Страница 6 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

12. Дано: $-4 < a < 3$. Оцените значение выражения:

1) $4a$;

2) $\frac{a}{5}$;

3) $a+5$;

4) $a-7$;

5) $-a$;

6) $-2a$;

7) $2a-6$;

8) $5-3a$.

Для решения всех пунктов будем использовать свойство числовых неравенств: если $a < x < b$, то при $c > 0$ имеем $ac < xc < bc$, а при $c < 0$ имеем $ac > xc > bc$. Также, прибавление или вычитание любого числа ко всем частям неравенства не меняет его знак: $a+d < x+d < b+d$.

1) 4a
Чтобы оценить значение выражения $4a$, умножим все части исходного неравенства $-4 < a < 3$ на 4. Так как 4 — положительное число, знаки неравенства не меняются:
$-4 \cdot 4 < a \cdot 4 < 3 \cdot 4$
$-16 < 4a < 12$
Ответ: $-16 < 4a < 12$

2) a/5
Чтобы оценить значение выражения $\frac{a}{5}$, разделим все части исходного неравенства $-4 < a < 3$ на 5. Так как 5 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:
$\frac{-4}{5} < \frac{a}{5} < \frac{3}{5}$
Ответ: $-\frac{4}{5} < \frac{a}{5} < \frac{3}{5}$

3) a + 5
Чтобы оценить значение выражения $a + 5$, прибавим 5 ко всем частям исходного неравенства $-4 < a < 3$ :
$-4 + 5 < a + 5 < 3 + 5$
$1 < a + 5 < 8$
Ответ: $1 < a + 5 < 8$

4) a - 7
Чтобы оценить значение выражения $a - 7$, вычтем 7 из всех частей исходного неравенства $-4 < a < 3$ :
$-4 - 7 < a - 7 < 3 - 7$
$-11 < a - 7 < -4$
Ответ: $-11 < a - 7 < -4$

5) -a
Для оценки значения выражения $-a$, умножим все части исходного неравенства $-4 < a < 3$ на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-4 \cdot (-1) > a \cdot (-1) > 3 \cdot (-1)$
$4 > -a > -3$
Запишем неравенство в привычном виде, от меньшего к большему:
$-3 < -a < 4$
Ответ: $-3 < -a < 4$

6) -2a
Для оценки значения выражения $-2a$, умножим все части исходного неравенства $-4 < a < 3$ на -2. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-4 \cdot (-2) > a \cdot (-2) > 3 \cdot (-2)$
$8 > -2a > -6$
Запишем неравенство в стандартном виде:
$-6 < -2a < 8$
Ответ: $-6 < -2a < 8$

7) 2a - 6
Оценка значения выражения $2a - 6$ выполняется в два шага. Сначала умножим все части исходного неравенства $-4 < a < 3$ на 2:
$-4 \cdot 2 < a \cdot 2 < 3 \cdot 2$
$-8 < 2a < 6$
Теперь вычтем 6 из всех частей полученного неравенства:
$-8 - 6 < 2a - 6 < 6 - 6$
$-14 < 2a - 6 < 0$
Ответ: $-14 < 2a - 6 < 0$

8) 5 - 3a
Оценка значения выражения $5 - 3a$ выполняется в два шага. Сначала найдем границы для $-3a$. Умножим все части исходного неравенства $-4 < a < 3$ на -3, не забывая поменять знаки неравенства на противоположные:
$-4 \cdot (-3) > a \cdot (-3) > 3 \cdot (-3)$
$12 > -3a > -9$
Или, в стандартном виде: $-9 < -3a < 12$.
Теперь прибавим 5 ко всем частям этого неравенства:
$-9 + 5 < -3a + 5 < 12 + 5$
$-4 < 5 - 3a < 17$
Ответ: $-4 < 5 - 3a < 17$

13. Известно, что $3,3 < \sqrt{11} < 3,4$. Оцените значение выражения:

1) $3\sqrt{11}$;

2) $-4\sqrt{11}$;

3) $5 - \sqrt{11}$;

4) $\frac{5 - \sqrt{11}}{2}$.

Для решения задачи воспользуемся свойством числовых неравенств: если $a < x < b$, то:

• $c \times a < c \times x < c \times b$, если $c > 0$
• $c \times a > c \times x > c \times b$, если $c < 0$
• $a + d < x + d < b + d$ для любого $d$

Нам дано неравенство: $3,3 < \sqrt{11} < 3,4$.

1)

Чтобы оценить значение выражения $3\sqrt{11}$, умножим все части исходного неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$3 \times 3,3 < 3 \times \sqrt{11} < 3 \times 3,4$

$9,9 < 3\sqrt{11} < 10,2$

Ответ: $9,9 < 3\sqrt{11} < 10,2$

2)

Чтобы оценить значение выражения $-4\sqrt{11}$, умножим все части исходного неравенства на -4. Так как -4 — отрицательное число, знаки неравенства меняются на противоположные:

$-4 \times 3,3 > -4 \times \sqrt{11} > -4 \times 3,4$

$-13,2 > -4\sqrt{11} > -13,6$

Запишем полученное неравенство в стандартном виде, от меньшего числа к большему:

$-13,6 < -4\sqrt{11} < -13,2$

Ответ: $-13,6 < -4\sqrt{11} < -13,2$

3)

Чтобы оценить значение выражения $5 - \sqrt{11}$, сначала найдем оценку для $-\sqrt{11}$. Для этого умножим исходное неравенство на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:

$-1 \times 3,3 > -1 \times \sqrt{11} > -1 \times 3,4$

$-3,3 > -\sqrt{11} > -3,4$

Что равносильно: $-3,4 < -\sqrt{11} < -3,3$.

Теперь прибавим 5 ко всем частям этого неравенства:

$5 - 3,4 < 5 - \sqrt{11} < 5 - 3,3$

$1,6 < 5 - \sqrt{11} < 1,7$

Ответ: $1,6 < 5 - \sqrt{11} < 1,7$

4)

Чтобы оценить значение выражения $\frac{5 - \sqrt{11}}{2}$, воспользуемся результатом из предыдущего пункта: $1,6 < 5 - \sqrt{11} < 1,7$.

Разделим все части этого неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$\frac{1,6}{2} < \frac{5 - \sqrt{11}}{2} < \frac{1,7}{2}$

$0,8 < \frac{5 - \sqrt{11}}{2} < 0,85$

Ответ: $0,8 < \frac{5 - \sqrt{11}}{2} < 0,85$

14. Дано: $3 < a < 9$. Оцените значение выражения $\frac{1}{a}$.

Чтобы оценить значение выражения $\frac{1}{a}$, воспользуемся данным неравенством $3 < a < 9$.
Поскольку все части неравенства ($3$, $a$ и $9$) являются положительными числами, мы можем применить свойство: если $x < y$, то $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$ для положительных $x$ и $y$. Иными словами, при взятии обратной величины от всех частей неравенства, знаки неравенства меняются на противоположные.
Применим это свойство к исходному двойному неравенству:
$3 < a < 9$
Берём обратные величины от каждой части:
$\frac{1}{3} > \frac{1}{a} > \frac{1}{9}$
Запишем полученное двойное неравенство в стандартном виде, от меньшего числа к большему:
$\frac{1}{9} < \frac{1}{a} < \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{9} < \frac{1}{a} < \frac{1}{3}$

15. Дано: $4 < a < 7$ и $3 < b < 5$. Оцените значение выражения:

1) $a+b$;

2) $a-b$;

3) $ab$;

4) $\frac{a}{b}$;

5) $3a+7b$;

6) $2a-5b$;

7) $\frac{4b}{9a}$;

8) $\frac{0,6b - 0,2a}{0,7a - 0,1b}$.

16. Оцените периметр равнобедренного треугольника с основанием $a$ см и боковой стороной $b$ см, если $11 < a < 15$, $12 < b < 20$.

Периметр $P$ равнобедренного треугольника с основанием $a$ и боковой стороной $b$ вычисляется как сумма длин всех его сторон по формуле: $P = a + 2b$.

Согласно условию, даны следующие ограничения на длины сторон:

$11 < a < 15$

$12 < b < 20$

Для нахождения оценки периметра сначала найдем диапазон значений для $2b$. Для этого умножим все части неравенства для $b$ на 2:

$2 \cdot 12 < 2 \cdot b < 2 \cdot 20$

$24 < 2b < 40$

Теперь, чтобы найти оценку для $P = a + 2b$, сложим почленно полученные неравенства для $a$ и $2b$:

$11 + 24 < a + 2b < 15 + 40$

Выполнив сложение, получаем итоговое неравенство для периметра:

$35 < P < 55$

Для того чтобы такой треугольник существовал, должно выполняться неравенство треугольника: сумма двух любых сторон должна быть больше третьей. Проверим основное условие для равнобедренного треугольника: $b+b > a$, то есть $2b > a$. Наименьшее значение для $2b$ больше 24, а наибольшее значение для $a$ меньше 15. Так как $24 > 15$, условие $2b > a$ всегда выполняется для заданных интервалов.

Ответ: $35 < P < 55$.

17. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами $a$ см и $b$ см, если $30 < a < 50$, $10 < b < 40$.

Периметр

Периметр прямоугольника $P$ со сторонами $a$ и $b$ вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$.
Согласно условию, имеем следующие оценки для сторон $a$ и $b$:
$30 < a < 50$
$10 < b < 40$
Чтобы оценить периметр, сначала оценим сумму сторон $(a + b)$. Для этого воспользуемся свойством неравенств и сложим их почленно:
$30 + 10 < a + b < 50 + 40$
$40 < a + b < 90$
Теперь умножим все части полученного двойного неравенства на 2, чтобы найти диапазон значений для периметра $P$:
$2 \cdot 40 < 2(a + b) < 2 \cdot 90$
$80 < P < 180$
Таким образом, периметр прямоугольника больше 80 см, но меньше 180 см.
Ответ: $80 < P < 180$.

Площадь

Площадь прямоугольника $S$ со сторонами $a$ и $b$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.
Используем исходные неравенства:
$30 < a < 50$
$10 < b < 40$
Так как все части неравенств являются положительными числами, мы можем их почленно перемножить, чтобы оценить площадь $S$:
$30 \cdot 10 < a \cdot b < 50 \cdot 40$
$300 < S < 2000$
Следовательно, площадь прямоугольника больше 300 см², но меньше 2000 см².
Ответ: $300 < S < 2000$.

18. Какие из чисел $-5; 4; -6; 0; \frac{1}{3}$ являются решениями неравенства:

1) $x > \frac{1}{3};$

2) $x \le 4;$

3) $2x > x + 1;$

4) $x^2 - 4 \le 0;$

5) $\sqrt{x + 1} > 2;$

6) $\frac{1}{x} < 2?$

Для того чтобы определить, какие из чисел -5; 4; -6; 0; $\frac{1}{3}$ являются решениями неравенств, подставим каждое из них в соответствующее неравенство и проверим, выполняется ли оно.

1) $x > \frac{1}{3}$

Проверим каждое число:

• При $x = -5$: $-5 > \frac{1}{3}$ - неверно.
• При $x = 4$: $4 > \frac{1}{3}$ - верно, так как $4 = \frac{12}{3}$, а $\frac{12}{3} > \frac{1}{3}$.
• При $x = -6$: $-6 > \frac{1}{3}$ - неверно.
• При $x = 0$: $0 > \frac{1}{3}$ - неверно.
• При $x = \frac{1}{3}$: $\frac{1}{3} > \frac{1}{3}$ - неверно (числа равны, а неравенство строгое).

Ответ: 4.

2) $x \le 4$

Проверим каждое число:

• При $x = -5$: $-5 \le 4$ - верно.
• При $x = 4$: $4 \le 4$ - верно.
• При $x = -6$: $-6 \le 4$ - верно.
• При $x = 0$: $0 \le 4$ - верно.
• При $x = \frac{1}{3}$: $\frac{1}{3} \le 4$ - верно.

Ответ: -5; 4; -6; 0; $\frac{1}{3}$.

3) $2x > x + 1$

Сначала упростим неравенство, перенеся $x$ в левую часть:

$2x - x > 1$

$x > 1$

Теперь выберем из предложенного списка числа, которые больше 1.

• $-5 > 1$ - неверно.
• $4 > 1$ - верно.
• $-6 > 1$ - неверно.
• $0 > 1$ - неверно.
• $\frac{1}{3} > 1$ - неверно.

Ответ: 4.

4) $x^2 - 4 \le 0$

Проверим каждое число путем подстановки:

• При $x = -5$: $(-5)^2 - 4 = 25 - 4 = 21$. Неравенство $21 \le 0$ неверно.
• При $x = 4$: $4^2 - 4 = 16 - 4 = 12$. Неравенство $12 \le 0$ неверно.
• При $x = -6$: $(-6)^2 - 4 = 36 - 4 = 32$. Неравенство $32 \le 0$ неверно.
• При $x = 0$: $0^2 - 4 = -4$. Неравенство $-4 \le 0$ верно.
• При $x = \frac{1}{3}$: $(\frac{1}{3})^2 - 4 = \frac{1}{9} - 4 = \frac{1}{9} - \frac{36}{9} = -\frac{35}{9}$. Неравенство $-\frac{35}{9} \le 0$ верно.

Ответ: 0; $\frac{1}{3}$.

5) $\sqrt{x + 1} > 2$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства: $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$. Числа -5 и -6 не входят в ОДЗ, значит они не могут быть решениями. Проверим остальные числа:

• При $x = 4$: $\sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$. Неравенство $\sqrt{5} > 2$ верно, так как если возвести обе части в квадрат, получим $5 > 4$.
• При $x = 0$: $\sqrt{0 + 1} = \sqrt{1} = 1$. Неравенство $1 > 2$ неверно.
• При $x = \frac{1}{3}$: $\sqrt{\frac{1}{3} + 1} = \sqrt{\frac{4}{3}}$. Неравенство $\sqrt{\frac{4}{3}} > 2$ неверно, так как $\frac{4}{3} < 4$.

Ответ: 4.

6) $\frac{1}{x} < 2$

Проверим каждое число. Заметим, что $x=0$ не может быть решением, так как на ноль делить нельзя.

• При $x = -5$: $\frac{1}{-5} = -0.2$. Неравенство $-0.2 < 2$ верно.
• При $x = 4$: $\frac{1}{4} = 0.25$. Неравенство $0.25 < 2$ верно.
• При $x = -6$: $\frac{1}{-6} = -\frac{1}{6}$. Любое отрицательное число меньше 2. Неравенство $-\frac{1}{6} < 2$ верно.
• При $x = 0$: Выражение не определено.
• При $x = \frac{1}{3}$: $\frac{1}{1/3} = 3$. Неравенство $3 < 2$ неверно.

Ответ: -5; 4; -6.

19. Каково множество решений неравенства:

1) $(x-1)^2 > 0;$

2) $(x-1)^2 \geq 0;$

3) $(x-1)^2 < 0;$

4) $(x-1)^2 \leq 0;$

5) $0x > -5;$

6) $0x < -5;$

7) $0x > 5;$

8) $0x < 5?$

1) Решим неравенство $(x-1)^2 > 0$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $(x-1)^2 \ge 0$ для любого $x$. Неравенство является строгим, поэтому необходимо исключить случай, когда выражение равно нулю. Выражение $(x-1)^2 = 0$ при $x-1=0$, то есть при $x=1$. Таким образом, решением являются все действительные числа, кроме $x=1$.
Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$

2) Решим неравенство $(x-1)^2 \ge 0$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю). Следовательно, данное неравенство выполняется для любого действительного числа $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$

3) Решим неравенство $(x-1)^2 < 0$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x-1)^2 \ge 0$. Следовательно, это выражение никогда не может быть строго меньше нуля. Неравенство не имеет решений.
Ответ: $x \in \emptyset$

4) Решим неравенство $(x-1)^2 \le 0$. Данное неравенство выполняется в двух случаях: $(x-1)^2 < 0$ или $(x-1)^2 = 0$. Первый случай, как показано в пункте 3, не имеет решений. Второй случай, $(x-1)^2 = 0$, выполняется только при $x-1=0$, то есть при $x=1$. Это единственное решение.
Ответ: $x = 1$

5) Решим неравенство $0x > -5$. Левая часть неравенства $0 \cdot x$ равна $0$ для любого значения $x$. Неравенство принимает вид $0 > -5$. Это верное числовое неравенство, которое не зависит от $x$. Следовательно, решением является любое действительное число.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$

6) Решим неравенство $0x < -5$. Левая часть неравенства равна $0$ для любого $x$. Неравенство принимает вид $0 < -5$. Это неверное числовое неравенство. Следовательно, решений нет.
Ответ: $x \in \emptyset$

7) Решим неравенство $0x > 5$. Левая часть неравенства равна $0$ для любого $x$. Неравенство принимает вид $0 > 5$. Это неверное числовое неравенство. Следовательно, решений нет.
Ответ: $x \in \emptyset$

8) Решим неравенство $0x < 5$. Левая часть неравенства равна $0$ для любого $x$. Неравенство принимает вид $0 < 5$. Это верное числовое неравенство, которое не зависит от $x$. Следовательно, решением является любое действительное число.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$

20. Решите неравенство:

1) $\frac{1}{x^2} + 1 > 0;$

2) $\frac{x-1}{x-1} > 0;$

3) $\frac{x-1}{x-1} \ge 0;$

4) $\frac{x-1}{x-1} > \frac{1}{2};$

5) $\frac{x-1}{x-1} \le 1;$

6) $\left(\frac{x-2}{x-3}\right)^2 \ge 0;$

7) $\left(\frac{x-2}{x-3}\right)^2 > 0;$

8) $x + \frac{1}{x} > \frac{1}{x} - 1.$

1) $ \frac{1}{x^2} + 1 > 0 $

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного неравенства определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $ x^2 \neq 0 $, откуда $ x \neq 0 $.

Для любого действительного числа $ x \neq 0 $, выражение $ x^2 $ всегда будет положительным ($ x^2 > 0 $). Следовательно, дробь $ \frac{1}{x^2} $ также всегда будет положительной.

Неравенство представляет собой сумму двух положительных слагаемых: $ \frac{1}{x^2} $ и $ 1 $. Сумма двух положительных чисел всегда положительна. Таким образом, неравенство $ \frac{1}{x^2} + 1 > 0 $ выполняется для всех значений $ x $ из ОДЗ.

Ответ: $ x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) $.

2) $ \frac{x-1}{x-1} > 0 $

ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $ x - 1 \neq 0 $, что означает $ x \neq 1 $.

При всех $ x \neq 1 $, выражение $ \frac{x-1}{x-1} $ равно 1.

Подставив это значение в неравенство, получаем: $ 1 > 0 $.

Это утверждение является верным. Следовательно, исходное неравенство справедливо для всех значений $ x $ из области допустимых значений.

Ответ: $ x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty) $.

3) $ \frac{x-1}{x-1} \geq 0 $

ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $ x - 1 \neq 0 $, что означает $ x \neq 1 $.

При всех $ x \neq 1 $, выражение $ \frac{x-1}{x-1} $ равно 1.

Подставив это значение в неравенство, получаем: $ 1 \geq 0 $.

Это утверждение является верным. Следовательно, исходное неравенство справедливо для всех значений $ x $ из области допустимых значений.

Ответ: $ x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty) $.

4) $ \frac{x-1}{x-1} > \frac{1}{2} $

ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $ x - 1 \neq 0 $, что означает $ x \neq 1 $.

При всех $ x \neq 1 $, выражение $ \frac{x-1}{x-1} $ равно 1.

Подставив это значение в неравенство, получаем: $ 1 > \frac{1}{2} $.

Это утверждение является верным. Следовательно, исходное неравенство справедливо для всех значений $ x $ из области допустимых значений.

Ответ: $ x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty) $.

5) $ \frac{x-1}{x-1} \leq 1 $

ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $ x - 1 \neq 0 $, что означает $ x \neq 1 $.

При всех $ x \neq 1 $, выражение $ \frac{x-1}{x-1} $ равно 1.

Подставив это значение в неравенство, получаем: $ 1 \leq 1 $.

Это утверждение является верным (так как $ 1 = 1 $). Следовательно, исходное неравенство справедливо для всех значений $ x $ из области допустимых значений.

Ответ: $ x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty) $.

6) $ \left(\frac{x-2}{x-3}\right)^2 \geq 0 $

ОДЗ: знаменатель дроби не должен быть равен нулю, поэтому $ x - 3 \neq 0 $, что означает $ x \neq 3 $.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Выражение $ \left(\frac{x-2}{x-3}\right)^2 $ является квадратом действительного числа для всех $ x $ из ОДЗ.

Следовательно, неравенство $ \left(\frac{x-2}{x-3}\right)^2 \geq 0 $ выполняется для всех допустимых значений $ x $.

Ответ: $ x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty) $.

7) $ \left(\frac{x-2}{x-3}\right)^2 > 0 $

ОДЗ: знаменатель дроби не должен быть равен нулю, поэтому $ x - 3 \neq 0 $, что означает $ x \neq 3 $.

Квадрат действительного числа строго больше нуля, если само число не равно нулю. Поэтому нам нужно, чтобы выполнялось условие:

$ \frac{x-2}{x-3} \neq 0 $

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю. Значит, нам нужно исключить случай, когда $ x - 2 = 0 $, то есть $ x \neq 2 $.

Объединяя все условия, получаем, что $ x $ не может быть равен 2 (чтобы выражение не было равно нулю) и не может быть равен 3 (из ОДЗ).

Ответ: $ x \in (-\infty; 2) \cup (2; 3) \cup (3; +\infty) $.

8) $ x + \frac{1}{x} > \frac{1}{x} - 1 $

ОДЗ: знаменатель дроби не должен быть равен нулю, поэтому $ x \neq 0 $.

Вычтем $ \frac{1}{x} $ из обеих частей неравенства:

$ x + \frac{1}{x} - \frac{1}{x} > -1 $

Упростив, получаем:

$ x > -1 $

Теперь необходимо учесть ОДЗ ($ x \neq 0 $). Решением является пересечение множеств $ x > -1 $ и $ x \neq 0 $.

Таким образом, решение - это все числа, которые больше -1, за исключением нуля.

Ответ: $ x \in (-1; 0) \cup (0; +\infty) $.