Номер 58, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

58. Для каждого значения $a$ решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x < 3, \\ x < a; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x < 2, \\ x > a. \end{cases}$

1)

Дана система неравенств:
$ \begin{cases} x < 3, \\ x < a. \end{cases} $
Решением системы является пересечение двух множеств: $x \in (-\infty; 3)$ и $x \in (-\infty; a)$. Результат зависит от взаимного расположения чисел $a$ и 3 на числовой оси.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Если $a \le 3$, то любое число, которое меньше $a$, будет автоматически меньше 3. Таким образом, второе неравенство ($x < a$) является более строгим. Пересечением интервалов $(-\infty; 3)$ и $(-\infty; a)$ будет интервал $(-\infty; a)$.

2. Если $a > 3$, то любое число, которое меньше 3, будет автоматически меньше $a$. В этом случае первое неравенство ($x < 3$) является более строгим. Пересечением интервалов $(-\infty; 3)$ и $(-\infty; a)$ будет интервал $(-\infty; 3)$.

Ответ: если $a \le 3$, то $x \in (-\infty; a)$; если $a > 3$, то $x \in (-\infty; 3)$.

2)

Дана система неравенств:
$ \begin{cases} x < 2, \\ x > a. \end{cases} $
Решение системы должно удовлетворять обоим неравенствам одновременно, что можно записать в виде двойного неравенства: $a < x < 2$. Это соответствует пересечению интервалов $(a; +\infty)$ и $(-\infty; 2)$.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Для того чтобы интервал $(a; 2)$ содержал какие-либо числа, его левая граница $a$ должна быть строго меньше правой границы 2. То есть, если $a < 2$, решением системы является интервал $(a; 2)$.

2. Если $a \ge 2$, то левая граница $a$ не меньше правой границы 2. В этом случае не существует числа $x$, которое было бы одновременно больше $a$ и меньше 2. Пересечение интервалов является пустым множеством. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: если $a < 2$, то $x \in (a; 2)$; если $a \ge 2$, то решений нет.