Номер 36, страница 9 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

36. При каких значениях $b$ имеет единственный положительный корень уравнение:

1) $(b-2)x = b^2 - 4$;

2) $(4b^2 + 11b)x = b?$

1)

Рассмотрим уравнение $(b - 2)x = b^2 - 4$.

Это линейное уравнение вида $Ax = B$, где $A = b - 2$ и $B = b^2 - 4$.

Для того чтобы уравнение имело единственный корень, коэффициент при $x$ не должен быть равен нулю. То есть, $b - 2 \neq 0$, откуда $b \neq 2$.

При $b \neq 2$ корень уравнения равен:

$x = \frac{b^2 - 4}{b - 2}$

Разложим числитель по формуле разности квадратов:

$x = \frac{(b - 2)(b + 2)}{b - 2}$

Сократив дробь, получаем:

$x = b + 2$

По условию, этот корень должен быть положительным, то есть $x > 0$.

$b + 2 > 0$

$b > -2$

Таким образом, мы имеем два условия для $b$: $b \neq 2$ и $b > -2$.

Рассмотрим случай, когда $b = 2$. Уравнение принимает вид:

$(2 - 2)x = 2^2 - 4$

$0 \cdot x = 0$

Это равенство верно для любого значения $x$, то есть уравнение имеет бесконечно много корней, а не единственный положительный корень. Следовательно, значение $b=2$ не подходит.

Объединяя условия $b > -2$ и $b \neq 2$, получаем итоговое решение.

Ответ: $b \in (-2, 2) \cup (2, +\infty)$.

2)

Рассмотрим уравнение $(4b^2 + 11b)x = b$.

Это линейное уравнение вида $Ax = B$, где $A = 4b^2 + 11b$ и $B = b$.

Уравнение имеет единственный корень, если коэффициент при $x$ не равен нулю.

$4b^2 + 11b \neq 0$

$b(4b + 11) \neq 0$

Это означает, что $b \neq 0$ и $4b + 11 \neq 0$, то есть $b \neq -\frac{11}{4}$.

При этих условиях единственный корень уравнения равен:

$x = \frac{b}{4b^2 + 11b} = \frac{b}{b(4b + 11)}$

Так как $b \neq 0$, мы можем сократить дробь:

$x = \frac{1}{4b + 11}$

По условию, корень должен быть положительным, то есть $x > 0$.

$\frac{1}{4b + 11} > 0$

Дробь положительна, когда ее числитель и знаменатель одного знака. Так как числитель (1) положителен, знаменатель также должен быть положителен:

$4b + 11 > 0$

$4b > -11$

$b > -\frac{11}{4}$

Итак, мы имеем условия: $b > -\frac{11}{4}$ и $b \neq 0$.

Рассмотрим случаи, когда коэффициент при $x$ равен нулю.

Если $b = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$. Уравнение имеет бесконечное множество корней, что не соответствует условию.

Если $b = -\frac{11}{4}$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = -\frac{11}{4}$. Это равенство неверно, и уравнение не имеет корней.

Следовательно, оба этих случая не подходят.

Объединяя условия $b > -\frac{11}{4}$ и $b \neq 0$, получаем итоговое решение.

Ответ: $b \in (-\frac{11}{4}, 0) \cup (0, +\infty)$.