Номер 4, страница 4 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Докажите неравенство:

1) $a^2 - 6a + 10 > 0;$

2) $12y - 4y^2 - 11 < 0;$

3) $a(a - 8) > 2(a - 13);$

4) $x^2 + 4y^2 + 6x + 4y + 10 \geq 0;$

5) $x^2 - 10xy + 26y^2 + 12y + 40 > 0;$

6) $\frac{a^2 + 5}{\sqrt{a^2 + 4}} \geq 2.$

1) $a^2 - 6a + 10 > 0$

Для доказательства этого неравенства выделим полный квадрат в левой части. Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
$a^2 - 6a + 10 = (a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 10 = (a-3)^2 - 9 + 10 = (a-3)^2 + 1$.
Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству $(a-3)^2 + 1 > 0$.
Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $(a-3)^2 \ge 0$.
Прибавив 1 к обеим частям этого неравенства, получим: $(a-3)^2 + 1 \ge 1$.
Поскольку $1 > 0$, то и $(a-3)^2 + 1 > 0$ для любого значения $a$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

2) $12y - 4y^2 - 11 < 0$

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный, чтобы получить более удобный вид:
$4y^2 - 12y + 11 > 0$.
Теперь докажем это неравенство, выделив в левой части полный квадрат.
$4y^2 - 12y + 11 = (2y)^2 - 2 \cdot (2y) \cdot 3 + 3^2 - 3^2 + 11 = ((2y)^2 - 12y + 9) + 2 = (2y-3)^2 + 2$.
Неравенство принимает вид: $(2y-3)^2 + 2 > 0$.
Так как $(2y-3)^2 \ge 0$ для любого $y$, то $(2y-3)^2 + 2 \ge 2$.
Поскольку $2 > 0$, то неравенство $(2y-3)^2 + 2 > 0$ верно, а значит верно и исходное неравенство.

Ответ: Неравенство доказано.

3) $a(a-8) > 2(a-13)$

Сначала раскроем скобки в обеих частях неравенства:
$a^2 - 8a > 2a - 26$.
Перенесем все члены в левую часть:
$a^2 - 8a - 2a + 26 > 0$.
$a^2 - 10a + 26 > 0$.
Выделим полный квадрат в левой части:
$a^2 - 10a + 26 = (a^2 - 10a + 25) + 1 = (a-5)^2 + 1$.
Неравенство принимает вид: $(a-5)^2 + 1 > 0$.
Так как $(a-5)^2 \ge 0$ для любого $a$, то $(a-5)^2 + 1 \ge 1$.
Поскольку $1 > 0$, неравенство верно, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

4) $x^2 + 4y^2 + 6x + 4y + 10 \ge 0$

Сгруппируем члены с $x$ и члены с $y$ и выделим полные квадраты для каждой переменной.
$(x^2 + 6x) + (4y^2 + 4y) + 10 \ge 0$.
Для группы с $x$: $x^2 + 6x = (x^2 + 6x + 9) - 9 = (x+3)^2 - 9$.
Для группы с $y$: $4y^2 + 4y = (2y)^2 + 2 \cdot (2y) \cdot 1 + 1^2 - 1^2 = (2y+1)^2 - 1$.
Подставим полученные выражения в исходное неравенство:
$((x+3)^2 - 9) + ((2y+1)^2 - 1) + 10 \ge 0$.
$(x+3)^2 + (2y+1)^2 - 9 - 1 + 10 \ge 0$.
$(x+3)^2 + (2y+1)^2 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому $(x+3)^2 \ge 0$ и $(2y+1)^2 \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна. Следовательно, неравенство верно.

Ответ: Неравенство доказано.

5) $x^2 - 10xy + 26y^2 + 12y + 40 > 0$

Преобразуем левую часть неравенства, выделяя полные квадраты.
Сгруппируем члены, содержащие $x$, чтобы выделить квадрат относительно $x$: $(x^2 - 10xy)$. Это похоже на часть формулы $(x - 5y)^2 = x^2 - 10xy + 25y^2$.
$x^2 - 10xy + 26y^2 + 12y + 40 = (x^2 - 10xy + 25y^2) - 25y^2 + 26y^2 + 12y + 40$.
$= (x - 5y)^2 + y^2 + 12y + 40$.
Теперь выделим полный квадрат для оставшегося выражения с $y$:
$y^2 + 12y + 40 = (y^2 + 12y + 36) + 4 = (y+6)^2 + 4$.
Таким образом, исходное выражение равно:
$(x - 5y)^2 + (y+6)^2 + 4$.
Мы должны доказать, что $(x - 5y)^2 + (y+6)^2 + 4 > 0$.
Так как $(x - 5y)^2 \ge 0$ и $(y+6)^2 \ge 0$, их сумма также неотрицательна: $(x - 5y)^2 + (y+6)^2 \ge 0$.
Прибавляя 4, получаем: $(x - 5y)^2 + (y+6)^2 + 4 \ge 4$.
Поскольку $4 > 0$, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

6) $\frac{a^2 + 5}{\sqrt{a^2 + 4}} \ge 2$

Область определения неравенства — все действительные числа $a$, так как подкоренное выражение $a^2 + 4$ всегда положительно ($a^2 \ge 0 \Rightarrow a^2+4 \ge 4$). Знаменатель $\sqrt{a^2 + 4}$ также всегда положителен.
Умножим обе части неравенства на положительный знаменатель $\sqrt{a^2 + 4}$:
$a^2 + 5 \ge 2\sqrt{a^2 + 4}$.
Обе части этого неравенства положительны ($a^2+5 \ge 5$, а $2\sqrt{a^2+4} \ge 2\sqrt{4} = 4$), поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$(a^2 + 5)^2 \ge (2\sqrt{a^2 + 4})^2$.
$a^4 + 10a^2 + 25 \ge 4(a^2 + 4)$.
$a^4 + 10a^2 + 25 \ge 4a^2 + 16$.
Перенесем все члены в левую часть:
$a^4 + 10a^2 - 4a^2 + 25 - 16 \ge 0$.
$a^4 + 6a^2 + 9 \ge 0$.
Левая часть является полным квадратом: $(a^2 + 3)^2$.
Получаем неравенство $(a^2 + 3)^2 \ge 0$.
Так как $a^2 \ge 0$, то $a^2 + 3 \ge 3$. Квадрат любого ненулевого числа положителен. Следовательно, $(a^2+3)^2 \ge 9 > 0$, и неравенство $(a^2 + 3)^2 \ge 0$ всегда верно.
Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.