Номер 11, страница 5 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

11. Верно ли утверждение:

1) если $a > 3$ и $b > 10$, то $a+b > 13$;

2) если $a > 3$ и $b > 10$, то $a+b > 12$;

3) если $a > 3$ и $b > 10$, то $a+b > 14$;

4) если $a > 3$ и $b > 10$, то $ab > 30$;

5) если $a > 3$ и $b > 10$, то $a-b > -7$;

6) если $a > 3$ и $b > 10$, то $ab > 28$;

7) если $a > 3$ и $b > 10$, то $2a+4b > 39$;

8) если $a > 3$ и $b < 10$, то $a-b > -7$;

9) если $a < 3$ и $b < 10$, то $ab < 30$;

10) если $0 < a < 3$ и $0 < b < 10$, то $ab < 30$;

11) если $a > 3$, то $a^2 > 9$;

12) если $a < 3$, то $a^2 < 9$;

13) если $a > 3$, то $\frac{1}{a} < \frac{1}{3}$;

14) если $a < 3$, то $\frac{1}{a} > \frac{1}{3}$?

1) если $a > 3$ и $b > 10$, то $a + b > 13$;
Сложим два верных неравенства с одинаковым знаком: $a > 3$ и $b > 10$. Получим $a + b > 3 + 10$, что равносильно $a + b > 13$. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

2) если $a > 3$ и $b > 10$, то $a + b > 12$;
Из предыдущего пункта мы знаем, что $a + b > 13$. Любое число, которое больше 13, автоматически больше 12. Следовательно, утверждение верно.
Ответ: Верно.

3) если $a > 3$ и $b > 10$, то $a + b > 14$;
Утверждение неверно. Можно привести контрпример. Пусть $a = 3.1$ и $b = 10.1$. Условия $a > 3$ и $b > 10$ выполнены. Однако их сумма $a + b = 3.1 + 10.1 = 13.2$. Неравенство $13.2 > 14$ не является верным.
Ответ: Неверно.

4) если $a > 3$ и $b > 10$, то $ab > 30$;
Так как $a$ и $b$ — положительные числа ($a > 3 > 0$, $b > 10 > 0$), мы можем почленно перемножить неравенства $a > 3$ и $b > 10$. Получим $a \cdot b > 3 \cdot 10$, то есть $ab > 30$. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

5) если $a > 3$ и $b > 10$, то $a - b > -7$;
Утверждение неверно. Возьмем контрпример. Пусть $a = 4$ (что больше 3) и $b = 12$ (что больше 10). Тогда $a - b = 4 - 12 = -8$. Неравенство $-8 > -7$ не является верным.
Ответ: Неверно.

6) если $a > 3$ и $b > 10$, то $ab > 28$;
Из пункта 4 мы знаем, что $ab > 30$. Любое число, которое больше 30, также больше 28. Следовательно, утверждение верно.
Ответ: Верно.

7) если $a > 3$ и $b > 10$, то $2a + 4b > 39$;
Умножим неравенство $a > 3$ на 2 (положительное число), получим $2a > 6$. Умножим неравенство $b > 10$ на 4 (положительное число), получим $4b > 40$. Сложим полученные неравенства: $2a + 4b > 6 + 40$, то есть $2a + 4b > 46$. Так как любое число, большее 46, также больше 39, утверждение верно.
Ответ: Верно.

8) если $a > 3$ и $b < 10$, то $a - b > -7$;
Из неравенства $b < 10$ следует, что $-b > -10$ (при умножении на -1 знак неравенства меняется). Теперь сложим два неравенства с одинаковым знаком: $a > 3$ и $-b > -10$. Получим $a + (-b) > 3 + (-10)$, то есть $a - b > -7$. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

9) если $a < 3$ и $b < 10$, то $ab < 30$;
Утверждение неверно, так как переменные могут быть отрицательными. Возьмем контрпример: пусть $a = -5$ и $b = -4$. Условия $a < 3$ ($-5 < 3$) и $b < 10$ ($-4 < 10$) выполнены. Однако их произведение $ab = (-5) \cdot (-4) = 20$. Неравенство $20 < 30$ верно. Попробуем другой контрпример: $a=-10$ и $b=-5$. $ab=50$. Неравенство $50 < 30$ неверно.
Ответ: Неверно.

10) если $0 < a < 3$ и $0 < b < 10$, то $ab < 30$;
Поскольку $a$ и $b$ — положительные числа, мы можем почленно перемножить неравенства $a < 3$ и $b < 10$. В результате получим $a \cdot b < 3 \cdot 10$, то есть $ab < 30$. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

11) если $a > 3$, то $a^2 > 9$;
Так как $a > 3$, то $a$ — положительное число. Для положительных чисел функция $y = x^2$ является возрастающей, поэтому можно возвести обе части неравенства в квадрат, сохранив знак: $a^2 > 3^2$, что дает $a^2 > 9$. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

12) если $a < 3$, то $a^2 < 9$;
Утверждение неверно, так как $a$ может быть отрицательным числом с большим по модулю значением. Возьмем контрпример: пусть $a = -4$. Условие $a < 3$ ($-4 < 3$) выполнено. Однако $a^2 = (-4)^2 = 16$. Неравенство $16 < 9$ не является верным.
Ответ: Неверно.

13) если $a > 3$, то $\frac{1}{a} < \frac{1}{3}$;
Так как $a > 3$, обе части неравенства положительны. При взятии обратных величин от обеих частей неравенства (с одинаковыми знаками) знак неравенства меняется на противоположный. Таким образом, из $a > 3$ следует $\frac{1}{a} < \frac{1}{3}$. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

14) если $a < 3$, то $\frac{1}{a} > \frac{1}{3}$?
Утверждение неверно. Оно справедливо только для случая $0 < a < 3$. Если $a$ — отрицательное число (что удовлетворяет условию $a < 3$), то $\frac{1}{a}$ будет отрицательным, а $\frac{1}{3}$ — положительным. Отрицательное число не может быть больше положительного. Например, пусть $a = -1$. Условие $-1 < 3$ выполнено, но $\frac{1}{-1} > \frac{1}{3}$ (то есть $-1 > \frac{1}{3}$) — неверно. Также при $a=0$ выражение не определено.
Ответ: Неверно.