Страница 7 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

21. Изобразите на координатной прямой промежуток:

1) $[-4; +\infty)$

2) $(-4; +\infty)$

3) $(-\infty; -4)$

4) $(-\infty; -4]$

Данный промежуток представляет собой числовой луч. Квадратная скобка `[` означает, что число -4 входит в промежуток, поэтому на координатной прямой точка -4 будет закрашенной (включающей). Промежуток простирается от -4 до плюс бесконечности, следовательно, штриховка будет направлена вправо от точки -4.

Этому промежутку соответствует неравенство $x \ge -4$.

Ответ:

Данный промежуток представляет собой открытый числовой луч. Круглая скобка `(` означает, что число -4 не входит в промежуток, поэтому на координатной прямой точка -4 будет выколотой (пустой, не включающей). Промежуток простирается от -4 до плюс бесконечности, следовательно, штриховка будет направлена вправо от точки -4.

Этому промежутку соответствует строгое неравенство $x > -4$.

Ответ:

Данный промежуток представляет собой открытый числовой луч. Круглая скобка `)` означает, что число -4 не входит в промежуток, поэтому на координатной прямой точка -4 будет выколотой (пустой, не включающей). Промежуток простирается от минус бесконечности до -4, следовательно, штриховка будет направлена влево от точки -4.

Этому промежутку соответствует строгое неравенство $x < -4$.

Ответ:

Данный промежуток представляет собой числовой луч. Квадратная скобка `]` означает, что число -4 входит в промежуток, поэтому на координатной прямой точка -4 будет закрашенной (включающей). Промежуток простирается от минус бесконечности до -4, следовательно, штриховка будет направлена влево от точки -4.

Этому промежутку соответствует неравенство $x \le -4$.

Ответ:

22. Изобразите на координатной прямой и запишите про- промежуток, который задаётся неравенством:

1) $x < 3$;

2) $x > -5$;

3) $x \leq -2$;

4) $x \geq 1$.

1) $x < 3$

Данное строгое неравенство означает, что $x$ может быть любым числом, которое меньше 3. Число 3 не входит в этот промежуток. На координатной прямой это изображается в виде луча, который начинается от "выколотой" (пустой) точки 3 и идет влево, в сторону минус бесконечности.

Изображение на координатной прямой:

В виде промежутка это записывается с использованием круглых скобок. Круглая скобка у числа 3 указывает на то, что оно не включается в промежуток.

Ответ: $(-\infty; 3)$.

2) $x > -5$

Данное строгое неравенство означает, что $x$ может быть любым числом, которое больше -5. Число -5 не входит в этот промежуток. На координатной прямой это изображается в виде луча, который начинается от "выколотой" (пустой) точки -5 и идет вправо, в сторону плюс бесконечности.

Изображение на координатной прямой:

Промежуток записывается с использованием круглых скобок, что указывает на то, что граничное значение -5 не является частью решения.

Ответ: $(-5; +\infty)$.

3) $x \le -2$

Данное нестрогое неравенство означает, что $x$ может быть любым числом, которое меньше или равно -2. Число -2 входит в этот промежуток. На координатной прямой это изображается в виде луча, который начинается от "закрашенной" (сплошной) точки -2 и идет влево, в сторону минус бесконечности.

Изображение на координатной прямой:

В виде промежутка это записывается с использованием квадратной скобки. Квадратная скобка у числа -2 указывает на то, что оно включается в промежуток.

Ответ: $(-\infty; -2]$.

4) $x \ge 1$

Данное нестрогое неравенство означает, что $x$ может быть любым числом, которое больше или равно 1. Число 1 входит в этот промежуток. На координатной прямой это изображается в виде луча, который начинается от "закрашенной" (сплошной) точки 1 и идет вправо, в сторону плюс бесконечности.

Изображение на координатной прямой:

Промежуток записывается с использованием квадратной скобки, которая показывает, что граничное значение 1 является частью решения.

Ответ: $[1; +\infty)$.

23. Укажите наименьшее целое число, принадлежащее промежутку:

1) $(11.2; +\infty);$

2) $[13; +\infty).$

1) (11,2; +∞)

Промежуток $(11,2; +\infty)$ представляет собой множество всех чисел, которые строго больше 11,2. Это условие можно записать в виде неравенства: $x > 11,2$. Нам необходимо найти наименьшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству. Выпишем целые числа, которые больше 11,2, в порядке возрастания: 12, 13, 14, ... Наименьшим в этом ряду является число 12.

Ответ: 12

2) [13; +∞)

Промежуток $[13; +\infty)$ представляет собой множество всех чисел, которые больше или равны 13. Это условие можно записать в виде неравенства: $x \ge 13$. Квадратная скобка означает, что число 13 включено в данный промежуток. Нам необходимо найти наименьшее целое число, принадлежащее этому промежутку. Поскольку 13 является целым числом и по условию входит в промежуток, оно и будет наименьшим целым числом в этом множестве.

Ответ: 13

24. Решите неравенство:

1) $7x > 14;$

2) $-3x \ge 12;$

3) $\frac{1}{3}x > -2;$

4) $0,1x \le -5;$

5) $4,7x > 0;$

6) $-2x \le 0;$

7) $1\frac{3}{4}x < -2\frac{1}{3};$

8) $2x > 18 - x;$

9) $7x + 3 \le 30 - 2x;$

10) $7 - 2x < 3x - 18;$

11) $5,4 - 1,5x \ge 0,3x - 3,6;$

12) $\frac{3}{8}x + 15 < \frac{1}{6}x + 10.$

1) Разделим обе части неравенства $7x > 14$ на 7 (знак неравенства не меняется):
$x > \frac{14}{7}$
$x > 2$
Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

2) Разделим обе части неравенства $-3x \ge 12$ на -3. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:
$x \le \frac{12}{-3}$
$x \le -4$
Ответ: $x \in (-\infty; -4]$.

3) Умножим обе части неравенства $\frac{1}{3}x > -2$ на 3, чтобы избавиться от дроби. Знак неравенства не меняется:
$x > -2 \cdot 3$
$x > -6$
Ответ: $x \in (-6; +\infty)$.

4) Разделим обе части неравенства $0,1x \le -5$ на 0,1. Знак неравенства не меняется:
$x \le \frac{-5}{0,1}$
$x \le -50$
Ответ: $x \in (-\infty; -50]$.

5) Разделим обе части неравенства $4,7x > 0$ на 4,7. Знак неравенства не меняется:
$x > \frac{0}{4,7}$
$x > 0$
Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

6) Разделим обе части неравенства $-2x \le 0$ на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x \ge \frac{0}{-2}$
$x \ge 0$
Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

7) Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$ и $-2\frac{1}{3} = -\frac{7}{3}$.
Неравенство принимает вид: $\frac{7}{4}x < -\frac{7}{3}$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части на $\frac{7}{4}$ (что равносильно умножению на $\frac{4}{7}$). Знак неравенства не меняется:
$x < -\frac{7}{3} \cdot \frac{4}{7}$
$x < -\frac{4}{3}$
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{4}{3})$.

8) Перенесем слагаемое с $x$ из правой части в левую в неравенстве $2x > 18 - x$:
$2x + x > 18$
$3x > 18$
Разделим обе части на 3:
$x > 6$
Ответ: $x \in (6; +\infty)$.

9) Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а постоянные члены — в правой:
$7x + 2x \le 30 - 3$
$9x \le 27$
Разделим обе части на 9:
$x \le \frac{27}{9}$
$x \le 3$
Ответ: $x \in (-\infty; 3]$.

10) Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в правой части, а постоянные члены — в левой:
$7 + 18 < 3x + 2x$
$25 < 5x$
Разделим обе части на 5:
$5 < x$, что эквивалентно $x > 5$.
Ответ: $x \in (5; +\infty)$.

11) Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в правой части, а постоянные члены — в левой:
$5,4 + 3,6 \ge 0,3x + 1,5x$
$9 \ge 1,8x$
Разделим обе части на 1,8:
$\frac{9}{1,8} \ge x$
$5 \ge x$, что эквивалентно $x \le 5$.
Ответ: $x \in (-\infty; 5]$.

12) Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а постоянные члены — в правой:
$\frac{3}{8}x - \frac{1}{6}x < 10 - 15$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю 24:
$\frac{9}{24}x - \frac{4}{24}x < -5$
$\frac{5}{24}x < -5$
Умножим обе части на $\frac{24}{5}$:
$x < -5 \cdot \frac{24}{5}$
$x < -24$
Ответ: $x \in (-\infty; -24)$.

25. Решите неравенство:

1) $5 - 2(x - 1) > 4 - x$

2) $0,2(7 - 2y) \le 2,3 - 0,3(y - 6)$

3) $\frac{2}{3}\left(\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}\right) \ge 4x + 2\frac{1}{2}$

4) $x(4x + 1) - 7(x^2 - 2x) < 3x(8 - x) + 6$

5) $\frac{x - 4}{3} - \frac{x}{2} > 5$

6) $\frac{x + 14}{6} - \frac{x - 12}{8} \le 3$

7) $\frac{7x - 4}{9} - \frac{3x + 3}{4} > \frac{8 - x}{6}$

8) $(x + 6)(x - 1) - (x + 3)(x - 4) \le 5x$

9) $(4x - 1)^2 - (2x - 3)(6x + 5) > 4(x - 2)^2 + 15x$

10) $2x(3 + 8x) - (4x - 3)(4x + 3) \ge 1,5x$

1) $5 - 2(x - 1) > 4 - x$
Раскроем скобки в левой части неравенства:
$5 - 2x + 2 > 4 - x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$7 - 2x > 4 - x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а свободные члены - в левую:
$7 - 4 > -x + 2x$
$3 > x$
Это эквивалентно $x < 3$.
Ответ: $x \in (-\infty; 3)$.

2) $0,2(7 - 2y) \le 2,3 - 0,3(y - 6)$
Раскроем скобки в обеих частях неравенства:
$1,4 - 0,4y \le 2,3 - 0,3y + 1,8$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$1,4 - 0,4y \le 4,1 - 0,3y$
Перенесем слагаемые с переменной $y$ в правую часть, а свободные члены - в левую:
$1,4 - 4,1 \le -0,3y + 0,4y$
$-2,7 \le 0,1y$
Разделим обе части на $0,1$:
$-27 \le y$
Это эквивалентно $y \ge -27$.
Ответ: $y \in [-27; +\infty)$.

3) $\frac{2}{3}(\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}) \ge 4x + 2\frac{1}{2}$
Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.
$\frac{2}{3}(\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}) \ge 4x + \frac{5}{2}$
Раскроем скобки в левой части:
$\frac{2}{9}x - \frac{1}{3} \ge 4x + \frac{5}{2}$
Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей (9, 3, 2), то есть на 18, чтобы избавиться от дробей:
$18 \cdot (\frac{2}{9}x) - 18 \cdot (\frac{1}{3}) \ge 18 \cdot (4x) + 18 \cdot (\frac{5}{2})$
$4x - 6 \ge 72x + 45$
Перенесем слагаемые с переменной в правую часть, а свободные члены - в левую:
$-6 - 45 \ge 72x - 4x$
$-51 \ge 68x$
Разделим обе части на 68. Так как 68 - положительное число, знак неравенства не меняется:
$\frac{-51}{68} \ge x$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 17:
$-\frac{3}{4} \ge x$
Это эквивалентно $x \le -\frac{3}{4}$.
Ответ: $x \in (-\infty; -0,75]$.

4) $x(4x + 1) - 7(x^2 - 2x) < 3x(8 - x) + 6$
Раскроем все скобки:
$4x^2 + x - 7x^2 + 14x < 24x - 3x^2 + 6$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-3x^2 + 15x < 24x - 3x^2 + 6$
Прибавим $3x^2$ к обеим частям неравенства:
$15x < 24x + 6$
Перенесем слагаемое $24x$ в левую часть:
$15x - 24x < 6$
$-9x < 6$
Разделим обе части на -9. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x > \frac{6}{-9}$
$x > -\frac{2}{3}$
Ответ: $x \in (-\frac{2}{3}; +\infty)$.

5) $\frac{x - 4}{3} - \frac{x}{2} > 5$
Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей (3 и 2), то есть на 6:
$6 \cdot \frac{x - 4}{3} - 6 \cdot \frac{x}{2} > 6 \cdot 5$
$2(x - 4) - 3x > 30$
Раскроем скобки:
$2x - 8 - 3x > 30$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-x - 8 > 30$
Прибавим 8 к обеим частям:
$-x > 38$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x < -38$
Ответ: $x \in (-\infty; -38)$.

6) $\frac{x + 14}{6} - \frac{x - 12}{8} \le 3$
Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей (6 и 8), то есть на 24:
$24 \cdot \frac{x + 14}{6} - 24 \cdot \frac{x - 12}{8} \le 24 \cdot 3$
$4(x + 14) - 3(x - 12) \le 72$
Раскроем скобки:
$4x + 56 - 3x + 36 \le 72$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$x + 92 \le 72$
Вычтем 92 из обеих частей:
$x \le 72 - 92$
$x \le -20$
Ответ: $x \in (-\infty; -20]$.

7) $\frac{7x - 4}{9} - \frac{3x + 3}{4} > \frac{8 - x}{6}$
Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей (9, 4, 6), то есть на 36:
$36 \cdot \frac{7x - 4}{9} - 36 \cdot \frac{3x + 3}{4} > 36 \cdot \frac{8 - x}{6}$
$4(7x - 4) - 9(3x + 3) > 6(8 - x)$
Раскроем скобки:
$28x - 16 - 27x - 27 > 48 - 6x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$x - 43 > 48 - 6x$
Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а свободные члены - в правую:
$x + 6x > 48 + 43$
$7x > 91$
Разделим обе части на 7:
$x > 13$
Ответ: $x \in (13; +\infty)$.

8) $(x + 6)(x - 1) - (x + 3)(x - 4) \le 5x$
Раскроем скобки, перемножив многочлены:
$(x^2 - x + 6x - 6) - (x^2 - 4x + 3x - 12) \le 5x$
Приведем подобные слагаемые внутри скобок:
$(x^2 + 5x - 6) - (x^2 - x - 12) \le 5x$
Раскроем вторые скобки, поменяв знаки:
$x^2 + 5x - 6 - x^2 + x + 12 \le 5x$
Приведем подобные слагаемые в левой части ($x^2$ и $-x^2$ взаимно уничтожаются):
$6x + 6 \le 5x$
Перенесем $5x$ в левую часть, а 6 в правую:
$6x - 5x \le -6$
$x \le -6$
Ответ: $x \in (-\infty; -6]$.

9) $(4x - 1)^2 - (2x - 3)(6x + 5) > 4(x - 2)^2 + 15x$
Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения и правило умножения многочленов:
$(16x^2 - 8x + 1) - (12x^2 + 10x - 18x - 15) > 4(x^2 - 4x + 4) + 15x$
Упростим выражения в скобках:
$(16x^2 - 8x + 1) - (12x^2 - 8x - 15) > 4x^2 - 16x + 16 + 15x$
Раскроем скобки в левой части и приведем подобные в правой:
$16x^2 - 8x + 1 - 12x^2 + 8x + 15 > 4x^2 - x + 16$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$4x^2 + 16 > 4x^2 - x + 16$
Вычтем $4x^2$ и 16 из обеих частей неравенства:
$0 > -x$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$0 < x$
Это эквивалентно $x > 0$.
Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

10) $2x(3 + 8x) - (4x - 3)(4x + 3) \ge 1,5x$
Раскроем скобки. Второе слагаемое является разностью квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$6x + 16x^2 - ((4x)^2 - 3^2) \ge 1,5x$
$6x + 16x^2 - (16x^2 - 9) \ge 1,5x$
$6x + 16x^2 - 16x^2 + 9 \ge 1,5x$
Приведем подобные слагаемые в левой части ($16x^2$ и $-16x^2$ взаимно уничтожаются):
$6x + 9 \ge 1,5x$
Перенесем $1,5x$ в левую часть, а 9 в правую:
$6x - 1,5x \ge -9$
$4,5x \ge -9$
Разделим обе части на 4,5:
$x \ge \frac{-9}{4,5}$
$x \ge -2$
Ответ: $x \in [-2; +\infty)$.