Номер 5, страница 4 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Докажите, что:

1) $ab(a+b) \le a^3 + b^3$, если $a \ge 0, b \ge 0;$

2) $m^3 + m^2 - m - 1 > 0$, если $m > 1.$

Требуется доказать, что $ab(a + b) \le a^3 + b^3$ при $a \ge 0, b \ge 0$.

Перенесём все члены неравенства в правую часть и докажем, что полученное выражение неотрицательно:

$a^3 + b^3 - ab(a + b) \ge 0$

Раскроем скобки и выполним группировку слагаемых с целью разложения на множители:

$a^3 + b^3 - a^2b - ab^2 = (a^3 - a^2b) + (b^3 - ab^2) = a^2(a - b) - b^2(a - b) = (a^2 - b^2)(a - b)$

Применив формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, получим:

$(a - b)(a + b)(a - b) = (a - b)^2(a + b)$

Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству $(a - b)^2(a + b) \ge 0$. Проанализируем его справедливость при заданных условиях.

Множитель $(a - b)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому он всегда неотрицателен, то есть $(a - b)^2 \ge 0$.

Множитель $(a + b)$, согласно условию $a \ge 0$ и $b \ge 0$, является суммой двух неотрицательных чисел, поэтому он также неотрицателен: $(a + b) \ge 0$.

Произведение двух неотрицательных чисел всегда неотрицательно. Следовательно, неравенство $(a - b)^2(a + b) \ge 0$ верно.

Так как все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Требуется доказать, что $m^3 + m^2 - m - 1 > 0$ при $m > 1$.

Разложим левую часть неравенства на множители методом группировки:

$m^3 + m^2 - m - 1 = (m^3 + m^2) - (m + 1) = m^2(m + 1) - 1(m + 1) = (m^2 - 1)(m + 1)$

Используя формулу разности квадратов $m^2 - 1 = (m - 1)(m + 1)$, получаем:

$(m - 1)(m + 1)(m + 1) = (m - 1)(m + 1)^2$

Таким образом, исходное неравенство можно переписать в виде:

$(m - 1)(m + 1)^2 > 0$

Оценим знаки множителей при условии $m > 1$:

1. Если $m > 1$, то множитель $(m - 1)$ строго положителен: $m - 1 > 0$.

2. Если $m > 1$, то $m + 1 > 2$. Квадрат числа, большего 2, является строго положительным числом, поэтому $(m + 1)^2 > 0$.

Произведение двух строго положительных чисел $(m - 1)$ и $(m + 1)^2$ также является строго положительным.

Следовательно, неравенство $(m - 1)(m + 1)^2 > 0$ верно, а значит, верно и равносильное ему исходное неравенство.

Ответ: Что и требовалось доказать.