Номер 61, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

61. При каких значениях $a$ один из корней уравнения $2x^2 - (a+5)x - a^2 - a + 2 = 0$ меньше -3, а другой — больше 2?

Пусть $f(x) = 2x^2 - (a+5)x - a^2 - a + 2$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 2 (2 > 0).

По условию, один корень уравнения $f(x)=0$ меньше -3, а другой больше 2. Обозначим корни как $x_1$ и $x_2$. Тогда $x_1 < -3$ и $x_2 > 2$.

Это означает, что числа -3 и 2 находятся между корнями уравнения. Для параболы с ветвями вверх это возможно только в том случае, если значения функции в точках $x=-3$ и $x=2$ отрицательны.

Таким образом, должны одновременно выполняться два условия:
$ \begin{cases} f(-3) < 0 \\ f(2) < 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство $f(-3) < 0$:
$f(-3) = 2(-3)^2 - (a+5)(-3) - a^2 - a + 2 < 0$
$2 \cdot 9 + 3(a+5) - a^2 - a + 2 < 0$
$18 + 3a + 15 - a^2 - a + 2 < 0$
$-a^2 + 2a + 35 < 0$
Умножим на -1, изменив знак неравенства:
$a^2 - 2a - 35 > 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $a^2 - 2a - 35 = 0$. По теореме Виета, корни $a_1 = 7$ и $a_2 = -5$.
Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $a^2 - 2a - 35 > 0$ выполняется при значениях $a$ вне интервала между корнями.
$a \in (-\infty; -5) \cup (7; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство $f(2) < 0$:
$f(2) = 2(2)^2 - (a+5)(2) - a^2 - a + 2 < 0$
$2 \cdot 4 - 2(a+5) - a^2 - a + 2 < 0$
$8 - 2a - 10 - a^2 - a + 2 < 0$
$-a^2 - 3a < 0$
Умножим на -1, изменив знак неравенства:
$a^2 + 3a > 0$
$a(a+3) > 0$
Корни $a_1=0$ и $a_2=-3$.
Это также парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $a(a+3) > 0$ выполняется при значениях $a$ вне интервала между корнями.
$a \in (-\infty; -3) \cup (0; +\infty)$.

3. Теперь найдем пересечение решений двух неравенств:
$ \begin{cases} a \in (-\infty; -5) \cup (7; +\infty) \\ a \in (-\infty; -3) \cup (0; +\infty) \end{cases} $
Пересечение этих двух множеств дает нам итоговый результат:
$a \in (-\infty; -5) \cup (7; +\infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty; -5) \cup (7; +\infty)$.