Страница 11 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

47. Найдите множество решений системы неравенств:

1) $\begin{cases} 2(3x - 4) > 6(x + 1) - 20, \\ 0,4(5 - x) \le 3(x + 1,4) + 1,2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 1 - \frac{3x - 88}{7} > 5x, \\ x(x - 4) - (x + 1)(x - 5) < 2. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 2(3x - 4) > 6(x + 1) - 20, \\ 0,4(5 - x) \le 3(x + 1,4) + 1,2; \end{cases}$

Сначала решим первое неравенство:

$2(3x - 4) > 6(x + 1) - 20$

Раскроем скобки:

$6x - 8 > 6x + 6 - 20$

$6x - 8 > 6x - 14$

Перенесем члены с переменной $x$ в одну сторону:

$6x - 6x > 8 - 14$

$0 \cdot x > -6$

$0 > -6$

Это неравенство верно при любом значении $x$. Следовательно, решением первого неравенства является множество всех действительных чисел, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство:

$0,4(5 - x) \le 3(x + 1,4) + 1,2$

Раскроем скобки:

$2 - 0,4x \le 3x + 4,2 + 1,2$

$2 - 0,4x \le 3x + 5,4$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены - в левую:

$2 - 5,4 \le 3x + 0,4x$

$-3,4 \le 3,4x$

Разделим обе части на 3,4 (знак неравенства не меняется, так как 3,4 > 0):

$-1 \le x$, или $x \ge -1$.

Решением второго неравенства является промежуток $[-1; +\infty)$.

Решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств:

$(-\infty; +\infty) \cap [-1; +\infty) = [-1; +\infty)$.

Ответ: $[-1; +\infty)$.

2) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 1 - \frac{3x - 88}{7} > 5x, \\ x(x - 4) - (x + 1)(x - 5) < 2. \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$1 - \frac{3x - 88}{7} > 5x$

Умножим обе части неравенства на 7, чтобы избавиться от знаменателя:

$7 \cdot 1 - 7 \cdot \frac{3x - 88}{7} > 7 \cdot 5x$

$7 - (3x - 88) > 35x$

$7 - 3x + 88 > 35x$

$95 - 3x > 35x$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть:

$95 > 35x + 3x$

$95 > 38x$

Разделим обе части на 38:

$\frac{95}{38} > x$

Так как $95 = 5 \cdot 19$ и $38 = 2 \cdot 19$, то $\frac{95}{38} = \frac{5}{2} = 2,5$.

$2,5 > x$, или $x < 2,5$.

Решением первого неравенства является промежуток $(-\infty; 2,5)$.

Решим второе неравенство:

$x(x - 4) - (x + 1)(x - 5) < 2$

Раскроем скобки:

$(x^2 - 4x) - (x^2 - 5x + x - 5) < 2$

$x^2 - 4x - (x^2 - 4x - 5) < 2$

$x^2 - 4x - x^2 + 4x + 5 < 2$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (-4x + 4x) + 5 < 2$

$5 < 2$

Полученное неравенство является неверным и не зависит от $x$. Это означает, что второе неравенство не имеет решений. Множество его решений - пустое множество ($\emptyset$).

Решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств. Так как одно из множеств пустое, то и их пересечение пустое.

Ответ: нет решений (или $\emptyset$).

48. Решите неравенство:

1) $-2 < x - 5 < 7;$

2) $-4,2 \le 3x + 2,4 \le 6;$

3) $0,6 \le 5 - 2x < 0,8;$

4) $7 < \frac{x}{4} - 1 < 7,1;$

5) $1 \le \frac{6x + 5}{2} \le 4;$

6) $2,4 < \frac{8 - 4x}{3} < 2,8.$

1) Дано двойное неравенство: $-2 < x - 5 < 7$.

Чтобы найти решение, нужно изолировать переменную $x$ в центральной части неравенства. Для этого прибавим 5 ко всем трём частям:

$-2 + 5 < x - 5 + 5 < 7 + 5$

Выполняем сложение:

$3 < x < 12$

Это означает, что $x$ находится в интервале от 3 до 12, не включая границы.

Ответ: $(3; 12)$

2) Дано двойное неравенство: $-4,2 \le 3x + 2,4 \le 6$.

Сначала вычтем 2,4 из всех частей неравенства, чтобы избавиться от свободного члена в центральной части:

$-4,2 - 2,4 \le 3x + 2,4 - 2,4 \le 6 - 2,4$

$-6,6 \le 3x \le 3,6$

Теперь разделим все части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$\frac{-6,6}{3} \le \frac{3x}{3} \le \frac{3,6}{3}$

$-2,2 \le x \le 1,2$

Решением является числовой отрезок, включая концы.

Ответ: $[-2,2; 1,2]$

3) Дано двойное неравенство: $0,6 \le 5 - 2x < 0,8$.

Сначала вычтем 5 из всех частей неравенства:

$0,6 - 5 \le 5 - 2x - 5 < 0,8 - 5$

$-4,4 \le -2x < -4,2$

Теперь разделим все части на -2. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-4,4}{-2} \ge \frac{-2x}{-2} > \frac{-4,2}{-2}$

$2,2 \ge x > 2,1$

Для удобства восприятия запишем неравенство в стандартном виде, от меньшего числа к большему:

$2,1 < x \le 2,2$

Решением является полуинтервал.

Ответ: $(2,1; 2,2]$

4) Дано двойное неравенство: $7 < \frac{x}{4} - 1 < 7,1$.

Сначала прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$7 + 1 < \frac{x}{4} - 1 + 1 < 7,1 + 1$

$8 < \frac{x}{4} < 8,1$

Теперь умножим все части на 4, чтобы избавиться от знаменателя. Знак неравенства при умножении на положительное число не меняется:

$8 \cdot 4 < \frac{x}{4} \cdot 4 < 8,1 \cdot 4$

$32 < x < 32,4$

Решением является интервал.

Ответ: $(32; 32,4)$

5) Дано двойное неравенство: $1 \le \frac{6x + 5}{2} \le 4$.

Сначала умножим все части на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$1 \cdot 2 \le \frac{6x + 5}{2} \cdot 2 \le 4 \cdot 2$

$2 \le 6x + 5 \le 8$

Далее вычтем 5 из всех частей:

$2 - 5 \le 6x + 5 - 5 \le 8 - 5$

$-3 \le 6x \le 3$

Наконец, разделим все части на 6:

$\frac{-3}{6} \le \frac{6x}{6} \le \frac{3}{6}$

$-0,5 \le x \le 0,5$

Решением является числовой отрезок.

Ответ: $[-0,5; 0,5]$

6) Дано двойное неравенство: $2,4 < \frac{8 - 4x}{3} < 2,8$.

Умножим все части на 3:

$2,4 \cdot 3 < \frac{8 - 4x}{3} \cdot 3 < 2,8 \cdot 3$

$7,2 < 8 - 4x < 8,4$

Вычтем 8 из всех частей:

$7,2 - 8 < 8 - 4x - 8 < 8,4 - 8$

$-0,8 < -4x < 0,4$

Разделим все части на -4. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-0,8}{-4} > \frac{-4x}{-4} > \frac{0,4}{-4}$

$0,2 > x > -0,1$

Запишем в стандартном виде (от меньшего к большему):

$-0,1 < x < 0,2$

Решением является интервал.

Ответ: $(-0,1; 0,2)$

49. Сколько целых решений имеет неравенство:

1) $-3 \leq 6x - 4 \leq 2$;

2) $-1 \leq 3 - 10x \leq 5?$

1)

Для того чтобы найти количество целых решений неравенства $-3 \le 6x - 4 \le 2$, необходимо сначала решить это двойное неравенство относительно переменной $x$.

Шаг 1: Прибавим 4 ко всем частям неравенства, чтобы изолировать слагаемое с $x$ в центре.

$-3 + 4 \le 6x - 4 + 4 \le 2 + 4$

$1 \le 6x \le 6$

Шаг 2: Разделим все части неравенства на 6, чтобы найти диапазон для $x$.

$\frac{1}{6} \le \frac{6x}{6} \le \frac{6}{6}$

$\frac{1}{6} \le x \le 1$

Шаг 3: Определим, какие целые числа попадают в полученный промежуток $[\frac{1}{6}; 1]$.

Так как $\frac{1}{6} \approx 0.167$, единственным целым числом, которое больше или равно $\frac{1}{6}$ и меньше или равно 1, является число 1.

Следовательно, неравенство имеет одно целое решение.

Ответ: 1.

2)

Для того чтобы найти количество целых решений неравенства $-1 \le 3 - 10x \le 5$, решим это двойное неравенство относительно переменной $x$.

Шаг 1: Вычтем 3 из всех частей неравенства.

$-1 - 3 \le 3 - 10x - 3 \le 5 - 3$

$-4 \le -10x \le 2$

Шаг 2: Разделим все части неравенства на -10. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные.

$\frac{-4}{-10} \ge \frac{-10x}{-10} \ge \frac{2}{-10}$

$0.4 \ge x \ge -0.2$

Шаг 3: Запишем полученный промежуток в стандартном виде (от меньшего числа к большему).

$-0.2 \le x \le 0.4$

Шаг 4: Определим, какие целые числа попадают в полученный промежуток $[-0.2; 0.4]$.

Единственным целым числом, которое больше или равно -0.2 и меньше или равно 0.4, является число 0.

Следовательно, неравенство имеет одно целое решение.

Ответ: 1.

50. При каких значениях $x$ значения функции $y = x(1-\sqrt{3})$

принадлежат промежутку $[4-4\sqrt{3}; 2-2\sqrt{3}]$?

Согласно условию, значения функции $y = x(1 - \sqrt{3})$ должны принадлежать промежутку $[4 - 4\sqrt{3}; 2 - 2\sqrt{3}]$. Это можно записать в виде двойного неравенства:

$4 - 4\sqrt{3} \le y \le 2 - 2\sqrt{3}$

Подставим в это неравенство выражение для $y$:

$4 - 4\sqrt{3} \le x(1 - \sqrt{3}) \le 2 - 2\sqrt{3}$

Для того чтобы найти $x$, необходимо разделить все части неравенства на множитель $(1 - \sqrt{3})$. Определим знак этого множителя. Поскольку $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $1 - \sqrt{3}$ является отрицательным числом ($1 - \sqrt{3} < 0$). При делении неравенства на отрицательное число, знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{4 - 4\sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} \ge x \ge \frac{2 - 2\sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

Теперь упростим выражения в левой и правой частях неравенства.

В левой части вынесем общий множитель 4 за скобки в числителе:

$\frac{4(1 - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3}} = 4$

В правой части вынесем общий множитель 2 за скобки в числителе:

$\frac{2(1 - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3}} = 2$

Подставим полученные значения обратно в неравенство:

$4 \ge x \ge 2$

Запишем это в более привычном виде, от меньшего числа к большему:

$2 \le x \le 4$

Это означает, что $x$ принадлежит отрезку $[2; 4]$.

Ответ: $x \in [2; 4]$.

51. Решите систему неравенств:

1) $ \begin{cases} x < 5, \\ x > 3, \\ x < 4,7; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 2x - 7 > 6, \\ 3 - 4x < 9, \\ 7x - 8 > 2; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} 0,6 - 4x \ge 2,2, \\ 2,5x - 2 < 8, \\ 3,1x + 9 < 1,6x + 3. \end{cases} $

1)

Дана система неравенств:

$ \begin{cases} x < 5, \\ x > 3, \\ x < 4,7; \end{cases} $

Решением этой системы является пересечение решений всех трех неравенств. На числовой оси это соответствует промежутку, который удовлетворяет всем трем условиям одновременно.

Условие $x > 3$ означает, что $x$ находится правее 3.

Условие $x < 5$ означает, что $x$ находится левее 5.

Условие $x < 4,7$ означает, что $x$ находится левее 4,7.

Пересечение условий $x < 5$ и $x < 4,7$ дает более сильное (ограничивающее) условие $x < 4,7$.

Теперь найдем пересечение условий $x > 3$ и $x < 4,7$. Это все числа, которые одновременно больше 3 и меньше 4,7.

Таким образом, решение системы — это интервал $(3; 4,7)$.

Ответ: $x \in (3; 4,7)$.

2)

Решим каждое неравенство системы по отдельности:

$ \begin{cases} 2x - 7 > 6, \\ 3 - 4x < 9, \\ 7x - 8 > 2; \end{cases} $

1. Первое неравенство:

$2x - 7 > 6$

$2x > 6 + 7$

$2x > 13$

$x > \frac{13}{2}$

$x > 6,5$

2. Второе неравенство:

$3 - 4x < 9$

$-4x < 9 - 3$

$-4x < 6$

При делении на отрицательное число (-4) знак неравенства меняется на противоположный:

$x > \frac{6}{-4}$

$x > -1,5$

3. Третье неравенство:

$7x - 8 > 2$

$7x > 2 + 8$

$7x > 10$

$x > \frac{10}{7}$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x > 6,5$, $x > -1,5$ и $x > \frac{10}{7}$. Чтобы выполнялись все три условия, $x$ должен быть больше наибольшего из этих трех чисел. Так как $6,5 > \frac{10}{7} > -1,5$, то решением системы является $x > 6,5$.

Ответ: $x \in (6,5; +\infty)$.

3)

Решим каждое неравенство системы по отдельности:

$ \begin{cases} 0,6 - 4x \ge 2,2, \\ 2,5x - 2 < 8, \\ 3,1x + 9 < 1,6x + 3; \end{cases} $

1. Первое неравенство:

$0,6 - 4x \ge 2,2$

$-4x \ge 2,2 - 0,6$

$-4x \ge 1,6$

При делении на отрицательное число (-4) знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{1,6}{-4}$

$x \le -0,4$

2. Второе неравенство:

$2,5x - 2 < 8$

$2,5x < 8 + 2$

$2,5x < 10$

$x < \frac{10}{2,5}$

$x < 4$

3. Третье неравенство:

$3,1x + 9 < 1,6x + 3$

$3,1x - 1,6x < 3 - 9$

$1,5x < -6$

$x < \frac{-6}{1,5}$

$x < -4$

Найдем пересечение полученных решений: $x \le -0,4$, $x < 4$ и $x < -4$. Чтобы выполнялись все три условия, $x$ должен быть меньше всех трех верхних границ. Наиболее строгим является условие $x < -4$, так как если число меньше -4, оно автоматически меньше 4 и меньше либо равно -0,4.

Следовательно, решением системы является $x < -4$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4)$.

52. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{7x-8} + \sqrt{3x-14}$;

2) $\sqrt{2x+3} - \frac{1}{\sqrt{9-2x}}}$;

3) $\sqrt{2x-5} + \sqrt{2-x}$?

1) $\sqrt{7x-8}+\sqrt{3x-14}$

Выражение имеет смысл, если подкоренные выражения неотрицательны, то есть больше или равны нулю. Это условие приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} 7x-8 \ge 0 \\ 3x-14 \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно:

1) $7x-8 \ge 0 \implies 7x \ge 8 \implies x \ge \frac{8}{7}$

2) $3x-14 \ge 0 \implies 3x \ge 14 \implies x \ge \frac{14}{3}$

Чтобы система выполнялась, необходимо, чтобы выполнялись оба неравенства одновременно. Для этого нужно найти пересечение решений. Сравним числа $\frac{8}{7}$ и $\frac{14}{3}$:

$\frac{8}{7} = 1\frac{1}{7}$

$\frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$

Так как $4\frac{2}{3} > 1\frac{1}{7}$, то общее решение системы — это $x \ge \frac{14}{3}$. Это означает, что переменная $x$ должна быть больше или равна $\frac{14}{3}$.

Ответ: $x \ge \frac{14}{3}$

2) $\sqrt{2x+3}-\frac{1}{\sqrt{9-2x}}$

Данное выражение имеет смысл при выполнении двух условий:

1. Подкоренное выражение первого слагаемого должно быть неотрицательным: $2x+3 \ge 0$.

2. Подкоренное выражение в знаменателе дроби должно быть строго больше нуля, так как на ноль делить нельзя, а корень из отрицательного числа не извлекается в действительных числах: $9-2x > 0$.

Получаем систему неравенств:

$\begin{cases} 2x+3 \ge 0 \\ 9-2x > 0 \end{cases}$

Решим систему:

1) $2x+3 \ge 0 \implies 2x \ge -3 \implies x \ge -\frac{3}{2}$

2) $9-2x > 0 \implies 9 > 2x \implies x < \frac{9}{2}$

Объединяя оба условия, получаем двойное неравенство: $-\frac{3}{2} \le x < \frac{9}{2}$.

Ответ: $-\frac{3}{2} \le x < \frac{9}{2}$

3) $\sqrt{2x-5}+\sqrt{2-x}$

Выражение имеет смысл, если оба подкоренных выражения неотрицательны. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 2x-5 \ge 0 \\ 2-x \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1) $2x-5 \ge 0 \implies 2x \ge 5 \implies x \ge \frac{5}{2}$

2) $2-x \ge 0 \implies 2 \ge x \implies x \le 2$

Теперь найдем пересечение решений: $x \ge 2.5$ и $x \le 2$. Не существует такого значения $x$, которое было бы одновременно больше или равно $2.5$ и меньше или равно $2$. Следовательно, система не имеет решений, и пересечение множеств пустое.

Ответ: таких значений переменной не существует.