Номер 68, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

68. Найдите область значений функции:

$f(x) = \sqrt{x + 1};$

$f(x) = \sqrt{x - 2};$

$g(x) = 3 - x^2;$

$f(x) = x^2 + 2;$

$\varphi(x) = 5 + |x|;$

$h(x) = \sqrt{x^2 + 4} - 5;$

$f(x) = \sqrt{-(x + 1)^2};$

$f(x) = \sqrt{x - 3} - \sqrt{3 - x}.$

1) $f(x) = \sqrt{x} + 1$

Область значений функции $y=\sqrt{x}$ — это промежуток $[0; +\infty)$. Это означает, что для любого $x$ из области определения выполняется неравенство $\sqrt{x} \ge 0$.

Чтобы найти область значений функции $f(x) = \sqrt{x} + 1$, прибавим 1 к обеим частям этого неравенства:

$\sqrt{x} + 1 \ge 0 + 1$

$f(x) \ge 1$

Следовательно, область значений функции — это все числа, большие или равные 1.

Ответ: $E(f) = [1; +\infty)$.

2) $f(x) = \sqrt{x - 2}$

Значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, поэтому $\sqrt{x-2} \ge 0$.

Наименьшее значение, равное 0, функция принимает, когда подкоренное выражение равно нулю, то есть при $x-2=0$, откуда $x=2$.

По мере увеличения $x$ значение функции также неограниченно увеличивается. Таким образом, функция может принимать любое неотрицательное значение.

Ответ: $E(f) = [0; +\infty)$.

3) $g(x) = 3 - x^2$

Выражение $x^2$ принимает любые неотрицательные значения, то есть $x^2 \ge 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $-x^2 \le 0$.

Теперь прибавим 3 к обеим частям неравенства:

$3 - x^2 \le 3$

$g(x) \le 3$

Следовательно, область значений функции — это все числа, меньшие или равные 3.

Ответ: $E(g) = (-\infty; 3]$.

4) $f(x) = x^2 + 2$

Выражение $x^2$ принимает любые неотрицательные значения: $x^2 \ge 0$.

Прибавим 2 к обеим частям неравенства:

$x^2 + 2 \ge 2$

$f(x) \ge 2$

Следовательно, область значений функции — это все числа, большие или равные 2.

Ответ: $E(f) = [2; +\infty)$.

5) $\phi(x) = 5 + |x|$

Модуль числа $|x|$ принимает любые неотрицательные значения: $|x| \ge 0$.

Прибавим 5 к обеим частям неравенства:

$5 + |x| \ge 5$

$\phi(x) \ge 5$

Следовательно, область значений функции — это все числа, большие или равные 5.

Ответ: $E(\phi) = [5; +\infty)$.

6) $h(x) = \sqrt{x^2 + 4} - 5$

Рассмотрим подкоренное выражение $x^2 + 4$. Так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 4 \ge 4$.

Поскольку функция $y=\sqrt{t}$ является возрастающей, из $x^2 + 4 \ge 4$ следует, что $\sqrt{x^2 + 4} \ge \sqrt{4}$.

$\sqrt{x^2 + 4} \ge 2$

Теперь вычтем 5 из обеих частей неравенства:

$\sqrt{x^2 + 4} - 5 \ge 2 - 5$

$h(x) \ge -3$

Следовательно, область значений функции — это все числа, большие или равные -3.

Ответ: $E(h) = [-3; +\infty)$.

7) $f(x) = \sqrt{-(x+1)^2}$

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-(x+1)^2 \ge 0$.

Выражение $(x+1)^2$ всегда неотрицательно: $(x+1)^2 \ge 0$.

Следовательно, выражение $-(x+1)^2$ всегда неположительно: $-(x+1)^2 \le 0$.

Единственное значение, удовлетворяющее одновременно условиям $ \ge 0$ и $\le 0$, — это 0.

Значит, $-(x+1)^2 = 0$, что возможно только при $x+1=0$, то есть $x=-1$.

Таким образом, область определения функции состоит из одной точки $x=-1$.

Найдем значение функции в этой точке: $f(-1) = \sqrt{-(-1+1)^2} = \sqrt{0} = 0$.

Следовательно, область значений функции также состоит из одного числа.

Ответ: $E(f) = \{0\}$.

8) $f(x) = \sqrt{x-3} - \sqrt{3-x}$

Найдем область определения функции. Для этого необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательными. Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x - 3 \ge 0 \\ 3 - x \ge 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x \ge 3$. Из второго неравенства получаем $x \le 3$.

Единственное число, которое удовлетворяет обоим условиям, — это $x=3$.

Таким образом, область определения функции состоит из одной точки $x=3$.

Найдем значение функции в этой точке:

$f(3) = \sqrt{3-3} - \sqrt{3-3} = \sqrt{0} - \sqrt{0} = 0$.

Следовательно, область значений функции состоит из одного числа.

Ответ: $E(f) = \{0\}$.