < \frac{1}{3}$;

14) если $a < 3$, то $\frac{1}{a} > \frac{1}{3}$?

1) если $a > 3$ и $b > 10$, то $a + b > 13$;
Сложим два верных неравенства с одинаковым знаком: $a > 3$ и $b > 10$. Получим $a + b > 3 + 10$, что равносильно $a + b > 13$. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

2) если $a > 3$ и $b > 10$, то $a + b > 12$;
Из предыдущего пункта мы знаем, что $a + b > 13$. Любое число, которое больше 13, автоматически больше 12. Следовательно, утверждение верно.
Ответ: Верно.

3) если $a > 3$ и $b > 10$, то $a + b > 14$;
Утверждение неверно. Можно привести контрпример. Пусть $a = 3.1$ и $b = 10.1$. Условия $a > 3$ и $b > 10$ выполнены. Однако их сумма $a + b = 3.1 + 10.1 = 13.2$. Неравенство $13.2 > 14$ не является верным.
Ответ: Неверно.

4) если $a > 3$ и $b > 10$, то $ab > 30$;
Так как $a$ и $b$ — положительные числа ($a > 3 > 0$, $b > 10 > 0$), мы можем почленно перемножить неравенства $a > 3$ и $b > 10$. Получим $a \cdot b > 3 \cdot 10$, то есть $ab > 30$. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

5) если $a > 3$ и $b > 10$, то $a - b > -7$;
Утверждение неверно. Возьмем контрпример. Пусть $a = 4$ (что больше 3) и $b = 12$ (что больше 10). Тогда $a - b = 4 - 12 = -8$. Неравенство $-8 > -7$ не является верным.
Ответ: Неверно.

6) если $a > 3$ и $b > 10$, то $ab > 28$;
Из пункта 4 мы знаем, что $ab > 30$. Любое число, которое больше 30, также больше 28. Следовательно, утверждение верно.
Ответ: Верно.

7) если $a > 3$ и $b > 10$, то $2a + 4b > 39$;
Умножим неравенство $a > 3$ на 2 (положительное число), получим $2a > 6$. Умножим неравенство $b > 10$ на 4 (положительное число), получим $4b > 40$. Сложим полученные неравенства: $2a + 4b > 6 + 40$, то есть $2a + 4b > 46$. Так как любое число, большее 46, также больше 39, утверждение верно.
Ответ: Верно.

8) если $a > 3$ и $b < 10$, то $a - b > -7$;
Из неравенства $b < 10$ следует, что $-b > -10$ (при умножении на -1 знак неравенства меняется). Теперь сложим два неравенства с одинаковым знаком: $a > 3$ и $-b > -10$. Получим $a + (-b) > 3 + (-10)$, то есть $a - b > -7$. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

9) если $a < 3$ и $b < 10$, то $ab < 30$;
Утверждение неверно, так как переменные могут быть отрицательными. Возьмем контрпример: пусть $a = -5$ и $b = -4$. Условия $a < 3$ ($-5 < 3$) и $b < 10$ ($-4 < 10$) выполнены. Однако их произведение $ab = (-5) \cdot (-4) = 20$. Неравенство $20 < 30$ верно. Попробуем другой контрпример: $a=-10$ и $b=-5$. $ab=50$. Неравенство $50 < 30$ неверно.
Ответ: Неверно.

10) если $0 < a < 3$ и $0 < b < 10$, то $ab < 30$;
Поскольку $a$ и $b$ — положительные числа, мы можем почленно перемножить неравенства $a < 3$ и $b < 10$. В результате получим $a \cdot b < 3 \cdot 10$, то есть $ab < 30$. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

11) если $a > 3$, то $a^2 > 9$;
Так как $a > 3$, то $a$ — положительное число. Для положительных чисел функция $y = x^2$ является возрастающей, поэтому можно возвести обе части неравенства в квадрат, сохранив знак: $a^2 > 3^2$, что дает $a^2 > 9$. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

12) если $a < 3$, то $a^2 < 9$;
Утверждение неверно, так как $a$ может быть отрицательным числом с большим по модулю значением. Возьмем контрпример: пусть $a = -4$. Условие $a < 3$ ($-4 < 3$) выполнено. Однако $a^2 = (-4)^2 = 16$. Неравенство $16 < 9$ не является верным.
Ответ: Неверно.

13) если $a > 3$, то $\frac{1}{a} < \frac{1}{3}$;
Так как $a > 3$, обе части неравенства положительны. При взятии обратных величин от обеих частей неравенства (с одинаковыми знаками) знак неравенства меняется на противоположный. Таким образом, из $a > 3$ следует $\frac{1}{a} < \frac{1}{3}$. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

14) если $a < 3$, то $\frac{1}{a} > \frac{1}{3}$?
Утверждение неверно. Оно справедливо только для случая $0 < a < 3$. Если $a$ — отрицательное число (что удовлетворяет условию $a < 3$), то $\frac{1}{a}$ будет отрицательным, а $\frac{1}{3}$ — положительным. Отрицательное число не может быть больше положительного. Например, пусть $a = -1$. Условие $-1 < 3$ выполнено, но $\frac{1}{-1} > \frac{1}{3}$ (то есть $-1 > \frac{1}{3}$) — неверно. Также при $a=0$ выражение не определено.
Ответ: Неверно.