Номер 20, страница 6 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

20. Решите неравенство:

1) $\frac{1}{x^2} + 1 > 0;$

2) $\frac{x-1}{x-1} > 0;$

3) $\frac{x-1}{x-1} \ge 0;$

4) $\frac{x-1}{x-1} > \frac{1}{2};$

5) $\frac{x-1}{x-1} \le 1;$

6) $\left(\frac{x-2}{x-3}\right)^2 \ge 0;$

7) $\left(\frac{x-2}{x-3}\right)^2 > 0;$

8) $x + \frac{1}{x} > \frac{1}{x} - 1.$

1) $ \frac{1}{x^2} + 1 > 0 $

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного неравенства определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $ x^2 \neq 0 $, откуда $ x \neq 0 $.

Для любого действительного числа $ x \neq 0 $, выражение $ x^2 $ всегда будет положительным ($ x^2 > 0 $). Следовательно, дробь $ \frac{1}{x^2} $ также всегда будет положительной.

Неравенство представляет собой сумму двух положительных слагаемых: $ \frac{1}{x^2} $ и $ 1 $. Сумма двух положительных чисел всегда положительна. Таким образом, неравенство $ \frac{1}{x^2} + 1 > 0 $ выполняется для всех значений $ x $ из ОДЗ.

Ответ: $ x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) $.

2) $ \frac{x-1}{x-1} > 0 $

ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $ x - 1 \neq 0 $, что означает $ x \neq 1 $.

При всех $ x \neq 1 $, выражение $ \frac{x-1}{x-1} $ равно 1.

Подставив это значение в неравенство, получаем: $ 1 > 0 $.

Это утверждение является верным. Следовательно, исходное неравенство справедливо для всех значений $ x $ из области допустимых значений.

Ответ: $ x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty) $.

3) $ \frac{x-1}{x-1} \geq 0 $

ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $ x - 1 \neq 0 $, что означает $ x \neq 1 $.

При всех $ x \neq 1 $, выражение $ \frac{x-1}{x-1} $ равно 1.

Подставив это значение в неравенство, получаем: $ 1 \geq 0 $.

Это утверждение является верным. Следовательно, исходное неравенство справедливо для всех значений $ x $ из области допустимых значений.

Ответ: $ x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty) $.

4) $ \frac{x-1}{x-1} > \frac{1}{2} $

ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $ x - 1 \neq 0 $, что означает $ x \neq 1 $.

При всех $ x \neq 1 $, выражение $ \frac{x-1}{x-1} $ равно 1.

Подставив это значение в неравенство, получаем: $ 1 > \frac{1}{2} $.

Это утверждение является верным. Следовательно, исходное неравенство справедливо для всех значений $ x $ из области допустимых значений.

Ответ: $ x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty) $.

5) $ \frac{x-1}{x-1} \leq 1 $

ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $ x - 1 \neq 0 $, что означает $ x \neq 1 $.

При всех $ x \neq 1 $, выражение $ \frac{x-1}{x-1} $ равно 1.

Подставив это значение в неравенство, получаем: $ 1 \leq 1 $.

Это утверждение является верным (так как $ 1 = 1 $). Следовательно, исходное неравенство справедливо для всех значений $ x $ из области допустимых значений.

Ответ: $ x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty) $.

6) $ \left(\frac{x-2}{x-3}\right)^2 \geq 0 $

ОДЗ: знаменатель дроби не должен быть равен нулю, поэтому $ x - 3 \neq 0 $, что означает $ x \neq 3 $.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Выражение $ \left(\frac{x-2}{x-3}\right)^2 $ является квадратом действительного числа для всех $ x $ из ОДЗ.

Следовательно, неравенство $ \left(\frac{x-2}{x-3}\right)^2 \geq 0 $ выполняется для всех допустимых значений $ x $.

Ответ: $ x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty) $.

7) $ \left(\frac{x-2}{x-3}\right)^2 > 0 $

ОДЗ: знаменатель дроби не должен быть равен нулю, поэтому $ x - 3 \neq 0 $, что означает $ x \neq 3 $.

Квадрат действительного числа строго больше нуля, если само число не равно нулю. Поэтому нам нужно, чтобы выполнялось условие:

$ \frac{x-2}{x-3} \neq 0 $

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю. Значит, нам нужно исключить случай, когда $ x - 2 = 0 $, то есть $ x \neq 2 $.

Объединяя все условия, получаем, что $ x $ не может быть равен 2 (чтобы выражение не было равно нулю) и не может быть равен 3 (из ОДЗ).

Ответ: $ x \in (-\infty; 2) \cup (2; 3) \cup (3; +\infty) $.

8) $ x + \frac{1}{x} > \frac{1}{x} - 1 $

ОДЗ: знаменатель дроби не должен быть равен нулю, поэтому $ x \neq 0 $.

Вычтем $ \frac{1}{x} $ из обеих частей неравенства:

$ x + \frac{1}{x} - \frac{1}{x} > -1 $

Упростив, получаем:

$ x > -1 $

Теперь необходимо учесть ОДЗ ($ x \neq 0 $). Решением является пересечение множеств $ x > -1 $ и $ x \neq 0 $.

Таким образом, решение - это все числа, которые больше -1, за исключением нуля.

Ответ: $ x \in (-1; 0) \cup (0; +\infty) $.