Номер 38, страница 9 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

38. Для каждого значения $a$ решите неравенство:

1) $(a-3)x < 0;$

2) $(a-3)x > 4;$

3) $(a-3)x \le a-3;$

4) $(a-3)^2 x \ge 0;$

5) $a-x \le 2-ax;$

6) $4(x-a) > 8+ax;$

7) $(a+1)x > a^2-1;$

8) $(a-5)x \le a^2-25.$

1) $(a-3)x < 0$

Решение данного линейного неравенства зависит от знака коэффициента $k = a-3$ при переменной $x$. Рассмотрим три возможных случая.

1. Если $a-3 > 0$, то есть $a > 3$. Делим обе части неравенства на положительное число $(a-3)$, знак неравенства при этом сохраняется: $x < \frac{0}{a-3}$, что равносильно $x < 0$.

2. Если $a-3 < 0$, то есть $a < 3$. Делим обе части неравенства на отрицательное число $(a-3)$, знак неравенства при этом меняется на противоположный: $x > \frac{0}{a-3}$, что равносильно $x > 0$.

3. Если $a-3 = 0$, то есть $a = 3$. Неравенство принимает вид $0 \cdot x < 0$, или $0 < 0$. Это неверное числовое неравенство, следовательно, решений нет.

Ответ: если $a > 3$, то $x \in (-\infty; 0)$; если $a < 3$, то $x \in (0; +\infty)$; если $a = 3$, то решений нет.

2) $(a-3)x > 4$

Решение зависит от знака коэффициента $k = a-3$.

1. Если $a-3 > 0$, то есть $a > 3$. Делим обе части на положительное число $(a-3)$, знак неравенства сохраняется: $x > \frac{4}{a-3}$.

2. Если $a-3 < 0$, то есть $a < 3$. Делим обе части на отрицательное число $(a-3)$, знак неравенства меняется на противоположный: $x < \frac{4}{a-3}$.

3. Если $a-3 = 0$, то есть $a = 3$. Неравенство принимает вид $0 \cdot x > 4$, или $0 > 4$. Это неверное числовое неравенство, следовательно, решений нет.

Ответ: если $a > 3$, то $x \in (\frac{4}{a-3}; +\infty)$; если $a < 3$, то $x \in (-\infty; \frac{4}{a-3})$; если $a = 3$, то решений нет.

3) $(a-3)x \leq a-3$

Решение зависит от знака коэффициента $k = a-3$.

1. Если $a-3 > 0$, то есть $a > 3$. Делим обе части на положительное число $(a-3)$, знак неравенства сохраняется: $x \leq \frac{a-3}{a-3}$, что равносильно $x \leq 1$.

2. Если $a-3 < 0$, то есть $a < 3$. Делим обе части на отрицательное число $(a-3)$, знак неравенства меняется на противоположный: $x \geq \frac{a-3}{a-3}$, что равносильно $x \geq 1$.

3. Если $a-3 = 0$, то есть $a = 3$. Неравенство принимает вид $0 \cdot x \leq 0$, или $0 \leq 0$. Это верное числовое неравенство, которое выполняется при любом значении $x$.

Ответ: если $a > 3$, то $x \in (-\infty; 1]$; если $a < 3$, то $x \in [1; +\infty)$; если $a = 3$, то $x \in (-\infty; +\infty)$.

4) $(a-3)^2 x \geq 0$

Решение зависит от знака коэффициента $k = (a-3)^2$.

1. Если $a \neq 3$, то $(a-3)^2 > 0$. Делим обе части неравенства на положительное число $(a-3)^2$, знак неравенства сохраняется: $x \geq \frac{0}{(a-3)^2}$, что равносильно $x \geq 0$.

2. Если $a = 3$, то $(a-3)^2 = 0$. Неравенство принимает вид $0 \cdot x \geq 0$, или $0 \geq 0$. Это верное числовое неравенство, которое выполняется при любом значении $x$.

Ответ: если $a \neq 3$, то $x \in [0; +\infty)$; если $a = 3$, то $x \in (-\infty; +\infty)$.

5) $a-x \leq 2-ax$

Сначала преобразуем неравенство, собрав слагаемые с $x$ в одной части:
$ax - x \leq 2-a$
$x(a-1) \leq 2-a$

Решение зависит от знака коэффициента $k = a-1$.

1. Если $a-1 > 0$, то есть $a > 1$. Делим обе части на положительное число $(a-1)$: $x \leq \frac{2-a}{a-1}$.

2. Если $a-1 < 0$, то есть $a < 1$. Делим обе части на отрицательное число $(a-1)$ и меняем знак неравенства: $x \geq \frac{2-a}{a-1}$.

3. Если $a-1 = 0$, то есть $a = 1$. Неравенство принимает вид $0 \cdot x \leq 2-1$, или $0 \leq 1$. Это верное числовое неравенство, которое выполняется при любом значении $x$.

Ответ: если $a > 1$, то $x \in (-\infty; \frac{2-a}{a-1}]$; если $a < 1$, то $x \in [\frac{2-a}{a-1}; +\infty)$; если $a = 1$, то $x \in (-\infty; +\infty)$.

6) $4(x-a) > 8 + ax$

Преобразуем неравенство:
$4x - 4a > 8 + ax$
$4x - ax > 8 + 4a$
$x(4-a) > 4(a+2)$

Решение зависит от знака коэффициента $k = 4-a$.

1. Если $4-a > 0$, то есть $a < 4$. Делим на положительное число $(4-a)$: $x > \frac{4(a+2)}{4-a}$.

2. Если $4-a < 0$, то есть $a > 4$. Делим на отрицательное число $(4-a)$ и меняем знак неравенства: $x < \frac{4(a+2)}{4-a}$.

3. Если $4-a = 0$, то есть $a = 4$. Неравенство принимает вид $0 \cdot x > 4(4+2)$, или $0 > 24$. Это неверное числовое неравенство, следовательно, решений нет.

Ответ: если $a < 4$, то $x \in (\frac{4(a+2)}{4-a}; +\infty)$; если $a > 4$, то $x \in (-\infty; \frac{4(a+2)}{4-a})$; если $a = 4$, то решений нет.

7) $(a+1)x > a^2-1$

Разложим правую часть на множители: $(a+1)x > (a-1)(a+1)$.

Решение зависит от знака коэффициента $k = a+1$.

1. Если $a+1 > 0$, то есть $a > -1$. Делим на положительное число $(a+1)$: $x > a-1$.

2. Если $a+1 < 0$, то есть $a < -1$. Делим на отрицательное число $(a+1)$ и меняем знак неравенства: $x < a-1$.

3. Если $a+1 = 0$, то есть $a = -1$. Неравенство принимает вид $0 \cdot x > (-1)^2 - 1$, или $0 > 0$. Это неверное числовое неравенство, следовательно, решений нет.

Ответ: если $a > -1$, то $x \in (a-1; +\infty)$; если $a < -1$, то $x \in (-\infty; a-1)$; если $a = -1$, то решений нет.

8) $(a-5)x \leq a^2-25$

Разложим правую часть на множители: $(a-5)x \leq (a-5)(a+5)$.

Решение зависит от знака коэффициента $k = a-5$.

1. Если $a-5 > 0$, то есть $a > 5$. Делим на положительное число $(a-5)$: $x \leq a+5$.

2. Если $a-5 < 0$, то есть $a < 5$. Делим на отрицательное число $(a-5)$ и меняем знак неравенства: $x \geq a+5$.

3. Если $a-5 = 0$, то есть $a = 5$. Неравенство принимает вид $0 \cdot x \leq 5^2 - 25$, или $0 \leq 0$. Это верное числовое неравенство, которое выполняется при любом значении $x$.

Ответ: если $a > 5$, то $x \in (-\infty; a+5]$; если $a < 5$, то $x \in [a+5; +\infty)$; если $a = 5$, то $x \in (-\infty; +\infty)$.