Номер 47, страница 11 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

47. Найдите множество решений системы неравенств:

1) $\begin{cases} 2(3x - 4) > 6(x + 1) - 20, \\ 0,4(5 - x) \le 3(x + 1,4) + 1,2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 1 - \frac{3x - 88}{7} > 5x, \\ x(x - 4) - (x + 1)(x - 5) < 2. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 2(3x - 4) > 6(x + 1) - 20, \\ 0,4(5 - x) \le 3(x + 1,4) + 1,2; \end{cases}$

Сначала решим первое неравенство:

$2(3x - 4) > 6(x + 1) - 20$

Раскроем скобки:

$6x - 8 > 6x + 6 - 20$

$6x - 8 > 6x - 14$

Перенесем члены с переменной $x$ в одну сторону:

$6x - 6x > 8 - 14$

$0 \cdot x > -6$

$0 > -6$

Это неравенство верно при любом значении $x$. Следовательно, решением первого неравенства является множество всех действительных чисел, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство:

$0,4(5 - x) \le 3(x + 1,4) + 1,2$

Раскроем скобки:

$2 - 0,4x \le 3x + 4,2 + 1,2$

$2 - 0,4x \le 3x + 5,4$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены - в левую:

$2 - 5,4 \le 3x + 0,4x$

$-3,4 \le 3,4x$

Разделим обе части на 3,4 (знак неравенства не меняется, так как 3,4 > 0):

$-1 \le x$, или $x \ge -1$.

Решением второго неравенства является промежуток $[-1; +\infty)$.

Решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств:

$(-\infty; +\infty) \cap [-1; +\infty) = [-1; +\infty)$.

Ответ: $[-1; +\infty)$.

2) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 1 - \frac{3x - 88}{7} > 5x, \\ x(x - 4) - (x + 1)(x - 5) < 2. \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$1 - \frac{3x - 88}{7} > 5x$

Умножим обе части неравенства на 7, чтобы избавиться от знаменателя:

$7 \cdot 1 - 7 \cdot \frac{3x - 88}{7} > 7 \cdot 5x$

$7 - (3x - 88) > 35x$

$7 - 3x + 88 > 35x$

$95 - 3x > 35x$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть:

$95 > 35x + 3x$

$95 > 38x$

Разделим обе части на 38:

$\frac{95}{38} > x$

Так как $95 = 5 \cdot 19$ и $38 = 2 \cdot 19$, то $\frac{95}{38} = \frac{5}{2} = 2,5$.

$2,5 > x$, или $x < 2,5$.

Решением первого неравенства является промежуток $(-\infty; 2,5)$.

Решим второе неравенство:

$x(x - 4) - (x + 1)(x - 5) < 2$

Раскроем скобки:

$(x^2 - 4x) - (x^2 - 5x + x - 5) < 2$

$x^2 - 4x - (x^2 - 4x - 5) < 2$

$x^2 - 4x - x^2 + 4x + 5 < 2$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (-4x + 4x) + 5 < 2$

$5 < 2$

Полученное неравенство является неверным и не зависит от $x$. Это означает, что второе неравенство не имеет решений. Множество его решений - пустое множество ($\emptyset$).

Решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств. Так как одно из множеств пустое, то и их пересечение пустое.

Ответ: нет решений (или $\emptyset$).