Номер 15, страница 6 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Даны неравенства $4 < a < 7$ и $3 < b < 5$.

Для оценки суммы $a+b$ необходимо сложить почленно данные неравенства:

$4+3 < a+b < 7+5$

Выполнив сложение, получаем:

$7 < a+b < 12$

Ответ: $7 < a+b < 12$.

Даны неравенства $4 < a < 7$ и $3 < b < 5$.

Для оценки разности $a-b$ представим ее в виде суммы $a+(-b)$.

Сначала найдем границы для $-b$. Умножим все части неравенства $3 < b < 5$ на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-3 > -b > -5$, что эквивалентно $-5 < -b < -3$.

Теперь сложим почленно неравенства для $a$ и $-b$:

$4+(-5) < a+(-b) < 7+(-3)$

Выполнив сложение, получаем:

$-1 < a-b < 4$

Ответ: $-1 < a-b < 4$.

Даны неравенства $4 < a < 7$ и $3 < b < 5$.

Поскольку все части данных неравенств являются положительными числами, мы можем их почленно перемножить, сохранив знак неравенства:

$4 \cdot 3 < a \cdot b < 7 \cdot 5$

Выполнив умножение, получаем:

$12 < ab < 35$

Ответ: $12 < ab < 35$.

Даны неравенства $4 < a < 7$ и $3 < b < 5$.

Для оценки частного $a/b$ представим его в виде произведения $a \cdot \frac{1}{b}$.

Сначала найдем границы для $\frac{1}{b}$. Так как $3 < b < 5$ и все части неравенства положительны, при взятии обратной величины знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{1}{3} > \frac{1}{b} > \frac{1}{5}$, что эквивалентно $\frac{1}{5} < \frac{1}{b} < \frac{1}{3}$.

Теперь перемножим почленно неравенства для $a$ и $\frac{1}{b}$ (все части положительны):

$4 \cdot \frac{1}{5} < a \cdot \frac{1}{b} < 7 \cdot \frac{1}{3}$

$\frac{4}{5} < \frac{a}{b} < \frac{7}{3}$

Ответ: $\frac{4}{5} < \frac{a}{b} < \frac{7}{3}$.

Даны неравенства $4 < a < 7$ и $3 < b < 5$.

Сначала оценим значение $3a$. Умножим неравенство $4 < a < 7$ на 3:

$3 \cdot 4 < 3a < 3 \cdot 7 \implies 12 < 3a < 21$.

Затем оценим значение $7b$. Умножим неравенство $3 < b < 5$ на 7:

$7 \cdot 3 < 7b < 7 \cdot 5 \implies 21 < 7b < 35$.

Теперь сложим почленно полученные неравенства:

$12+21 < 3a+7b < 21+35$

$33 < 3a+7b < 56$

Ответ: $33 < 3a+7b < 56$.

Даны неравенства $4 < a < 7$ и $3 < b < 5$.

Сначала оценим значение $2a$. Умножим неравенство $4 < a < 7$ на 2:

$2 \cdot 4 < 2a < 2 \cdot 7 \implies 8 < 2a < 14$.

Затем оценим значение $-5b$. Умножим неравенство $3 < b < 5$ на -5 (знаки неравенства изменятся на противоположные):

$-5 \cdot 3 > -5b > -5 \cdot 5 \implies -15 > -5b > -25$, что эквивалентно $-25 < -5b < -15$.

Теперь сложим почленно неравенства для $2a$ и $-5b$:

$8+(-25) < 2a+(-5b) < 14+(-15)$

$-17 < 2a-5b < -1$

Ответ: $-17 < 2a-5b < -1$.

Даны неравенства $4 < a < 7$ и $3 < b < 5$.

Сначала оценим числитель $4b$. Умножим неравенство $3 < b < 5$ на 4:

$4 \cdot 3 < 4b < 4 \cdot 5 \implies 12 < 4b < 20$.

Затем оценим знаменатель $9a$. Умножим неравенство $4 < a < 7$ на 9:

$9 \cdot 4 < 9a < 9 \cdot 7 \implies 36 < 9a < 63$.

Чтобы найти границы для дроби с положительными числителем и знаменателем, нужно наименьшее значение числителя разделить на наибольшее значение знаменателя (это даст нижнюю границу), и наибольшее значение числителя разделить на наименьшее значение знаменателя (это даст верхнюю границу).

Нижняя граница: $\frac{\min(4b)}{\max(9a)} = \frac{12}{63} = \frac{4}{21}$.

Верхняя граница: $\frac{\max(4b)}{\min(9a)} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$.

Таким образом, получаем неравенство:

$\frac{4}{21} < \frac{4b}{9a} < \frac{5}{9}$

Ответ: $\frac{4}{21} < \frac{4b}{9a} < \frac{5}{9}$.

Даны неравенства $4 < a < 7$ и $3 < b < 5$.

Оценим числитель $N = 0,6b - 0,2a$. Для этого оценим $0,6b$ и $-0,2a$ по отдельности.

$3 < b < 5 \implies 0,6 \cdot 3 < 0,6b < 0,6 \cdot 5 \implies 1,8 < 0,6b < 3$.

$4 < a < 7 \implies 0,2 \cdot 4 < 0,2a < 0,2 \cdot 7 \implies 0,8 < 0,2a < 1,4$. Умножим на -1: $-1,4 < -0,2a < -0,8$.

Сложим полученные неравенства: $1,8 + (-1,4) < 0,6b - 0,2a < 3 + (-0,8)$, что дает $0,4 < N < 2,2$.

Теперь оценим знаменатель $D = 0,7a - 0,1b$.

$4 < a < 7 \implies 0,7 \cdot 4 < 0,7a < 0,7 \cdot 7 \implies 2,8 < 0,7a < 4,9$.

$3 < b < 5 \implies 0,1 \cdot 3 < 0,1b < 0,1 \cdot 5 \implies 0,3 < 0,1b < 0,5$. Умножим на -1: $-0,5 < -0,1b < -0,3$.

Сложим полученные неравенства: $2,8 + (-0,5) < 0,7a - 0,1b < 4,9 + (-0,3)$, что дает $2,3 < D < 4,6$.

Итак, $0,4 < N < 2,2$ и $2,3 < D < 4,6$. Так как и числитель, и знаменатель положительны, для оценки дроби $\frac{N}{D}$ применим то же правило, что и в пункте 7.

Нижняя граница: $\frac{\min(N)}{\max(D)} = \frac{0,4}{4,6} = \frac{4}{46} = \frac{2}{23}$.

Верхняя граница: $\frac{\max(N)}{\min(D)} = \frac{2,2}{2,3} = \frac{22}{23}$.

$\frac{2}{23} < \frac{0,6b - 0,2a}{0,7a - 0,1b} < \frac{22}{23}$

Ответ: $\frac{2}{23} < \frac{0,6b - 0,2a}{0,7a - 0,1b} < \frac{22}{23}$.