Страница 4 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Сравните числа $a$ и $b$, если:

1) $a - b = -0,3$;

2) $a - b = 1,2$;

3) $a = 0,6 + b$;

4) $b = a - 8$.

Чтобы сравнить два числа $a$ и $b$, можно найти их разность $a - b$.
Если $a - b > 0$, то $a > b$.
Если $a - b < 0$, то $a < b$.
Если $a - b = 0$, то $a = b$.

1) Дано равенство $a - b = -0,3$.
Так как разность $a - b$ отрицательна ($-0,3 < 0$), то уменьшаемое $a$ меньше вычитаемого $b$.
Следовательно, $a < b$.
Ответ: $a < b$.

2) Дано равенство $a - b = 1,2$.
Так как разность $a - b$ положительна ($1,2 > 0$), то уменьшаемое $a$ больше вычитаемого $b$.
Следовательно, $a > b$.
Ответ: $a > b$.

3) Дано равенство $a = 0,6 + b$.
Выразим разность $a - b$. Для этого перенесем $b$ в левую часть равенства:
$a - b = 0,6$.
Разность $a - b$ является положительным числом ($0,6 > 0$), значит $a > b$.
Ответ: $a > b$.

4) Дано равенство $b = a - 8$.
Выразим разность $a - b$. Для этого перенесем $b$ в правую часть, а $-8$ в левую:
$8 = a - b$, или $a - b = 8$.
Разность $a - b$ является положительным числом ($8 > 0$), значит $a > b$.
Ответ: $a > b$.

2. Точка $A(a)$ расположена на координатной прямой правее точки $B(-2)$. Какое из утверждений верно:

1) $a > -2$;

2) $a < -2$;

3) $a = -2$;

4) числа $a$ и $-2$ сравнить невозможно?

На числовой (координатной) прямой, любое число, расположенное правее другого числа, всегда больше него. И наоборот, число, расположенное левее, всегда меньше.

По условию задачи, точка $A(a)$ расположена на координатной прямой правее точки $B(-2)$. Это означает, что координата точки $A$, то есть число $a$, больше координаты точки $B$, то есть числа $-2$.

Запишем это в виде математического неравенства:

$a > -2$

Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами:

1. 1) $a > -2$ — это утверждение полностью совпадает с нашим выводом.
2. 2) $a < -2$ — это означало бы, что точка $A$ находится левее точки $B$.
3. 3) $a = -2$ — это означало бы, что точки $A$ и $B$ совпадают.
4. 4) числа $a$ и $-2$ сравнить невозможно — это неверно, так как их взаимное расположение известно.

Следовательно, верным является утверждение под номером 1.

Ответ: 1) $a > -2$

3. Докажите неравенство:

1) $(a-8)(a+7) > (a+10)(a-11);$

2) $(a-6)^2 - 2 < (a-5)(a-7);$

3) $(2a-5)(2a+5) - (3a-2)^2 \le 3(4a-9) - 2.$

1) Для доказательства неравенства $(a-8)(a+7) > (a+10)(a-11)$ преобразуем обе его части, раскрыв скобки.
Левая часть: $(a-8)(a+7) = a^2 + 7a - 8a - 56 = a^2 - a - 56$.
Правая часть: $(a+10)(a-11) = a^2 - 11a + 10a - 110 = a^2 - a - 110$.
Подставим полученные выражения в исходное неравенство:
$a^2 - a - 56 > a^2 - a - 110$.
Упростим неравенство, вычтя из обеих частей $a^2$ и прибавив $a$:
$-56 > -110$.
Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от значения переменной $a$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $a$.
Ответ: Неравенство доказано.

2) Для доказательства неравенства $(a-6)^2 - 2 < (a-5)(a-7)$ преобразуем обе его части.
Преобразуем левую часть, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:$
$(a-6)^2 - 2 = (a^2 - 2 \cdot a \cdot 6 + 6^2) - 2 = (a^2 - 12a + 36) - 2 = a^2 - 12a + 34$.
Преобразуем правую часть, раскрыв скобки:
$(a-5)(a-7) = a^2 - 7a - 5a + 35 = a^2 - 12a + 35$.
Подставим преобразованные выражения в неравенство:
$a^2 - 12a + 34 < a^2 - 12a + 35$.
Упростим, вычтя из обеих частей $a^2$ и прибавив $12a$:
$34 < 35$.
Полученное числовое неравенство является верным и не зависит от $a$. Следовательно, исходное неравенство справедливо для любого значения $a$.
Ответ: Неравенство доказано.

3) Для доказательства неравенства $(2a-5)(2a+5) - (3a-2)^2 \le 3(4a-9) - 2$ преобразуем обе его части.
Преобразуем левую часть. Используем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ и формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$(2a-5)(2a+5) = (2a)^2 - 5^2 = 4a^2 - 25$.
$(3a-2)^2 = (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot 2 + 2^2 = 9a^2 - 12a + 4$.
Тогда вся левая часть равна: $(4a^2 - 25) - (9a^2 - 12a + 4) = 4a^2 - 25 - 9a^2 + 12a - 4 = -5a^2 + 12a - 29$.
Преобразуем правую часть неравенства:
$3(4a-9) - 2 = 12a - 27 - 2 = 12a - 29$.
Теперь неравенство имеет вид:
$-5a^2 + 12a - 29 \le 12a - 29$.
Упростим, прибавив к обеим частям $29$ и вычтя $12a$:
$-5a^2 \le 0$.
Разделим обе части на $-5$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$a^2 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным числом, то есть утверждение $a^2 \ge 0$ верно при любом $a$. Так как мы пришли к верному утверждению, исходное неравенство доказано.
Ответ: Неравенство доказано.

4. Докажите неравенство:

1) $a^2 - 6a + 10 > 0;$

2) $12y - 4y^2 - 11 < 0;$

3) $a(a - 8) > 2(a - 13);$

4) $x^2 + 4y^2 + 6x + 4y + 10 \geq 0;$

5) $x^2 - 10xy + 26y^2 + 12y + 40 > 0;$

6) $\frac{a^2 + 5}{\sqrt{a^2 + 4}} \geq 2.$

1) $a^2 - 6a + 10 > 0$

Для доказательства этого неравенства выделим полный квадрат в левой части. Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
$a^2 - 6a + 10 = (a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 10 = (a-3)^2 - 9 + 10 = (a-3)^2 + 1$.
Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству $(a-3)^2 + 1 > 0$.
Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $(a-3)^2 \ge 0$.
Прибавив 1 к обеим частям этого неравенства, получим: $(a-3)^2 + 1 \ge 1$.
Поскольку $1 > 0$, то и $(a-3)^2 + 1 > 0$ для любого значения $a$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

2) $12y - 4y^2 - 11 < 0$

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный, чтобы получить более удобный вид:
$4y^2 - 12y + 11 > 0$.
Теперь докажем это неравенство, выделив в левой части полный квадрат.
$4y^2 - 12y + 11 = (2y)^2 - 2 \cdot (2y) \cdot 3 + 3^2 - 3^2 + 11 = ((2y)^2 - 12y + 9) + 2 = (2y-3)^2 + 2$.
Неравенство принимает вид: $(2y-3)^2 + 2 > 0$.
Так как $(2y-3)^2 \ge 0$ для любого $y$, то $(2y-3)^2 + 2 \ge 2$.
Поскольку $2 > 0$, то неравенство $(2y-3)^2 + 2 > 0$ верно, а значит верно и исходное неравенство.

Ответ: Неравенство доказано.

3) $a(a-8) > 2(a-13)$

Сначала раскроем скобки в обеих частях неравенства:
$a^2 - 8a > 2a - 26$.
Перенесем все члены в левую часть:
$a^2 - 8a - 2a + 26 > 0$.
$a^2 - 10a + 26 > 0$.
Выделим полный квадрат в левой части:
$a^2 - 10a + 26 = (a^2 - 10a + 25) + 1 = (a-5)^2 + 1$.
Неравенство принимает вид: $(a-5)^2 + 1 > 0$.
Так как $(a-5)^2 \ge 0$ для любого $a$, то $(a-5)^2 + 1 \ge 1$.
Поскольку $1 > 0$, неравенство верно, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

4) $x^2 + 4y^2 + 6x + 4y + 10 \ge 0$

Сгруппируем члены с $x$ и члены с $y$ и выделим полные квадраты для каждой переменной.
$(x^2 + 6x) + (4y^2 + 4y) + 10 \ge 0$.
Для группы с $x$: $x^2 + 6x = (x^2 + 6x + 9) - 9 = (x+3)^2 - 9$.
Для группы с $y$: $4y^2 + 4y = (2y)^2 + 2 \cdot (2y) \cdot 1 + 1^2 - 1^2 = (2y+1)^2 - 1$.
Подставим полученные выражения в исходное неравенство:
$((x+3)^2 - 9) + ((2y+1)^2 - 1) + 10 \ge 0$.
$(x+3)^2 + (2y+1)^2 - 9 - 1 + 10 \ge 0$.
$(x+3)^2 + (2y+1)^2 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому $(x+3)^2 \ge 0$ и $(2y+1)^2 \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна. Следовательно, неравенство верно.

Ответ: Неравенство доказано.

5) $x^2 - 10xy + 26y^2 + 12y + 40 > 0$

Преобразуем левую часть неравенства, выделяя полные квадраты.
Сгруппируем члены, содержащие $x$, чтобы выделить квадрат относительно $x$: $(x^2 - 10xy)$. Это похоже на часть формулы $(x - 5y)^2 = x^2 - 10xy + 25y^2$.
$x^2 - 10xy + 26y^2 + 12y + 40 = (x^2 - 10xy + 25y^2) - 25y^2 + 26y^2 + 12y + 40$.
$= (x - 5y)^2 + y^2 + 12y + 40$.
Теперь выделим полный квадрат для оставшегося выражения с $y$:
$y^2 + 12y + 40 = (y^2 + 12y + 36) + 4 = (y+6)^2 + 4$.
Таким образом, исходное выражение равно:
$(x - 5y)^2 + (y+6)^2 + 4$.
Мы должны доказать, что $(x - 5y)^2 + (y+6)^2 + 4 > 0$.
Так как $(x - 5y)^2 \ge 0$ и $(y+6)^2 \ge 0$, их сумма также неотрицательна: $(x - 5y)^2 + (y+6)^2 \ge 0$.
Прибавляя 4, получаем: $(x - 5y)^2 + (y+6)^2 + 4 \ge 4$.
Поскольку $4 > 0$, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

6) $\frac{a^2 + 5}{\sqrt{a^2 + 4}} \ge 2$

Область определения неравенства — все действительные числа $a$, так как подкоренное выражение $a^2 + 4$ всегда положительно ($a^2 \ge 0 \Rightarrow a^2+4 \ge 4$). Знаменатель $\sqrt{a^2 + 4}$ также всегда положителен.
Умножим обе части неравенства на положительный знаменатель $\sqrt{a^2 + 4}$:
$a^2 + 5 \ge 2\sqrt{a^2 + 4}$.
Обе части этого неравенства положительны ($a^2+5 \ge 5$, а $2\sqrt{a^2+4} \ge 2\sqrt{4} = 4$), поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$(a^2 + 5)^2 \ge (2\sqrt{a^2 + 4})^2$.
$a^4 + 10a^2 + 25 \ge 4(a^2 + 4)$.
$a^4 + 10a^2 + 25 \ge 4a^2 + 16$.
Перенесем все члены в левую часть:
$a^4 + 10a^2 - 4a^2 + 25 - 16 \ge 0$.
$a^4 + 6a^2 + 9 \ge 0$.
Левая часть является полным квадратом: $(a^2 + 3)^2$.
Получаем неравенство $(a^2 + 3)^2 \ge 0$.
Так как $a^2 \ge 0$, то $a^2 + 3 \ge 3$. Квадрат любого ненулевого числа положителен. Следовательно, $(a^2+3)^2 \ge 9 > 0$, и неравенство $(a^2 + 3)^2 \ge 0$ всегда верно.
Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

5. Докажите, что:

1) $ab(a+b) \le a^3 + b^3$, если $a \ge 0, b \ge 0;$

2) $m^3 + m^2 - m - 1 > 0$, если $m > 1.$

Требуется доказать, что $ab(a + b) \le a^3 + b^3$ при $a \ge 0, b \ge 0$.

Перенесём все члены неравенства в правую часть и докажем, что полученное выражение неотрицательно:

$a^3 + b^3 - ab(a + b) \ge 0$

Раскроем скобки и выполним группировку слагаемых с целью разложения на множители:

$a^3 + b^3 - a^2b - ab^2 = (a^3 - a^2b) + (b^3 - ab^2) = a^2(a - b) - b^2(a - b) = (a^2 - b^2)(a - b)$

Применив формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, получим:

$(a - b)(a + b)(a - b) = (a - b)^2(a + b)$

Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству $(a - b)^2(a + b) \ge 0$. Проанализируем его справедливость при заданных условиях.

Множитель $(a - b)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому он всегда неотрицателен, то есть $(a - b)^2 \ge 0$.

Множитель $(a + b)$, согласно условию $a \ge 0$ и $b \ge 0$, является суммой двух неотрицательных чисел, поэтому он также неотрицателен: $(a + b) \ge 0$.

Произведение двух неотрицательных чисел всегда неотрицательно. Следовательно, неравенство $(a - b)^2(a + b) \ge 0$ верно.

Так как все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Требуется доказать, что $m^3 + m^2 - m - 1 > 0$ при $m > 1$.

Разложим левую часть неравенства на множители методом группировки:

$m^3 + m^2 - m - 1 = (m^3 + m^2) - (m + 1) = m^2(m + 1) - 1(m + 1) = (m^2 - 1)(m + 1)$

Используя формулу разности квадратов $m^2 - 1 = (m - 1)(m + 1)$, получаем:

$(m - 1)(m + 1)(m + 1) = (m - 1)(m + 1)^2$

Таким образом, исходное неравенство можно переписать в виде:

$(m - 1)(m + 1)^2 > 0$

Оценим знаки множителей при условии $m > 1$:

1. Если $m > 1$, то множитель $(m - 1)$ строго положителен: $m - 1 > 0$.

2. Если $m > 1$, то $m + 1 > 2$. Квадрат числа, большего 2, является строго положительным числом, поэтому $(m + 1)^2 > 0$.

Произведение двух строго положительных чисел $(m - 1)$ и $(m + 1)^2$ также является строго положительным.

Следовательно, неравенство $(m - 1)(m + 1)^2 > 0$ верно, а значит, верно и равносильное ему исходное неравенство.

Ответ: Что и требовалось доказать.

6. Докажите, что:

1) $(a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \ge 4$, если $a > 0, b > 0;$

2) $(a + 6)(b + 3)(c + 2) \ge 48\sqrt{abc}$, если $a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0.$

1)

Требуется доказать, что $(a+b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \ge 4$ при $a > 0, b > 0$.

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$(a+b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = a \cdot \frac{1}{a} + a \cdot \frac{1}{b} + b \cdot \frac{1}{a} + b \cdot \frac{1}{b} = 1 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 1 = 2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$.

Теперь неравенство принимает вид:

$2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 4$.

Вычтем 2 из обеих частей:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$.

Перенесем 2 в левую часть и приведем к общему знаменателю. Так как $a > 0$ и $b > 0$, то $ab > 0$.

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 \ge 0$

$\frac{a^2 + b^2 - 2ab}{ab} \ge 0$

$\frac{(a-b)^2}{ab} \ge 0$

Данное неравенство является верным для любых $a > 0, b > 0$, так как числитель $(a-b)^2$ является полным квадратом и, следовательно, всегда неотрицателен ($(a-b)^2 \ge 0$), а знаменатель $ab$ положителен ($ab > 0$). Частное от деления неотрицательного числа на положительное всегда неотрицательно.

Таким образом, исходное неравенство доказано. Равенство достигается при $(a-b)^2 = 0$, то есть при $a=b$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2)

Требуется доказать, что $(a+6)(b+3)(c+2) \ge 48\sqrt{abc}$ при $a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$.

Воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для двух неотрицательных чисел $x$ и $y$, которое гласит: $\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$, или $x+y \ge 2\sqrt{xy}$.

Применим это неравенство к каждому из множителей в левой части исходного неравенства:

1. Для $a$ и 6 (так как $a \ge 0$): $a+6 \ge 2\sqrt{a \cdot 6} = 2\sqrt{6a}$.

2. Для $b$ и 3 (так как $b \ge 0$): $b+3 \ge 2\sqrt{b \cdot 3} = 2\sqrt{3b}$.

3. Для $c$ и 2 (так как $c \ge 0$): $c+2 \ge 2\sqrt{c \cdot 2} = 2\sqrt{2c}$.

Так как все части полученных неравенств неотрицательны, мы можем их перемножить:

$(a+6)(b+3)(c+2) \ge (2\sqrt{6a}) \cdot (2\sqrt{3b}) \cdot (2\sqrt{2c})$.

Упростим правую часть полученного неравенства:

$2\sqrt{6a} \cdot 2\sqrt{3b} \cdot 2\sqrt{2c} = 8 \sqrt{6a \cdot 3b \cdot 2c} = 8 \sqrt{36abc} = 8 \cdot \sqrt{36} \cdot \sqrt{abc} = 8 \cdot 6 \sqrt{abc} = 48\sqrt{abc}$.

Таким образом, мы получили:

$(a+6)(b+3)(c+2) \ge 48\sqrt{abc}$.

Неравенство доказано. Равенство достигается, когда оно достигается в каждом из трех примененных неравенств Коши одновременно, то есть при $a=6$, $b=3$ и $c=2$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

7. Известно, что $a > b$. Сравните:

1) $a+5$ и $b+5$;

2) $b-10$ и $a-10$;

3) $1.9a$ и $1.9b$;

4) $-a$ и $-b$;

5) $-100b$ и $-100a$;

6) $\frac{a}{13}$ и $\frac{b}{13}$.

1) Исходное неравенство: $a > b$.
Согласно свойству неравенств, прибавление одного и того же числа к обеим частям неравенства не меняет его знак. Прибавим к обеим частям число 5:
$a + 5 > b + 5$.
Ответ: $a + 5 > b + 5$.

2) Исходное неравенство: $a > b$.
Согласно свойству неравенств, вычитание одного и того же числа из обеих частей неравенства не меняет его знак. Вычтем из обеих частей число 10:
$a - 10 > b - 10$.
Это означает, что $b - 10$ меньше, чем $a - 10$.
Ответ: $b - 10 < a - 10$.

3) Исходное неравенство: $a > b$.
Согласно свойству неравенств, умножение обеих частей неравенства на одно и то же положительное число не меняет его знак. Число 1,9 положительное ($1,9 > 0$).
Умножим обе части на 1,9:
$1,9 \cdot a > 1,9 \cdot b$.
Ответ: $1,9a > 1,9b$.

4) Исходное неравенство: $a > b$.
Согласно свойству неравенств, при умножении обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Умножим обе части на -1:
$a \cdot (-1) < b \cdot (-1)$.
$-a < -b$.
Ответ: $-a < -b$.

5) Исходное неравенство: $a > b$.
Согласно свойству неравенств, при умножении обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Число -100 отрицательное ($-100 < 0$).
Умножим обе части на -100 и изменим знак неравенства:
$a \cdot (-100) < b \cdot (-100)$.
$-100a < -100b$.
Это означает, что $-100b$ больше, чем $-100a$.
Ответ: $-100b > -100a$.

6) Исходное неравенство: $a > b$.
Согласно свойству неравенств, деление обеих частей неравенства на одно и то же положительное число не меняет его знак. Число 13 положительное ($13 > 0$).
Разделим обе части на 13:
$\frac{a}{13} > \frac{b}{13}$.
Ответ: $\frac{a}{13} > \frac{b}{13}$.