Страница 12 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

53. Решите неравенство:

1) $ (x + 2)(x - 8) \le 0; $

2) $ (x - 3)(x - 7) > 0; $

3) $ \frac{x - 9}{x} > 0; $

4) $ \frac{3x - 1}{x + 2} < 0; $

5) $ \frac{2x - 8}{x - 5} \le 0; $

6) $ \frac{6x + 2}{x - 8} \ge 0. $

1) $(x+2)(x-8) \le 0$

Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов.

1. Найдем корни соответствующего уравнения: $(x+2)(x-8) = 0$. Корнями являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 8$.

2. Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки будут закрашенными. Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -2]$, $[-2, 8]$ и $[8, +\infty)$.

3. Определим знак выражения $(x+2)(x-8)$ на каждом из интервалов:
- При $x \in (-\infty, -2)$ (например, $x=-3$): $(-3+2)(-3-8) = (-1)(-11) = 11 > 0$. Знак «+».
- При $x \in (-2, 8)$ (например, $x=0$): $(0+2)(0-8) = 2(-8) = -16 < 0$. Знак «-».
- При $x \in (8, +\infty)$ (например, $x=9$): $(9+2)(9-8) = 11(1) = 11 > 0$. Знак «+».

4. Нам нужно найти интервал, где выражение меньше или равно нулю. Это интервал со знаком «-».

Таким образом, решение неравенства — это промежуток, где $x$ находится между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in [-2, 8]$.

2) $(x-3)(x-7) > 0$

Решим неравенство методом интервалов.

1. Найдем корни уравнения $(x-3)(x-7) = 0$. Корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = 7$.

2. Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($>$), точки будут выколотыми. Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, 3)$, $(3, 7)$ и $(7, +\infty)$.

3. Определим знак выражения $(x-3)(x-7)$ на каждом интервале:
- При $x \in (-\infty, 3)$ (например, $x=0$): $(0-3)(0-7) = (-3)(-7) = 21 > 0$. Знак «+».
- При $x \in (3, 7)$ (например, $x=5$): $(5-3)(5-7) = 2(-2) = -4 < 0$. Знак «-».
- При $x \in (7, +\infty)$ (например, $x=10$): $(10-3)(10-7) = 7(3) = 21 > 0$. Знак «+».

4. Нам нужно найти интервалы, где выражение больше нуля. Это интервалы со знаком «+».

Решением является объединение интервалов, лежащих вне корней.

Ответ: $x \in (-\infty, 3) \cup (7, +\infty)$.

3) $\frac{x-9}{x} > 0$

Для решения дробно-рационального неравенства также используем метод интервалов.

1. Найдем нули числителя и знаменателя.
- Нуль числителя: $x-9 = 0 \Rightarrow x = 9$.
- Нуль знаменателя: $x = 0$.

2. Отметим эти точки на числовой прямой. Нуль знаменателя ($x=0$) всегда выкалывается. Нуль числителя ($x=9$) также выкалывается, так как неравенство строгое ($>$). Точки 0 и 9 разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 9)$ и $(9, +\infty)$.

3. Определим знак дроби $\frac{x-9}{x}$ на каждом интервале:
- При $x \in (-\infty, 0)$ (например, $x=-1$): $\frac{-1-9}{-1} = \frac{-10}{-1} = 10 > 0$. Знак «+».
- При $x \in (0, 9)$ (например, $x=1$): $\frac{1-9}{1} = -8 < 0$. Знак «-».
- При $x \in (9, +\infty)$ (например, $x=10$): $\frac{10-9}{10} = \frac{1}{10} > 0$. Знак «+».

4. Нам нужно найти интервалы, где выражение больше нуля. Это интервалы со знаком «+».

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (9, +\infty)$.

4) $\frac{3x-1}{x+2} < 0$

Решаем методом интервалов.

1. Найдем нули числителя и знаменателя.
- Нуль числителя: $3x-1 = 0 \Rightarrow 3x=1 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$.
- Нуль знаменателя: $x+2 = 0 \Rightarrow x = -2$.

2. Отметим точки $x=-2$ и $x=\frac{1}{3}$ на числовой прямой. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое ($<$) и знаменатель не может быть равен нулю. Точки разбивают прямую на интервалы: $(-\infty, -2)$, $(-2, \frac{1}{3})$ и $(\frac{1}{3}, +\infty)$.

3. Определим знак дроби $\frac{3x-1}{x+2}$ на каждом интервале:
- При $x \in (-\infty, -2)$ (например, $x=-3$): $\frac{3(-3)-1}{-3+2} = \frac{-10}{-1} = 10 > 0$. Знак «+».
- При $x \in (-2, \frac{1}{3})$ (например, $x=0$): $\frac{3(0)-1}{0+2} = \frac{-1}{2} < 0$. Знак «-».
- При $x \in (\frac{1}{3}, +\infty)$ (например, $x=1$): $\frac{3(1)-1}{1+2} = \frac{2}{3} > 0$. Знак «+».

4. Нам нужен интервал, где выражение меньше нуля. Это интервал со знаком «-».

Ответ: $x \in (-2, \frac{1}{3})$.

5) $\frac{2x-8}{x-5} \le 0$

Решаем методом интервалов.

1. Найдем нули числителя и знаменателя.
- Нуль числителя: $2x-8 = 0 \Rightarrow 2x=8 \Rightarrow x = 4$.
- Нуль знаменателя: $x-5 = 0 \Rightarrow x = 5$.

2. Отметим точки на числовой прямой. Нуль числителя ($x=4$) будет закрашенной точкой, так как неравенство нестрогое ($\le$). Нуль знаменателя ($x=5$) всегда выкалывается. Точки разбивают прямую на интервалы: $(-\infty, 4]$, $(4, 5)$ и $(5, +\infty)$.

3. Определим знак дроби $\frac{2x-8}{x-5}$ на каждом интервале:
- При $x \in (-\infty, 4)$ (например, $x=0$): $\frac{2(0)-8}{0-5} = \frac{-8}{-5} > 0$. Знак «+».
- При $x \in (4, 5)$ (например, $x=4.5$): $\frac{2(4.5)-8}{4.5-5} = \frac{1}{-0.5} < 0$. Знак «-».
- При $x \in (5, +\infty)$ (например, $x=6$): $\frac{2(6)-8}{6-5} = \frac{4}{1} > 0$. Знак «+».

4. Нам нужен интервал, где выражение меньше или равно нулю. Это интервал со знаком «-», включая нуль числителя.

Ответ: $x \in [4, 5)$.

6) $\frac{6x+2}{x-8} \ge 0$

Решаем методом интервалов.

1. Найдем нули числителя и знаменателя.
- Нуль числителя: $6x+2 = 0 \Rightarrow 6x=-2 \Rightarrow x = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$.
- Нуль знаменателя: $x-8 = 0 \Rightarrow x = 8$.

2. Отметим точки на числовой прямой. Нуль числителя ($x=-\frac{1}{3}$) будет закрашенной точкой (неравенство нестрогое, $\ge$). Нуль знаменателя ($x=8$) всегда выкалывается. Точки разбивают прямую на интервалы: $(-\infty, -\frac{1}{3}]$, $[-\frac{1}{3}, 8)$ и $(8, +\infty)$.

3. Определим знак дроби $\frac{6x+2}{x-8}$ на каждом интервале:
- При $x \in (-\infty, -\frac{1}{3})$ (например, $x=-1$): $\frac{6(-1)+2}{-1-8} = \frac{-4}{-9} > 0$. Знак «+».
- При $x \in (-\frac{1}{3}, 8)$ (например, $x=0$): $\frac{6(0)+2}{0-8} = \frac{2}{-8} < 0$. Знак «-».
- При $x \in (8, +\infty)$ (например, $x=9$): $\frac{6(9)+2}{9-8} = \frac{56}{1} > 0$. Знак «+».

4. Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы со знаком «+», включая нуль числителя.

Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{1}{3}] \cup (8, +\infty)$.

54. Решите неравенство:

1) $|x| < 3$;

2) $|x - 1| \leq 4,2$;

3) $|7x + 8| \leq 2$;

4) $|10 - 3x| < 5$.

1)

Неравенство вида $|f(x)| < a$, где $a > 0$, равносильно двойному неравенству $-a < f(x) < a$.

Применяя это правило к неравенству $|x| < 3$, получаем:

$-3 < x < 3$

Решением является интервал от -3 до 3, не включая концы.

Ответ: $x \in (-3; 3)$.

2)

Неравенство вида $|f(x)| \le a$, где $a > 0$, равносильно двойному неравенству $-a \le f(x) \le a$.

Для неравенства $|x - 1| \le 4,2$ это означает:

$-4,2 \le x - 1 \le 4,2$

Чтобы найти $x$, прибавим 1 ко всем частям двойного неравенства:

$-4,2 + 1 \le x - 1 + 1 \le 4,2 + 1$

$-3,2 \le x \le 5,2$

Решением является отрезок от -3,2 до 5,2.

Ответ: $x \in [-3,2; 5,2]$.

3)

Неравенство $|7x + 8| \le 2$ равносильно двойному неравенству:

$-2 \le 7x + 8 \le 2$

Сначала вычтем 8 из всех частей неравенства:

$-2 - 8 \le 7x + 8 - 8 \le 2 - 8$

$-10 \le 7x \le -6$

Теперь разделим все части на 7. Так как 7 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$-\frac{10}{7} \le x \le -\frac{6}{7}$

Решением является отрезок.

Ответ: $x \in [-\frac{10}{7}; -\frac{6}{7}]$.

4)

Неравенство $|10 - 3x| < 5$ равносильно двойному неравенству:

$-5 < 10 - 3x < 5$

Вычтем 10 из всех частей неравенства:

$-5 - 10 < 10 - 3x - 10 < 5 - 10$

$-15 < -3x < -5$

Теперь разделим все части на -3. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-15}{-3} > x > \frac{-5}{-3}$

$5 > x > \frac{5}{3}$

Запишем это неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):

$\frac{5}{3} < x < 5$

Решением является интервал.

Ответ: $x \in (\frac{5}{3}; 5)$.

55. Решите неравенство:

1) $|x| > 8$;

2) $|x + 5| \ge 7,8$;

3) $|0,5x + 6| \ge 1$;

4) $|11 - 4x| > 6$.

1) $|x| > 8$

Неравенство с модулем вида $|f(x)| > a$, где $a > 0$, равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.

В данном случае получаем совокупность:

$x > 8$ или $x < -8$.

Решением является объединение двух интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty; -8) \cup (8; +\infty)$.

2) $|x + 5| \geq 7,8$

Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$x + 5 \geq 7,8$ или $x + 5 \leq -7,8$.

Решим каждое неравенство отдельно:

1) $x + 5 \geq 7,8$

$x \geq 7,8 - 5$

$x \geq 2,8$

2) $x + 5 \leq -7,8$

$x \leq -7,8 - 5$

$x \leq -12,8$

Объединяем полученные решения.

Ответ: $x \in (-\infty; -12,8] \cup [2,8; +\infty)$.

3) $|0,5x + 6| \geq 1$

Неравенство равносильно совокупности:

$0,5x + 6 \geq 1$ или $0,5x + 6 \leq -1$.

Решим каждое неравенство:

1) $0,5x + 6 \geq 1$

$0,5x \geq 1 - 6$

$0,5x \geq -5$

$x \geq \frac{-5}{0,5}$

$x \geq -10$

2) $0,5x + 6 \leq -1$

$0,5x \leq -1 - 6$

$0,5x \leq -7$

$x \leq \frac{-7}{0,5}$

$x \leq -14$

Объединяем полученные решения.

Ответ: $x \in (-\infty; -14] \cup [-10; +\infty)$.

4) $|11 - 4x| > 6$

Неравенство равносильно совокупности:

$11 - 4x > 6$ или $11 - 4x < -6$.

Решим каждое неравенство:

1) $11 - 4x > 6$

$-4x > 6 - 11$

$-4x > -5$

При делении на отрицательное число (-4) знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-5}{-4}$

$x < \frac{5}{4}$

$x < 1,25$

2) $11 - 4x < -6$

$-4x < -6 - 11$

$-4x < -17$

При делении на отрицательное число (-4) знак неравенства меняется на противоположный:

$x > \frac{-17}{-4}$

$x > \frac{17}{4}$

$x > 4,25$

Объединяем полученные решения.

Ответ: $x \in (-\infty; 1,25) \cup (4,25; +\infty)$.

56. Решите уравнение:

1) $|x| + |x - 4| = 5;$

2) $|x + 1| + |x - 3| = 4;$

3) $|x| - |x - 5| = 6;$

4) $|2x - 3| - |x + 2| = 4x + 5.$

Для решения уравнения $|x| + |x - 4| = 5$ воспользуемся методом интервалов. На числовой оси отметим точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль: $x=0$ и $x-4=0 \Rightarrow x=4$. Эти точки разбивают числовую ось на три промежутка: $(-\infty, 0)$, $[0, 4)$ и $[4, +\infty)$.

1. Рассмотрим промежуток $x < 0$. На этом промежутке $|x| = -x$ и $|x - 4| = -(x - 4) = 4 - x$. Уравнение принимает вид:

$-x + (4 - x) = 5$

$-2x + 4 = 5$

$-2x = 1$

$x = -0.5$

Так как $-0.5 < 0$, это решение принадлежит рассматриваемому промежутку.

2. Рассмотрим промежуток $0 \le x < 4$. На этом промежутке $|x| = x$ и $|x - 4| = -(x - 4) = 4 - x$. Уравнение принимает вид:

$x + (4 - x) = 5$

$4 = 5$

Получено неверное равенство, следовательно, на данном промежутке решений нет.

3. Рассмотрим промежуток $x \ge 4$. На этом промежутке $|x| = x$ и $|x - 4| = x - 4$. Уравнение принимает вид:

$x + (x - 4) = 5$

$2x - 4 = 5$

$2x = 9$

$x = 4.5$

Так как $4.5 \ge 4$, это решение принадлежит рассматриваемому промежутку.

Объединяя найденные решения, получаем два корня.

Ответ: $x_1 = -0.5, x_2 = 4.5$.

Решим уравнение $|x + 1| + |x - 3| = 4$ методом интервалов. Нули подмодульных выражений: $x+1=0 \Rightarrow x=-1$ и $x-3=0 \Rightarrow x=3$. Эти точки разбивают числовую ось на три промежутка: $(-\infty, -1)$, $[-1, 3)$ и $[3, +\infty)$.

1. При $x < -1$: $|x + 1| = -(x + 1)$ и $|x - 3| = -(x - 3)$. Уравнение становится:

$-(x + 1) - (x - 3) = 4$

$-x - 1 - x + 3 = 4$

$-2x + 2 = 4$

$-2x = 2$

$x = -1$

Это значение не входит в промежуток $x < -1$, поэтому на данном промежутке решений нет.

2. При $-1 \le x < 3$: $|x + 1| = x + 1$ и $|x - 3| = -(x - 3)$. Уравнение становится:

$(x + 1) - (x - 3) = 4$

$x + 1 - x + 3 = 4$

$4 = 4$

Получено верное тождество. Это означает, что все числа из промежутка $[-1, 3)$ являются решениями уравнения.

3. При $x \ge 3$: $|x + 1| = x + 1$ и $|x - 3| = x - 3$. Уравнение становится:

$(x + 1) + (x - 3) = 4$

$2x - 2 = 4$

$2x = 6$

$x = 3$

Это значение принадлежит промежутку $x \ge 3$, следовательно, является решением.

Объединяя решения из второго и третьего случаев, получаем, что решением является отрезок $[-1, 3]$.

Ответ: $x \in [-1, 3]$.

Рассмотрим функцию $f(x) = |x| - |x - 5|$. Уравнение можно записать как $|f(x)| = 6$. Исследуем поведение функции $f(x)$ на различных интервалах, определяемых нулями подмодульных выражений: $x=0$ и $x=5$.

1. При $x < 0$: $f(x) = -x - (-(x - 5)) = -x + x - 5 = -5$.

2. При $0 \le x < 5$: $f(x) = x - (-(x - 5)) = x + x - 5 = 2x - 5$. Значения функции на этом отрезке меняются от $f(0) = 2(0) - 5 = -5$ до почти $f(5) = 2(5) - 5 = 5$.

3. При $x \ge 5$: $f(x) = x - (x - 5) = x - x + 5 = 5$.

Таким образом, множество значений функции $f(x)$ есть отрезок $[-5, 5]$.

Уравнение $|f(x)| = 6$ означает, что значение функции $f(x)$ должно быть равно $6$ или $-6$. Однако, как мы установили, все значения $f(x)$ лежат в пределах от $-5$ до $5$. Следовательно, не существует такого $x$, при котором $f(x)$ было бы равно $6$ или $-6$.

Ответ: решений нет.

Решим уравнение $|2x - 3| - |x + 2| = 4x + 5$ методом интервалов. Нули подмодульных выражений: $2x-3=0 \Rightarrow x=1.5$ и $x+2=0 \Rightarrow x=-2$. Разбиваем числовую ось на три промежутка: $(-\infty, -2)$, $[-2, 1.5)$ и $[1.5, +\infty)$.

1. При $x < -2$: $|2x - 3| = -(2x - 3)$ и $|x + 2| = -(x + 2)$. Уравнение принимает вид:

$-(2x - 3) - (-(x + 2)) = 4x + 5$

$-2x + 3 + x + 2 = 4x + 5$

$-x + 5 = 4x + 5$

$-5x = 0$

$x = 0$

Значение $x=0$ не принадлежит промежутку $x < -2$, поэтому не является решением.

2. При $-2 \le x < 1.5$: $|2x - 3| = -(2x - 3)$ и $|x + 2| = x + 2$. Уравнение принимает вид:

$-(2x - 3) - (x + 2) = 4x + 5$

$-2x + 3 - x - 2 = 4x + 5$

$-3x + 1 = 4x + 5$

$-7x = 4$

$x = -4/7$

Значение $x=-4/7$ принадлежит промежутку $[-2, 1.5)$, так как $-2 \le -4/7 < 1.5$. Это и есть решение.

3. При $x \ge 1.5$: $|2x - 3| = 2x - 3$ и $|x + 2| = x + 2$. Уравнение принимает вид:

$(2x - 3) - (x + 2) = 4x + 5$

$2x - 3 - x - 2 = 4x + 5$

$x - 5 = 4x + 5$

$-3x = 10$

$x = -10/3$

Значение $x = -10/3$ не принадлежит промежутку $x \ge 1.5$, поэтому не является решением.

Единственным решением уравнения является $x = -4/7$.

Ответ: $x = -4/7$.

57. Решите неравенство:

1) $|x + 2| + 3x \geq 5;$

2) $|x - 6| - 7x < 18;$

3) $|x + 1| + |x - 1| \leq 2;$

4) $|x + 3| + |x - 4| > 6;$

5) $|x + 2.5| - |x - 1.5| \leq 3;$

6) $|3x + 8| - |2x - 7| > 4.$

1) $|x + 2| + 3x \ge 5$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем точку, в которой выражение под модулем равно нулю: $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$. Эта точка разбивает числовую прямую на два промежутка.

Случай 1: $x \ge -2$.

На этом промежутке $|x + 2| = x + 2$. Неравенство принимает вид:

$(x + 2) + 3x \ge 5$

$4x + 2 \ge 5$

$4x \ge 3$

$x \ge \frac{3}{4}$

Пересекая решение $x \ge \frac{3}{4}$ с условием промежутка $x \ge -2$, получаем $x \ge \frac{3}{4}$.

Случай 2: $x < -2$.

На этом промежутке $|x + 2| = -(x + 2)$. Неравенство принимает вид:

$-(x + 2) + 3x \ge 5$

$-x - 2 + 3x \ge 5$

$2x \ge 7$

$x \ge \frac{7}{2}$ или $x \ge 3,5$

Пересекая решение $x \ge 3,5$ с условием промежутка $x < -2$, получаем пустое множество, так как нет чисел, которые одновременно меньше -2 и больше 3,5.

Объединяя решения из всех случаев, получаем итоговый результат.

Ответ: $x \in [\frac{3}{4}; +\infty)$.

2) $|x - 6| - 7x < 18$

Найдем нуль подмодульного выражения: $x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x \ge 6$.

Тогда $|x - 6| = x - 6$. Неравенство становится:

$(x - 6) - 7x < 18$

$-6x - 6 < 18$

$-6x < 24$

$x > -4$ (знак неравенства меняется при делении на отрицательное число)

Пересечение решения $x > -4$ и условия $x \ge 6$ дает $x \ge 6$.

Случай 2: $x < 6$.

Тогда $|x - 6| = -(x - 6) = 6 - x$. Неравенство становится:

$(6 - x) - 7x < 18$

$-8x + 6 < 18$

$-8x < 12$

$x > -\frac{12}{8}$

$x > -1,5$

Пересечение решения $x > -1,5$ и условия $x < 6$ дает $-1,5 < x < 6$.

Объединяя решения из обоих случаев, $[-1,5; 6) \cup [6; +\infty)$, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x \in (-1,5; +\infty)$.

3) $|x + 1| + |x - 1| \le 2$

Найдем нули подмодульных выражений: $x+1=0 \Rightarrow x=-1$ и $x-1=0 \Rightarrow x=1$. Эти точки делят числовую ось на три интервала.

Случай 1: $x < -1$.

Оба выражения под модулями отрицательны: $|x+1| = -(x+1)$, $|x-1| = -(x-1)$.

$-(x+1) - (x-1) \le 2$

$-x-1-x+1 \le 2$

$-2x \le 2 \Rightarrow x \ge -1$

Пересечение $x < -1$ и $x \ge -1$ дает пустое множество.

Случай 2: $-1 \le x < 1$.

$|x+1| = x+1$, $|x-1| = -(x-1)$.

$(x+1) - (x-1) \le 2$

$x+1-x+1 \le 2$

$2 \le 2$

Это верное неравенство, значит, все числа из промежутка $[-1; 1)$ являются решениями.

Случай 3: $x \ge 1$.

Оба выражения под модулями неотрицательны: $|x+1| = x+1$, $|x-1| = x-1$.

$(x+1) + (x-1) \le 2$

$2x \le 2 \Rightarrow x \le 1$

Пересечение $x \ge 1$ и $x \le 1$ дает единственную точку $x=1$.

Объединяем решения: $[-1; 1) \cup \{1\}$.

Ответ: $x \in [-1; 1]$.

4) $|x + 3| + |x - 4| > 6$

Найдем нули подмодульных выражений: $x=-3$ и $x=4$. Рассмотрим три интервала.

Случай 1: $x < -3$.

$-(x+3) - (x-4) > 6$

$-2x + 1 > 6 \Rightarrow -2x > 5 \Rightarrow x < -2,5$

Пересекая с $x < -3$, получаем $x < -3$.

Случай 2: $-3 \le x < 4$.

$(x+3) - (x-4) > 6$

$7 > 6$

Это верное неравенство, поэтому весь интервал $[-3; 4)$ является решением.

Случай 3: $x \ge 4$.

$(x+3) + (x-4) > 6$

$2x - 1 > 6 \Rightarrow 2x > 7 \Rightarrow x > 3,5$

Пересекая с $x \ge 4$, получаем $x \ge 4$.

Объединяя все полученные решения $(-\infty; -3) \cup [-3; 4) \cup [4; +\infty)$, мы видим, что решением является вся числовая прямая.

Геометрическая интерпретация: Выражение $|x+3|+|x-4|$ можно трактовать как сумму расстояний от точки $x$ до точек $-3$ и $4$. Минимальное значение этой суммы равно расстоянию между точками $-3$ и $4$, то есть $4 - (-3) = 7$. Поскольку $7 > 6$, неравенство верно для любого действительного $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

5) $|x + 2,5| - |x - 1,5| \le 3$

Нули подмодульных выражений: $x=-2,5$ и $x=1,5$. Рассматриваем три интервала.

Случай 1: $x < -2,5$.

$-(x+2,5) - (-(x-1,5)) \le 3$

$-x-2,5 + x - 1,5 \le 3$

$-4 \le 3$

Верно для всех $x$ из этого интервала, то есть $x \in (-\infty; -2,5)$.

Случай 2: $-2,5 \le x < 1,5$.

$(x+2,5) - (-(x-1,5)) \le 3$

$x+2,5 + x - 1,5 \le 3$

$2x + 1 \le 3 \Rightarrow 2x \le 2 \Rightarrow x \le 1$

Пересечение с условием $-2,5 \le x < 1,5$ дает $[-2,5; 1]$.

Случай 3: $x \ge 1,5$.

$(x+2,5) - (x-1,5) \le 3$

$x+2,5 - x + 1,5 \le 3$

$4 \le 3$

Неверно. В этом интервале решений нет.

Объединяя решения $(-\infty; -2,5) \cup [-2,5; 1]$, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; 1]$.

6) $|3x + 8| - |2x - 7| > 4$

Нули подмодульных выражений: $3x+8=0 \Rightarrow x = -\frac{8}{3}$ и $2x-7=0 \Rightarrow x = \frac{7}{2}=3,5$. Рассматриваем три интервала.

Случай 1: $x < -\frac{8}{3}$.

$-(3x+8) - (-(2x-7)) > 4$

$-3x-8+2x-7 > 4$

$-x - 15 > 4 \Rightarrow -x > 19 \Rightarrow x < -19$

Пересечение $x < -19$ с $x < -\frac{8}{3}$ дает $x < -19$.

Случай 2: $-\frac{8}{3} \le x < \frac{7}{2}$.

$(3x+8) - (-(2x-7)) > 4$

$3x+8+2x-7 > 4$

$5x+1 > 4 \Rightarrow 5x > 3 \Rightarrow x > \frac{3}{5}$

Пересечение $x > \frac{3}{5}$ с $[-\frac{8}{3}; \frac{7}{2})$ дает $(\frac{3}{5}; \frac{7}{2})$.

Случай 3: $x \ge \frac{7}{2}$.

$(3x+8) - (2x-7) > 4$

$x+15 > 4 \Rightarrow x > -11$

Пересечение $x > -11$ с $x \ge \frac{7}{2}$ дает $x \ge \frac{7}{2}$.

Объединяем решения из всех случаев: $(-\infty; -19) \cup (\frac{3}{5}; \frac{7}{2}) \cup [\frac{7}{2}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -19) \cup (\frac{3}{5}; +\infty)$.

58. Для каждого значения $a$ решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x < 3, \\ x < a; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x < 2, \\ x > a. \end{cases}$

1)

Дана система неравенств:
$ \begin{cases} x < 3, \\ x < a. \end{cases} $
Решением системы является пересечение двух множеств: $x \in (-\infty; 3)$ и $x \in (-\infty; a)$. Результат зависит от взаимного расположения чисел $a$ и 3 на числовой оси.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Если $a \le 3$, то любое число, которое меньше $a$, будет автоматически меньше 3. Таким образом, второе неравенство ($x < a$) является более строгим. Пересечением интервалов $(-\infty; 3)$ и $(-\infty; a)$ будет интервал $(-\infty; a)$.

2. Если $a > 3$, то любое число, которое меньше 3, будет автоматически меньше $a$. В этом случае первое неравенство ($x < 3$) является более строгим. Пересечением интервалов $(-\infty; 3)$ и $(-\infty; a)$ будет интервал $(-\infty; 3)$.

Ответ: если $a \le 3$, то $x \in (-\infty; a)$; если $a > 3$, то $x \in (-\infty; 3)$.

2)

Дана система неравенств:
$ \begin{cases} x < 2, \\ x > a. \end{cases} $
Решение системы должно удовлетворять обоим неравенствам одновременно, что можно записать в виде двойного неравенства: $a < x < 2$. Это соответствует пересечению интервалов $(a; +\infty)$ и $(-\infty; 2)$.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Для того чтобы интервал $(a; 2)$ содержал какие-либо числа, его левая граница $a$ должна быть строго меньше правой границы 2. То есть, если $a < 2$, решением системы является интервал $(a; 2)$.

2. Если $a \ge 2$, то левая граница $a$ не меньше правой границы 2. В этом случае не существует числа $x$, которое было бы одновременно больше $a$ и меньше 2. Пересечение интервалов является пустым множеством. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: если $a < 2$, то $x \in (a; 2)$; если $a \ge 2$, то решений нет.

59. При каких значениях $a$ корни уравнения $x^2 - 2ax + a^2 - 1 = 0$ больше числа 3?

Данное уравнение является квадратным относительно переменной $x$. Для того чтобы его корни были больше числа 3, необходимо выполнение нескольких условий. Однако, в данном случае, можно найти корни в явном виде.

Исходное уравнение: $x^2 - 2ax + a^2 - 1 = 0$.

Левую часть можно сгруппировать, заметив формулу квадрата разности:

$(x^2 - 2ax + a^2) - 1 = 0$

$(x - a)^2 - 1 = 0$

Перенесем 1 в правую часть:

$(x - a)^2 = 1$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных решения:

$x - a = 1$ или $x - a = -1$

Отсюда находим два корня уравнения:

$x_1 = a + 1$

$x_2 = a - 1$

Согласно условию задачи, оба корня должны быть строго больше 3. Запишем это в виде системы неравенств:

$\begin{cases} x_1 > 3 \\ x_2 > 3 \end{cases}$

Подставим найденные выражения для корней в систему:

$\begin{cases} a + 1 > 3 \\ a - 1 > 3 \end{cases}$

Теперь решим каждое неравенство в системе:

1. $a + 1 > 3 \implies a > 3 - 1 \implies a > 2$

2. $a - 1 > 3 \implies a > 3 + 1 \implies a > 4$

Для того чтобы система имела решение, необходимо, чтобы выполнялись оба неравенства одновременно. Мы ищем пересечение множеств решений $a > 2$ и $a > 4$. Если число больше 4, оно автоматически будет больше 2. Следовательно, общее решение системы неравенств — это более сильное неравенство.

$a \in (2, +\infty) \cap (4, +\infty) \implies a \in (4, +\infty)$

Таким образом, оба корня уравнения будут больше 3 при $a > 4$.

Ответ: $a > 4$.

60. При каких значениях $a$ корни уравнения $x^2 - (3a + 1)x + 2a^2 + 4a - 6 = 0$ принадлежат промежутку $[2; 9]$?

Для решения задачи найдем корни данного квадратного уравнения $x^2 - (3a + 1)x + 2a^2 + 4a - 6 = 0$.

Сначала вычислим дискриминант $D$ уравнения, где коэффициенты $A=1$, $B=-(3a + 1)$, $C=2a^2 + 4a - 6$.
$D = B^2 - 4AC = (-(3a + 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a^2 + 4a - 6)$
$D = (3a + 1)^2 - 4(2a^2 + 4a - 6)$
$D = (9a^2 + 6a + 1) - (8a^2 + 16a - 24)$
$D = 9a^2 + 6a + 1 - 8a^2 - 16a + 24$
$D = a^2 - 10a + 25 = (a - 5)^2$

Поскольку дискриминант $D = (a - 5)^2$ является полным квадратом, он всегда неотрицателен ($D \ge 0$) при любых действительных значениях $a$. Следовательно, уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:
$x = \frac{3a + 1 \pm \sqrt{(a - 5)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{3a + 1 \pm (a - 5)}{2}$

Вычислим оба корня:
$x_1 = \frac{3a + 1 + (a - 5)}{2} = \frac{4a - 4}{2} = 2a - 2$
$x_2 = \frac{3a + 1 - (a - 5)}{2} = \frac{2a + 6}{2} = a + 3$

Согласно условию, оба корня должны принадлежать промежутку $[2; 9]$. Это приводит к системе из двух двойных неравенств: $$ \begin{cases} 2 \le x_1 \le 9 \\ 2 \le x_2 \le 9 \end{cases} $$ Подставим выражения для $x_1$ и $x_2$: $$ \begin{cases} 2 \le 2a - 2 \le 9 \\ 2 \le a + 3 \le 9 \end{cases} $$

Решим первое неравенство:
$2 \le 2a - 2 \le 9$
Прибавим 2 ко всем частям неравенства:
$4 \le 2a \le 11$
Разделим все части на 2:
$2 \le a \le \frac{11}{2}$
$2 \le a \le 5,5$

Решим второе неравенство:
$2 \le a + 3 \le 9$
Вычтем 3 из всех частей неравенства:
$-1 \le a \le 6$

Оба условия должны выполняться одновременно, поэтому найдем пересечение полученных промежутков для $a$:
$a \in [2; 5,5] \cap [-1; 6]$
Пересечением этих двух множеств является промежуток $[2; 5,5]$.

Ответ: $a \in [2; 5,5]$.

61. При каких значениях $a$ один из корней уравнения $2x^2 - (a+5)x - a^2 - a + 2 = 0$ меньше -3, а другой — больше 2?

Пусть $f(x) = 2x^2 - (a+5)x - a^2 - a + 2$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 2 (2 > 0).

По условию, один корень уравнения $f(x)=0$ меньше -3, а другой больше 2. Обозначим корни как $x_1$ и $x_2$. Тогда $x_1 < -3$ и $x_2 > 2$.

Это означает, что числа -3 и 2 находятся между корнями уравнения. Для параболы с ветвями вверх это возможно только в том случае, если значения функции в точках $x=-3$ и $x=2$ отрицательны.

Таким образом, должны одновременно выполняться два условия:
$ \begin{cases} f(-3) < 0 \\ f(2) < 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство $f(-3) < 0$:
$f(-3) = 2(-3)^2 - (a+5)(-3) - a^2 - a + 2 < 0$
$2 \cdot 9 + 3(a+5) - a^2 - a + 2 < 0$
$18 + 3a + 15 - a^2 - a + 2 < 0$
$-a^2 + 2a + 35 < 0$
Умножим на -1, изменив знак неравенства:
$a^2 - 2a - 35 > 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $a^2 - 2a - 35 = 0$. По теореме Виета, корни $a_1 = 7$ и $a_2 = -5$.
Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $a^2 - 2a - 35 > 0$ выполняется при значениях $a$ вне интервала между корнями.
$a \in (-\infty; -5) \cup (7; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство $f(2) < 0$:
$f(2) = 2(2)^2 - (a+5)(2) - a^2 - a + 2 < 0$
$2 \cdot 4 - 2(a+5) - a^2 - a + 2 < 0$
$8 - 2a - 10 - a^2 - a + 2 < 0$
$-a^2 - 3a < 0$
Умножим на -1, изменив знак неравенства:
$a^2 + 3a > 0$
$a(a+3) > 0$
Корни $a_1=0$ и $a_2=-3$.
Это также парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $a(a+3) > 0$ выполняется при значениях $a$ вне интервала между корнями.
$a \in (-\infty; -3) \cup (0; +\infty)$.

3. Теперь найдем пересечение решений двух неравенств:
$ \begin{cases} a \in (-\infty; -5) \cup (7; +\infty) \\ a \in (-\infty; -3) \cup (0; +\infty) \end{cases} $
Пересечение этих двух множеств дает нам итоговый результат:
$a \in (-\infty; -5) \cup (7; +\infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty; -5) \cup (7; +\infty)$.

62. Функция задана формулой $f(x) = \frac{1}{2}x^2 + 3x$. Найдите:

1) $f(1)$;

2) $f\left(-\frac{1}{3}\right)$.

Дана функция $f(x) = \frac{1}{2}x^2 + 3x$.

1) f(1)

Чтобы найти значение функции в точке $x=1$, подставим это значение в формулу функции:

$f(1) = \frac{1}{2} \cdot (1)^2 + 3 \cdot 1$

Выполним вычисления:

$f(1) = \frac{1}{2} \cdot 1 + 3 = \frac{1}{2} + 3 = 0.5 + 3 = 3.5$

Ответ: $3.5$.

2) f(-1/3)

Чтобы найти значение функции в точке $x=-\frac{1}{3}$, подставим это значение в формулу функции:

$f(-\frac{1}{3}) = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{3})^2 + 3 \cdot (-\frac{1}{3})$

Выполним вычисления по шагам. Сначала возведение в степень, затем умножение:

$(-\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$

$3 \cdot (-\frac{1}{3}) = -1$

Теперь подставим результаты обратно в выражение:

$f(-\frac{1}{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} - 1 = \frac{1}{18} - 1$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{1}{18} - \frac{18}{18} = \frac{1-18}{18} = -\frac{17}{18}$

Ответ: $-\frac{17}{18}$.