Номер 37, страница 9 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

37. При каких значениях $a$ не имеет корней уравнение:

1) $x^2 + 4x - a = 0;$

2) $(a-1)x^2 + (2a-3)x + a = 0;$

3) $(a-2)x^2 - 2(a-3)x + a + 1 = 0?$

1) Уравнение $x^2 + 4x - a = 0$ является квадратным. Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант отрицателен ($D < 0$).
Коэффициенты уравнения: $A=1, B=4, C=-a$.
Найдем дискриминант по формуле $D = B^2 - 4AC$:
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 16 + 4a$.
Решим неравенство $D < 0$:
$16 + 4a < 0$
$4a < -16$
$a < -4$
Ответ: $a \in (-\infty; -4)$.

2) Рассмотрим уравнение $(a-1)x^2 + (2a-3)x + a = 0$.
Необходимо рассмотреть два случая.
Случай 1: Уравнение является линейным. Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю.
$a-1 = 0 \implies a=1$.
Подставим $a=1$ в исходное уравнение:
$(1-1)x^2 + (2 \cdot 1 - 3)x + 1 = 0$
$0 \cdot x^2 - x + 1 = 0$
$-x = -1 \implies x=1$.
При $a=1$ уравнение имеет один корень, что не удовлетворяет условию задачи.
Случай 2: Уравнение является квадратным. Это происходит при $a-1 \neq 0$, то есть $a \neq 1$.
Уравнение не имеет корней, если его дискриминант $D < 0$.
$D = (2a-3)^2 - 4(a-1)a = (4a^2 - 12a + 9) - (4a^2 - 4a) = 4a^2 - 12a + 9 - 4a^2 + 4a = -8a + 9$.
Решим неравенство $D < 0$:
$-8a + 9 < 0$
$9 < 8a$
$a > \frac{9}{8}$.
Это решение удовлетворяет условию $a \neq 1$, так как $\frac{9}{8} > 1$.
Ответ: $a \in (\frac{9}{8}; +\infty)$.

3) Рассмотрим уравнение $(a-2)x^2 - 2(a-3)x + a + 1 = 0$.
Необходимо рассмотреть два случая.
Случай 1: Уравнение является линейным. Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю.
$a-2 = 0 \implies a=2$.
Подставим $a=2$ в исходное уравнение:
$(2-2)x^2 - 2(2-3)x + 2 + 1 = 0$
$0 \cdot x^2 - 2(-1)x + 3 = 0$
$2x + 3 = 0 \implies x = -\frac{3}{2}$.
При $a=2$ уравнение имеет один корень, что не удовлетворяет условию задачи.
Случай 2: Уравнение является квадратным. Это происходит при $a-2 \neq 0$, то есть $a \neq 2$.
Уравнение не имеет корней, если его дискриминант $D < 0$. Так как коэффициент при $x$ четный, удобнее использовать $D_1 = (\frac{B}{2})^2 - AC$.
$D_1 = (-(a-3))^2 - (a-2)(a+1) = (a^2 - 6a + 9) - (a^2 + a - 2a - 2) = (a^2 - 6a + 9) - (a^2 - a - 2) = -5a + 11$.
Решим неравенство $D_1 < 0$:
$-5a + 11 < 0$
$11 < 5a$
$a > \frac{11}{5}$.
Это решение удовлетворяет условию $a \neq 2$, так как $\frac{11}{5} = 2.2 > 2$.
Ответ: $a \in (\frac{11}{5}; +\infty)$.