Номер 53, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

53. Решите неравенство:

1) $ (x + 2)(x - 8) \le 0; $

2) $ (x - 3)(x - 7) > 0; $

3) $ \frac{x - 9}{x} > 0; $

4) $ \frac{3x - 1}{x + 2} < 0; $

5) $ \frac{2x - 8}{x - 5} \le 0; $

6) $ \frac{6x + 2}{x - 8} \ge 0. $

1) $(x+2)(x-8) \le 0$

Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов.

1. Найдем корни соответствующего уравнения: $(x+2)(x-8) = 0$. Корнями являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 8$.

2. Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки будут закрашенными. Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -2]$, $[-2, 8]$ и $[8, +\infty)$.

3. Определим знак выражения $(x+2)(x-8)$ на каждом из интервалов:
- При $x \in (-\infty, -2)$ (например, $x=-3$): $(-3+2)(-3-8) = (-1)(-11) = 11 > 0$. Знак «+».
- При $x \in (-2, 8)$ (например, $x=0$): $(0+2)(0-8) = 2(-8) = -16 < 0$. Знак «-».
- При $x \in (8, +\infty)$ (например, $x=9$): $(9+2)(9-8) = 11(1) = 11 > 0$. Знак «+».

4. Нам нужно найти интервал, где выражение меньше или равно нулю. Это интервал со знаком «-».

Таким образом, решение неравенства — это промежуток, где $x$ находится между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in [-2, 8]$.

2) $(x-3)(x-7) > 0$

Решим неравенство методом интервалов.

1. Найдем корни уравнения $(x-3)(x-7) = 0$. Корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = 7$.

2. Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($>$), точки будут выколотыми. Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, 3)$, $(3, 7)$ и $(7, +\infty)$.

3. Определим знак выражения $(x-3)(x-7)$ на каждом интервале:
- При $x \in (-\infty, 3)$ (например, $x=0$): $(0-3)(0-7) = (-3)(-7) = 21 > 0$. Знак «+».
- При $x \in (3, 7)$ (например, $x=5$): $(5-3)(5-7) = 2(-2) = -4 < 0$. Знак «-».
- При $x \in (7, +\infty)$ (например, $x=10$): $(10-3)(10-7) = 7(3) = 21 > 0$. Знак «+».

4. Нам нужно найти интервалы, где выражение больше нуля. Это интервалы со знаком «+».

Решением является объединение интервалов, лежащих вне корней.

Ответ: $x \in (-\infty, 3) \cup (7, +\infty)$.

3) $\frac{x-9}{x} > 0$

Для решения дробно-рационального неравенства также используем метод интервалов.

1. Найдем нули числителя и знаменателя.
- Нуль числителя: $x-9 = 0 \Rightarrow x = 9$.
- Нуль знаменателя: $x = 0$.

2. Отметим эти точки на числовой прямой. Нуль знаменателя ($x=0$) всегда выкалывается. Нуль числителя ($x=9$) также выкалывается, так как неравенство строгое ($>$). Точки 0 и 9 разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 9)$ и $(9, +\infty)$.

3. Определим знак дроби $\frac{x-9}{x}$ на каждом интервале:
- При $x \in (-\infty, 0)$ (например, $x=-1$): $\frac{-1-9}{-1} = \frac{-10}{-1} = 10 > 0$. Знак «+».
- При $x \in (0, 9)$ (например, $x=1$): $\frac{1-9}{1} = -8 < 0$. Знак «-».
- При $x \in (9, +\infty)$ (например, $x=10$): $\frac{10-9}{10} = \frac{1}{10} > 0$. Знак «+».

4. Нам нужно найти интервалы, где выражение больше нуля. Это интервалы со знаком «+».

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (9, +\infty)$.

4) $\frac{3x-1}{x+2} < 0$

Решаем методом интервалов.

1. Найдем нули числителя и знаменателя.
- Нуль числителя: $3x-1 = 0 \Rightarrow 3x=1 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$.
- Нуль знаменателя: $x+2 = 0 \Rightarrow x = -2$.

2. Отметим точки $x=-2$ и $x=\frac{1}{3}$ на числовой прямой. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое ($<$) и знаменатель не может быть равен нулю. Точки разбивают прямую на интервалы: $(-\infty, -2)$, $(-2, \frac{1}{3})$ и $(\frac{1}{3}, +\infty)$.

3. Определим знак дроби $\frac{3x-1}{x+2}$ на каждом интервале:
- При $x \in (-\infty, -2)$ (например, $x=-3$): $\frac{3(-3)-1}{-3+2} = \frac{-10}{-1} = 10 > 0$. Знак «+».
- При $x \in (-2, \frac{1}{3})$ (например, $x=0$): $\frac{3(0)-1}{0+2} = \frac{-1}{2} < 0$. Знак «-».
- При $x \in (\frac{1}{3}, +\infty)$ (например, $x=1$): $\frac{3(1)-1}{1+2} = \frac{2}{3} > 0$. Знак «+».

4. Нам нужен интервал, где выражение меньше нуля. Это интервал со знаком «-».

Ответ: $x \in (-2, \frac{1}{3})$.

5) $\frac{2x-8}{x-5} \le 0$

Решаем методом интервалов.

1. Найдем нули числителя и знаменателя.
- Нуль числителя: $2x-8 = 0 \Rightarrow 2x=8 \Rightarrow x = 4$.
- Нуль знаменателя: $x-5 = 0 \Rightarrow x = 5$.

2. Отметим точки на числовой прямой. Нуль числителя ($x=4$) будет закрашенной точкой, так как неравенство нестрогое ($\le$). Нуль знаменателя ($x=5$) всегда выкалывается. Точки разбивают прямую на интервалы: $(-\infty, 4]$, $(4, 5)$ и $(5, +\infty)$.

3. Определим знак дроби $\frac{2x-8}{x-5}$ на каждом интервале:
- При $x \in (-\infty, 4)$ (например, $x=0$): $\frac{2(0)-8}{0-5} = \frac{-8}{-5} > 0$. Знак «+».
- При $x \in (4, 5)$ (например, $x=4.5$): $\frac{2(4.5)-8}{4.5-5} = \frac{1}{-0.5} < 0$. Знак «-».
- При $x \in (5, +\infty)$ (например, $x=6$): $\frac{2(6)-8}{6-5} = \frac{4}{1} > 0$. Знак «+».

4. Нам нужен интервал, где выражение меньше или равно нулю. Это интервал со знаком «-», включая нуль числителя.

Ответ: $x \in [4, 5)$.

6) $\frac{6x+2}{x-8} \ge 0$

Решаем методом интервалов.

1. Найдем нули числителя и знаменателя.
- Нуль числителя: $6x+2 = 0 \Rightarrow 6x=-2 \Rightarrow x = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$.
- Нуль знаменателя: $x-8 = 0 \Rightarrow x = 8$.

2. Отметим точки на числовой прямой. Нуль числителя ($x=-\frac{1}{3}$) будет закрашенной точкой (неравенство нестрогое, $\ge$). Нуль знаменателя ($x=8$) всегда выкалывается. Точки разбивают прямую на интервалы: $(-\infty, -\frac{1}{3}]$, $[-\frac{1}{3}, 8)$ и $(8, +\infty)$.

3. Определим знак дроби $\frac{6x+2}{x-8}$ на каждом интервале:
- При $x \in (-\infty, -\frac{1}{3})$ (например, $x=-1$): $\frac{6(-1)+2}{-1-8} = \frac{-4}{-9} > 0$. Знак «+».
- При $x \in (-\frac{1}{3}, 8)$ (например, $x=0$): $\frac{6(0)+2}{0-8} = \frac{2}{-8} < 0$. Знак «-».
- При $x \in (8, +\infty)$ (например, $x=9$): $\frac{6(9)+2}{9-8} = \frac{56}{1} > 0$. Знак «+».

4. Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы со знаком «+», включая нуль числителя.

Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{1}{3}] \cup (8, +\infty)$.