Номер 3, страница 4 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. Докажите неравенство:

1) $(a-8)(a+7) > (a+10)(a-11);$

2) $(a-6)^2 - 2 < (a-5)(a-7);$

3) $(2a-5)(2a+5) - (3a-2)^2 \le 3(4a-9) - 2.$

1) Для доказательства неравенства $(a-8)(a+7) > (a+10)(a-11)$ преобразуем обе его части, раскрыв скобки.
Левая часть: $(a-8)(a+7) = a^2 + 7a - 8a - 56 = a^2 - a - 56$.
Правая часть: $(a+10)(a-11) = a^2 - 11a + 10a - 110 = a^2 - a - 110$.
Подставим полученные выражения в исходное неравенство:
$a^2 - a - 56 > a^2 - a - 110$.
Упростим неравенство, вычтя из обеих частей $a^2$ и прибавив $a$:
$-56 > -110$.
Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от значения переменной $a$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $a$.
Ответ: Неравенство доказано.

2) Для доказательства неравенства $(a-6)^2 - 2 < (a-5)(a-7)$ преобразуем обе его части.
Преобразуем левую часть, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:$
$(a-6)^2 - 2 = (a^2 - 2 \cdot a \cdot 6 + 6^2) - 2 = (a^2 - 12a + 36) - 2 = a^2 - 12a + 34$.
Преобразуем правую часть, раскрыв скобки:
$(a-5)(a-7) = a^2 - 7a - 5a + 35 = a^2 - 12a + 35$.
Подставим преобразованные выражения в неравенство:
$a^2 - 12a + 34 < a^2 - 12a + 35$.
Упростим, вычтя из обеих частей $a^2$ и прибавив $12a$:
$34 < 35$.
Полученное числовое неравенство является верным и не зависит от $a$. Следовательно, исходное неравенство справедливо для любого значения $a$.
Ответ: Неравенство доказано.

3) Для доказательства неравенства $(2a-5)(2a+5) - (3a-2)^2 \le 3(4a-9) - 2$ преобразуем обе его части.
Преобразуем левую часть. Используем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ и формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$(2a-5)(2a+5) = (2a)^2 - 5^2 = 4a^2 - 25$.
$(3a-2)^2 = (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot 2 + 2^2 = 9a^2 - 12a + 4$.
Тогда вся левая часть равна: $(4a^2 - 25) - (9a^2 - 12a + 4) = 4a^2 - 25 - 9a^2 + 12a - 4 = -5a^2 + 12a - 29$.
Преобразуем правую часть неравенства:
$3(4a-9) - 2 = 12a - 27 - 2 = 12a - 29$.
Теперь неравенство имеет вид:
$-5a^2 + 12a - 29 \le 12a - 29$.
Упростим, прибавив к обеим частям $29$ и вычтя $12a$:
$-5a^2 \le 0$.
Разделим обе части на $-5$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$a^2 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным числом, то есть утверждение $a^2 \ge 0$ верно при любом $a$. Так как мы пришли к верному утверждению, исходное неравенство доказано.
Ответ: Неравенство доказано.