Номер 70, страница 15 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

70. Найдите, не выполняя построения, точки пересечения с осями координат графика функции:

1) $f(x) = \frac{1}{3}x - 8;$

2) $g(x) = \frac{5 - 3x}{4x + 1};$

3) $h(x) = x^2 - 8x - 9;$

4) $g(x) = \frac{x^2 - 3}{x^2 + 5}.$

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, нужно выполнить следующие действия:
- Для нахождения точки пересечения с осью ординат (осью Oy), нужно подставить значение $x = 0$ в уравнение функции и найти соответствующее значение $y$. Точка будет иметь координаты $(0, y)$.
- Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс (осью Ox), нужно подставить значение $y = 0$ в уравнение функции (то есть, приравнять функцию к нулю) и решить полученное уравнение относительно $x$. Точки будут иметь координаты $(x, 0)$.

1) $f(x) = \frac{1}{3}x - 8$

Пересечение с осью Oy (x=0):
$y = \frac{1}{3} \cdot 0 - 8 = -8$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, -8)$.

Пересечение с осью Ox (y=0):
$\frac{1}{3}x - 8 = 0$
$\frac{1}{3}x = 8$
$x = 24$.
Точка пересечения с осью Ox: $(24, 0)$.
Ответ: $(0, -8)$ и $(24, 0)$.

2) $g(x) = \frac{5 - 3x}{4x + 1}$

Пересечение с осью Oy (x=0):
$y = \frac{5 - 3 \cdot 0}{4 \cdot 0 + 1} = \frac{5}{1} = 5$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, 5)$.

Пересечение с осью Ox (y=0):
$\frac{5 - 3x}{4x + 1} = 0$.
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$5 - 3x = 0 \Rightarrow 3x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{3}$.
Проверка знаменателя: $4(\frac{5}{3}) + 1 = \frac{20}{3} + 1 = \frac{23}{3} \neq 0$. Условие выполняется.
Точка пересечения с осью Ox: $(\frac{5}{3}, 0)$.
Ответ: $(0, 5)$ и $(\frac{5}{3}, 0)$.

3) $h(x) = x^2 - 8x - 9$

Пересечение с осью Oy (x=0):
$y = 0^2 - 8 \cdot 0 - 9 = -9$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, -9)$.

Пересечение с осью Ox (y=0):
$x^2 - 8x - 9 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{100}}{2} = \frac{8 + 10}{2} = 9$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{100}}{2} = \frac{8 - 10}{2} = -1$.
Точки пересечения с осью Ox: $(9, 0)$ и $(-1, 0)$.
Ответ: $(0, -9)$, $(9, 0)$ и $(-1, 0)$.

4) $g(x) = \frac{x^2 - 3}{x^2 + 5}$

Пересечение с осью Oy (x=0):
$y = \frac{0^2 - 3}{0^2 + 5} = -\frac{3}{5}$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, -\frac{3}{5})$.

Пересечение с осью Ox (y=0):
$\frac{x^2 - 3}{x^2 + 5} = 0$.
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{3}$.
Знаменатель $x^2 + 5$ всегда положителен, так как $x^2 \ge 0$, поэтому $x^2 + 5 \ge 5$.
Точки пересечения с осью Ox: $(\sqrt{3}, 0)$ и $(-\sqrt{3}, 0)$.
Ответ: $(0, -\frac{3}{5})$, $(\sqrt{3}, 0)$ и $(-\sqrt{3}, 0)$.