Номер 57, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

57. Решите неравенство:

1) $|x + 2| + 3x \geq 5;$

2) $|x - 6| - 7x < 18;$

3) $|x + 1| + |x - 1| \leq 2;$

4) $|x + 3| + |x - 4| > 6;$

5) $|x + 2.5| - |x - 1.5| \leq 3;$

6) $|3x + 8| - |2x - 7| > 4.$

1) $|x + 2| + 3x \ge 5$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем точку, в которой выражение под модулем равно нулю: $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$. Эта точка разбивает числовую прямую на два промежутка.

Случай 1: $x \ge -2$.

На этом промежутке $|x + 2| = x + 2$. Неравенство принимает вид:

$(x + 2) + 3x \ge 5$

$4x + 2 \ge 5$

$4x \ge 3$

$x \ge \frac{3}{4}$

Пересекая решение $x \ge \frac{3}{4}$ с условием промежутка $x \ge -2$, получаем $x \ge \frac{3}{4}$.

Случай 2: $x < -2$.

На этом промежутке $|x + 2| = -(x + 2)$. Неравенство принимает вид:

$-(x + 2) + 3x \ge 5$

$-x - 2 + 3x \ge 5$

$2x \ge 7$

$x \ge \frac{7}{2}$ или $x \ge 3,5$

Пересекая решение $x \ge 3,5$ с условием промежутка $x < -2$, получаем пустое множество, так как нет чисел, которые одновременно меньше -2 и больше 3,5.

Объединяя решения из всех случаев, получаем итоговый результат.

Ответ: $x \in [\frac{3}{4}; +\infty)$.

2) $|x - 6| - 7x < 18$

Найдем нуль подмодульного выражения: $x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x \ge 6$.

Тогда $|x - 6| = x - 6$. Неравенство становится:

$(x - 6) - 7x < 18$

$-6x - 6 < 18$

$-6x < 24$

$x > -4$ (знак неравенства меняется при делении на отрицательное число)

Пересечение решения $x > -4$ и условия $x \ge 6$ дает $x \ge 6$.

Случай 2: $x < 6$.

Тогда $|x - 6| = -(x - 6) = 6 - x$. Неравенство становится:

$(6 - x) - 7x < 18$

$-8x + 6 < 18$

$-8x < 12$

$x > -\frac{12}{8}$

$x > -1,5$

Пересечение решения $x > -1,5$ и условия $x < 6$ дает $-1,5 < x < 6$.

Объединяя решения из обоих случаев, $[-1,5; 6) \cup [6; +\infty)$, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x \in (-1,5; +\infty)$.

3) $|x + 1| + |x - 1| \le 2$

Найдем нули подмодульных выражений: $x+1=0 \Rightarrow x=-1$ и $x-1=0 \Rightarrow x=1$. Эти точки делят числовую ось на три интервала.

Случай 1: $x < -1$.

Оба выражения под модулями отрицательны: $|x+1| = -(x+1)$, $|x-1| = -(x-1)$.

$-(x+1) - (x-1) \le 2$

$-x-1-x+1 \le 2$

$-2x \le 2 \Rightarrow x \ge -1$

Пересечение $x < -1$ и $x \ge -1$ дает пустое множество.

Случай 2: $-1 \le x < 1$.

$|x+1| = x+1$, $|x-1| = -(x-1)$.

$(x+1) - (x-1) \le 2$

$x+1-x+1 \le 2$

$2 \le 2$

Это верное неравенство, значит, все числа из промежутка $[-1; 1)$ являются решениями.

Случай 3: $x \ge 1$.

Оба выражения под модулями неотрицательны: $|x+1| = x+1$, $|x-1| = x-1$.

$(x+1) + (x-1) \le 2$

$2x \le 2 \Rightarrow x \le 1$

Пересечение $x \ge 1$ и $x \le 1$ дает единственную точку $x=1$.

Объединяем решения: $[-1; 1) \cup \{1\}$.

Ответ: $x \in [-1; 1]$.

4) $|x + 3| + |x - 4| > 6$

Найдем нули подмодульных выражений: $x=-3$ и $x=4$. Рассмотрим три интервала.

Случай 1: $x < -3$.

$-(x+3) - (x-4) > 6$

$-2x + 1 > 6 \Rightarrow -2x > 5 \Rightarrow x < -2,5$

Пересекая с $x < -3$, получаем $x < -3$.

Случай 2: $-3 \le x < 4$.

$(x+3) - (x-4) > 6$

$7 > 6$

Это верное неравенство, поэтому весь интервал $[-3; 4)$ является решением.

Случай 3: $x \ge 4$.

$(x+3) + (x-4) > 6$

$2x - 1 > 6 \Rightarrow 2x > 7 \Rightarrow x > 3,5$

Пересекая с $x \ge 4$, получаем $x \ge 4$.

Объединяя все полученные решения $(-\infty; -3) \cup [-3; 4) \cup [4; +\infty)$, мы видим, что решением является вся числовая прямая.

Геометрическая интерпретация: Выражение $|x+3|+|x-4|$ можно трактовать как сумму расстояний от точки $x$ до точек $-3$ и $4$. Минимальное значение этой суммы равно расстоянию между точками $-3$ и $4$, то есть $4 - (-3) = 7$. Поскольку $7 > 6$, неравенство верно для любого действительного $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

5) $|x + 2,5| - |x - 1,5| \le 3$

Нули подмодульных выражений: $x=-2,5$ и $x=1,5$. Рассматриваем три интервала.

Случай 1: $x < -2,5$.

$-(x+2,5) - (-(x-1,5)) \le 3$

$-x-2,5 + x - 1,5 \le 3$

$-4 \le 3$

Верно для всех $x$ из этого интервала, то есть $x \in (-\infty; -2,5)$.

Случай 2: $-2,5 \le x < 1,5$.

$(x+2,5) - (-(x-1,5)) \le 3$

$x+2,5 + x - 1,5 \le 3$

$2x + 1 \le 3 \Rightarrow 2x \le 2 \Rightarrow x \le 1$

Пересечение с условием $-2,5 \le x < 1,5$ дает $[-2,5; 1]$.

Случай 3: $x \ge 1,5$.

$(x+2,5) - (x-1,5) \le 3$

$x+2,5 - x + 1,5 \le 3$

$4 \le 3$

Неверно. В этом интервале решений нет.

Объединяя решения $(-\infty; -2,5) \cup [-2,5; 1]$, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; 1]$.

6) $|3x + 8| - |2x - 7| > 4$

Нули подмодульных выражений: $3x+8=0 \Rightarrow x = -\frac{8}{3}$ и $2x-7=0 \Rightarrow x = \frac{7}{2}=3,5$. Рассматриваем три интервала.

Случай 1: $x < -\frac{8}{3}$.

$-(3x+8) - (-(2x-7)) > 4$

$-3x-8+2x-7 > 4$

$-x - 15 > 4 \Rightarrow -x > 19 \Rightarrow x < -19$

Пересечение $x < -19$ с $x < -\frac{8}{3}$ дает $x < -19$.

Случай 2: $-\frac{8}{3} \le x < \frac{7}{2}$.

$(3x+8) - (-(2x-7)) > 4$

$3x+8+2x-7 > 4$

$5x+1 > 4 \Rightarrow 5x > 3 \Rightarrow x > \frac{3}{5}$

Пересечение $x > \frac{3}{5}$ с $[-\frac{8}{3}; \frac{7}{2})$ дает $(\frac{3}{5}; \frac{7}{2})$.

Случай 3: $x \ge \frac{7}{2}$.

$(3x+8) - (2x-7) > 4$

$x+15 > 4 \Rightarrow x > -11$

Пересечение $x > -11$ с $x \ge \frac{7}{2}$ дает $x \ge \frac{7}{2}$.

Объединяем решения из всех случаев: $(-\infty; -19) \cup (\frac{3}{5}; \frac{7}{2}) \cup [\frac{7}{2}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -19) \cup (\frac{3}{5}; +\infty)$.