Номер 44, страница 10 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

44. Изобразите на координатной прямой и запишите пересечение промежутков:

1) $ [-2; 6] $ и $ [3; 8] $

2) $ [4; 7] $ и $ (4; 9] $

3) $ (-\infty; 5,2) $ и $ (4,3; +\infty) $

4) $ (-\infty; 3,7) $ и $ (3,9; +\infty) $

5) $ [10; +\infty) $ и $ [13,4; +\infty) $

6) $ [6; 10] $ и $ [7,3; 8] $

1)

Чтобы найти пересечение промежутков $[-2; 6]$ и $[3; 8]$, изобразим их на координатной прямой.
Промежуток $[-2; 6]$ — это множество всех чисел $x$, для которых выполняется неравенство $-2 \le x \le 6$. На координатной прямой это отрезок, ограниченный закрашенными точками $-2$ и $6$.
Промежуток $[3; 8]$ — это множество всех чисел $x$, для которых выполняется неравенство $3 \le x \le 8$. На координатной прямой это отрезок, ограниченный закрашенными точками $3$ и $8$.
Пересечением двух промежутков является их общая часть. Наложив один промежуток на другой, мы увидим, что их общая часть — это множество чисел, которые больше или равны $3$ и одновременно меньше или равны $6$.
Таким образом, пересечение этих промежутков есть отрезок $[3; 6]$.
Запись операции: $[-2; 6] \cap [3; 8] = [3; 6]$.
Ответ: $[3; 6]$.

2)

Найдем пересечение промежутков $[4; 7]$ и $(4; 9]$.
Промежуток $[4; 7]$ — это отрезок, включающий все числа $x$, такие что $4 \le x \le 7$. Точки $4$ и $7$ закрашены.
Промежуток $(4; 9]$ — это полуинтервал, включающий все числа $x$, такие что $4 < x \le 9$. Точка $4$ выколота, а точка $9$ закрашена.
Их общей частью будут все числа, которые находятся между $4$ и $7$. При этом число $4$ не входит в пересечение, так как оно не принадлежит второму промежутку. Число $7$ входит в пересечение, так как оно принадлежит обоим промежуткам.
Следовательно, пересечение — это полуинтервал $(4; 7]$.
Запись операции: $[4; 7] \cap (4; 9] = (4; 7]$.
Ответ: $(4; 7]$.

3)

Найдем пересечение промежутков $(-\infty; 5,2)$ и $(4,3; +\infty)$.
Промежуток $(-\infty; 5,2)$ — это открытый луч, состоящий из всех чисел, меньших $5,2$ ($x < 5,2$). На прямой это вся область левее выколотой точки $5,2$.
Промежуток $(4,3; +\infty)$ — это открытый луч, состоящий из всех чисел, больших $4,3$ ($x > 4,3$). На прямой это вся область правее выколотой точки $4,3$.
Пересечением будут числа, которые одновременно меньше $5,2$ и больше $4,3$. Это числа, заключенные между $4,3$ и $5,2$.
Таким образом, пересечением является интервал $(4,3; 5,2)$.
Запись операции: $(-\infty; 5,2) \cap (4,3; +\infty) = (4,3; 5,2)$.
Ответ: $(4,3; 5,2)$.

4)

Найдем пересечение промежутков $(-\infty; 3,7)$ и $(3,9; +\infty)$.
Первый промежуток $(-\infty; 3,7)$ — это все числа, которые строго меньше $3,7$.
Второй промежуток $(3,9; +\infty)$ — это все числа, которые строго больше $3,9$.
На координатной прямой эти два промежутка не имеют общих точек. Не существует числа, которое было бы одновременно меньше $3,7$ и больше $3,9$.
Следовательно, их пересечение является пустым множеством, которое обозначается символом $\emptyset$.
Запись операции: $(-\infty; 3,7) \cap (3,9; +\infty) = \emptyset$.
Ответ: $\emptyset$.

5)

Найдем пересечение промежутков $[10; +\infty)$ и $[13,4; +\infty)$.
Промежуток $[10; +\infty)$ — это луч, включающий все числа $x$, такие что $x \ge 10$.
Промежуток $[13,4; +\infty)$ — это луч, включающий все числа $x$, такие что $x \ge 13,4$.
На координатной прямой оба луча направлены вправо. Общая часть начинается с большей из двух начальных точек. Так как $13,4 > 10$, то любое число, большее или равное $13,4$, также будет больше или равно $10$.
Таким образом, пересечением является промежуток $[13,4; +\infty)$.
Запись операции: $[10; +\infty) \cap [13,4; +\infty) = [13,4; +\infty)$.
Ответ: $[13,4; +\infty)$.

6)

Найдем пересечение промежутков $[6; 10]$ и $[7,3; 8]$.
Промежуток $[6; 10]$ — это отрезок, включающий все числа от $6$ до $10$ включительно.
Промежуток $[7,3; 8]$ — это отрезок, включающий все числа от $7,3$ до $8$ включительно.
Изобразив эти отрезки на координатной прямой, мы видим, что второй отрезок $[7,3; 8]$ полностью содержится внутри первого отрезка $[6; 10]$, так как $6 \le 7,3$ и $8 \le 10$.
Следовательно, их пересечением будет меньший из отрезков.
Запись операции: $[6; 10] \cap [7,3; 8] = [7,3; 8]$.
Ответ: $[7,3; 8]$.