Номер 12, страница 6 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

12. Дано: $-4 < a < 3$. Оцените значение выражения:

1) $4a$;

2) $\frac{a}{5}$;

3) $a+5$;

4) $a-7$;

5) $-a$;

6) $-2a$;

7) $2a-6$;

8) $5-3a$.

Для решения всех пунктов будем использовать свойство числовых неравенств: если $a < x < b$, то при $c > 0$ имеем $ac < xc < bc$, а при $c < 0$ имеем $ac > xc > bc$. Также, прибавление или вычитание любого числа ко всем частям неравенства не меняет его знак: $a+d < x+d < b+d$.

1) 4a
Чтобы оценить значение выражения $4a$, умножим все части исходного неравенства $-4 < a < 3$ на 4. Так как 4 — положительное число, знаки неравенства не меняются:
$-4 \cdot 4 < a \cdot 4 < 3 \cdot 4$
$-16 < 4a < 12$
Ответ: $-16 < 4a < 12$

2) a/5
Чтобы оценить значение выражения $\frac{a}{5}$, разделим все части исходного неравенства $-4 < a < 3$ на 5. Так как 5 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:
$\frac{-4}{5} < \frac{a}{5} < \frac{3}{5}$
Ответ: $-\frac{4}{5} < \frac{a}{5} < \frac{3}{5}$

3) a + 5
Чтобы оценить значение выражения $a + 5$, прибавим 5 ко всем частям исходного неравенства $-4 < a < 3$ :
$-4 + 5 < a + 5 < 3 + 5$
$1 < a + 5 < 8$
Ответ: $1 < a + 5 < 8$

4) a - 7
Чтобы оценить значение выражения $a - 7$, вычтем 7 из всех частей исходного неравенства $-4 < a < 3$ :
$-4 - 7 < a - 7 < 3 - 7$
$-11 < a - 7 < -4$
Ответ: $-11 < a - 7 < -4$

5) -a
Для оценки значения выражения $-a$, умножим все части исходного неравенства $-4 < a < 3$ на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-4 \cdot (-1) > a \cdot (-1) > 3 \cdot (-1)$
$4 > -a > -3$
Запишем неравенство в привычном виде, от меньшего к большему:
$-3 < -a < 4$
Ответ: $-3 < -a < 4$

6) -2a
Для оценки значения выражения $-2a$, умножим все части исходного неравенства $-4 < a < 3$ на -2. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-4 \cdot (-2) > a \cdot (-2) > 3 \cdot (-2)$
$8 > -2a > -6$
Запишем неравенство в стандартном виде:
$-6 < -2a < 8$
Ответ: $-6 < -2a < 8$

7) 2a - 6
Оценка значения выражения $2a - 6$ выполняется в два шага. Сначала умножим все части исходного неравенства $-4 < a < 3$ на 2:
$-4 \cdot 2 < a \cdot 2 < 3 \cdot 2$
$-8 < 2a < 6$
Теперь вычтем 6 из всех частей полученного неравенства:
$-8 - 6 < 2a - 6 < 6 - 6$
$-14 < 2a - 6 < 0$
Ответ: $-14 < 2a - 6 < 0$

8) 5 - 3a
Оценка значения выражения $5 - 3a$ выполняется в два шага. Сначала найдем границы для $-3a$. Умножим все части исходного неравенства $-4 < a < 3$ на -3, не забывая поменять знаки неравенства на противоположные:
$-4 \cdot (-3) > a \cdot (-3) > 3 \cdot (-3)$
$12 > -3a > -9$
Или, в стандартном виде: $-9 < -3a < 12$.
Теперь прибавим 5 ко всем частям этого неравенства:
$-9 + 5 < -3a + 5 < 12 + 5$
$-4 < 5 - 3a < 17$
Ответ: $-4 < 5 - 3a < 17$