Номер 13, страница 6 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

13. Известно, что $3,3 < \sqrt{11} < 3,4$. Оцените значение выражения:

1) $3\sqrt{11}$;

2) $-4\sqrt{11}$;

3) $5 - \sqrt{11}$;

4) $\frac{5 - \sqrt{11}}{2}$.

Для решения задачи воспользуемся свойством числовых неравенств: если $a < x < b$, то:

• $c \times a < c \times x < c \times b$, если $c > 0$
• $c \times a > c \times x > c \times b$, если $c < 0$
• $a + d < x + d < b + d$ для любого $d$

Нам дано неравенство: $3,3 < \sqrt{11} < 3,4$.

1)

Чтобы оценить значение выражения $3\sqrt{11}$, умножим все части исходного неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$3 \times 3,3 < 3 \times \sqrt{11} < 3 \times 3,4$

$9,9 < 3\sqrt{11} < 10,2$

Ответ: $9,9 < 3\sqrt{11} < 10,2$

2)

Чтобы оценить значение выражения $-4\sqrt{11}$, умножим все части исходного неравенства на -4. Так как -4 — отрицательное число, знаки неравенства меняются на противоположные:

$-4 \times 3,3 > -4 \times \sqrt{11} > -4 \times 3,4$

$-13,2 > -4\sqrt{11} > -13,6$

Запишем полученное неравенство в стандартном виде, от меньшего числа к большему:

$-13,6 < -4\sqrt{11} < -13,2$

Ответ: $-13,6 < -4\sqrt{11} < -13,2$

3)

Чтобы оценить значение выражения $5 - \sqrt{11}$, сначала найдем оценку для $-\sqrt{11}$. Для этого умножим исходное неравенство на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:

$-1 \times 3,3 > -1 \times \sqrt{11} > -1 \times 3,4$

$-3,3 > -\sqrt{11} > -3,4$

Что равносильно: $-3,4 < -\sqrt{11} < -3,3$.

Теперь прибавим 5 ко всем частям этого неравенства:

$5 - 3,4 < 5 - \sqrt{11} < 5 - 3,3$

$1,6 < 5 - \sqrt{11} < 1,7$

Ответ: $1,6 < 5 - \sqrt{11} < 1,7$

4)

Чтобы оценить значение выражения $\frac{5 - \sqrt{11}}{2}$, воспользуемся результатом из предыдущего пункта: $1,6 < 5 - \sqrt{11} < 1,7$.

Разделим все части этого неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$\frac{1,6}{2} < \frac{5 - \sqrt{11}}{2} < \frac{1,7}{2}$

$0,8 < \frac{5 - \sqrt{11}}{2} < 0,85$

Ответ: $0,8 < \frac{5 - \sqrt{11}}{2} < 0,85$