Страница 15 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

70. Найдите, не выполняя построения, точки пересечения с осями координат графика функции:

1) $f(x) = \frac{1}{3}x - 8;$

2) $g(x) = \frac{5 - 3x}{4x + 1};$

3) $h(x) = x^2 - 8x - 9;$

4) $g(x) = \frac{x^2 - 3}{x^2 + 5}.$

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, нужно выполнить следующие действия:
- Для нахождения точки пересечения с осью ординат (осью Oy), нужно подставить значение $x = 0$ в уравнение функции и найти соответствующее значение $y$. Точка будет иметь координаты $(0, y)$.
- Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс (осью Ox), нужно подставить значение $y = 0$ в уравнение функции (то есть, приравнять функцию к нулю) и решить полученное уравнение относительно $x$. Точки будут иметь координаты $(x, 0)$.

1) $f(x) = \frac{1}{3}x - 8$

Пересечение с осью Oy (x=0):
$y = \frac{1}{3} \cdot 0 - 8 = -8$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, -8)$.

Пересечение с осью Ox (y=0):
$\frac{1}{3}x - 8 = 0$
$\frac{1}{3}x = 8$
$x = 24$.
Точка пересечения с осью Ox: $(24, 0)$.
Ответ: $(0, -8)$ и $(24, 0)$.

2) $g(x) = \frac{5 - 3x}{4x + 1}$

Пересечение с осью Oy (x=0):
$y = \frac{5 - 3 \cdot 0}{4 \cdot 0 + 1} = \frac{5}{1} = 5$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, 5)$.

Пересечение с осью Ox (y=0):
$\frac{5 - 3x}{4x + 1} = 0$.
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$5 - 3x = 0 \Rightarrow 3x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{3}$.
Проверка знаменателя: $4(\frac{5}{3}) + 1 = \frac{20}{3} + 1 = \frac{23}{3} \neq 0$. Условие выполняется.
Точка пересечения с осью Ox: $(\frac{5}{3}, 0)$.
Ответ: $(0, 5)$ и $(\frac{5}{3}, 0)$.

3) $h(x) = x^2 - 8x - 9$

Пересечение с осью Oy (x=0):
$y = 0^2 - 8 \cdot 0 - 9 = -9$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, -9)$.

Пересечение с осью Ox (y=0):
$x^2 - 8x - 9 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{100}}{2} = \frac{8 + 10}{2} = 9$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{100}}{2} = \frac{8 - 10}{2} = -1$.
Точки пересечения с осью Ox: $(9, 0)$ и $(-1, 0)$.
Ответ: $(0, -9)$, $(9, 0)$ и $(-1, 0)$.

4) $g(x) = \frac{x^2 - 3}{x^2 + 5}$

Пересечение с осью Oy (x=0):
$y = \frac{0^2 - 3}{0^2 + 5} = -\frac{3}{5}$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, -\frac{3}{5})$.

Пересечение с осью Ox (y=0):
$\frac{x^2 - 3}{x^2 + 5} = 0$.
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{3}$.
Знаменатель $x^2 + 5$ всегда положителен, так как $x^2 \ge 0$, поэтому $x^2 + 5 \ge 5$.
Точки пересечения с осью Ox: $(\sqrt{3}, 0)$ и $(-\sqrt{3}, 0)$.
Ответ: $(0, -\frac{3}{5})$, $(\sqrt{3}, 0)$ и $(-\sqrt{3}, 0)$.

71. Постройте график функции:

1) $f(x) = \begin{cases} \frac{6}{x}, & \text{если } x \le -3, \\ \frac{2}{3}x, & \text{если } -3 < x < 3, \\ \frac{6}{x}, & \text{если } x \ge 3; \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} -2x - 3, & \text{если } x \le -4, \\ x + 1, & \text{если } -4 < x \le 2, \\ 4, & \text{если } x > 2. \end{cases}$

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения ее графика рассмотрим каждый из трех промежутков отдельно.

На промежутке $x \le -3$ имеем функцию $f(x) = \frac{6}{x}$. Это ветвь гиперболы. Найдем координаты нескольких точек для построения:

• При $x = -3, y = \frac{6}{-3} = -2$. Конечная точка $(-3, -2)$ принадлежит графику (закрашенная).
• При $x = -6, y = \frac{6}{-6} = -1$.

На промежутке $-3 < x < 3$ имеем функцию $f(x) = \frac{2}{3}x$. Это линейная функция, ее график — отрезок прямой, проходящей через начало координат. Найдем координаты граничных точек отрезка:

• При $x = -3, y = \frac{2}{3}(-3) = -2$. Точка $(-3, -2)$ не входит в данный участок (является "выколотой"), но совпадает с конечной точкой предыдущего участка.
• При $x = 3, y = \frac{2}{3}(3) = 2$. Точка $(3, 2)$ не входит в данный участок (является "выколотой").

На промежутке $x \ge 3$ имеем функцию $f(x) = \frac{6}{x}$. Это ветвь гиперболы. Найдем координаты нескольких точек:

• При $x = 3, y = \frac{6}{3} = 2$. Начальная точка $(3, 2)$ принадлежит графику (закрашенная) и совпадает с "выколотой" конечной точкой предыдущего участка.
• При $x = 6, y = \frac{6}{6} = 1$.

Объединяя все три части, получаем единый график. Поскольку в точках "стыка" $x = -3$ и $x = 3$ значения функций на границах участков совпадают, график является непрерывной линией.

Ответ: График функции состоит из трех частей: ветви гиперболы $y=6/x$ на луче $(-\infty, -3]$, отрезка прямой $y=\frac{2}{3}x$ на интервале $(-3, 3)$ и ветви гиперболы $y=6/x$ на луче $[3, +\infty)$.

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения ее графика рассмотрим каждый из трех промежутков отдельно.

На промежутке $x \le -4$ имеем функцию $f(x) = -2x - 3$. Это линейная функция, ее график — луч. Найдем координаты начальной точки луча и еще одной точки для построения:

• При $x = -4, y = -2(-4) - 3 = 8 - 3 = 5$. Начальная точка $(-4, 5)$ принадлежит графику (закрашенная).
• При $x = -5, y = -2(-5) - 3 = 10 - 3 = 7$.

На промежутке $-4 < x \le 2$ имеем функцию $f(x) = x + 1$. Это линейная функция, ее график — отрезок. Найдем координаты его концов:

• При $x = -4, y = -4 + 1 = -3$. Начальная точка $(-4, -3)$ не принадлежит графику ("выколотая").
• При $x = 2, y = 2 + 1 = 3$. Конечная точка $(2, 3)$ принадлежит графику (закрашенная).

На промежутке $x > 2$ имеем функцию $f(x) = 4$. Это постоянная функция, ее график — горизонтальный луч. Найдем координаты его начальной точки:

• При $x = 2, y = 4$. Начальная точка $(2, 4)$ не принадлежит графику ("выколотая").

Объединяя все три части, получаем график функции. В точках $x=-4$ и $x=2$ функция имеет разрывы (скачки).

Ответ: График функции состоит из трех частей: луча $y=-2x-3$ с началом в точке $(-4, 5)$ для $x \le -4$; отрезка $y=x+1$ с "выколотым" началом в $(-4, -3)$ и закрашенным концом в $(2, 3)$ для $-4 < x \le 2$; и горизонтального луча $y=4$ с "выколотым" началом в $(2, 4)$ для $x > 2$.

72. Найдите область определения и постройте график функции:

1) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$;

2) $f(x) = \frac{x^2 - 6x + 9}{3 - x}$;

3) $f(x) = \frac{4x - 20}{x^2 - 5x}$;

4) $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 1}$.

1) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$

Найдем область определения функции. Так как функция является дробно-рациональной, знаменатель дроби не может быть равен нулю.
$x + 2 \neq 0$
$x \neq -2$
Таким образом, область определения функции: $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Упростим выражение для функции, разложив числитель на множители по формуле разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$f(x) = \frac{x^2 - 2^2}{x + 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2}$.
При $x \neq -2$ можно сократить дробь на $(x+2)$:
$f(x) = x - 2$.

Графиком функции является прямая $y = x - 2$ с "выколотой" точкой, абсцисса которой равна -2. Найдем ординату этой точки:
$y(-2) = -2 - 2 = -4$.
Следовательно, точка с координатами $(-2; -4)$ не принадлежит графику функции.
Для построения прямой $y = x - 2$ найдем координаты двух точек:
При $x = 0, y = -2$. Точка $(0; -2)$.
При $x = 2, y = 0$. Точка $(2; 0)$.
График функции — это прямая, проходящая через точки $(0; -2)$ и $(2; 0)$, с выколотой точкой $(-2; -4)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$. График функции — прямая $y = x - 2$ с выколотой точкой $(-2; -4)$.

2) $f(x) = \frac{x^2 - 6x + 9}{3 - x}$

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
$3 - x \neq 0$
$x \neq 3$
Область определения: $D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

Упростим выражение для функции. Числитель является полным квадратом: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$.
$f(x) = \frac{(x - 3)^2}{3 - x} = \frac{(x - 3)^2}{-(x - 3)}$.
При $x \neq 3$ сократим дробь на $(x-3)$:
$f(x) = \frac{x - 3}{-1} = -(x - 3) = -x + 3$.

Графиком функции является прямая $y = -x + 3$ с выколотой точкой при $x=3$. Найдем ординату этой точки:
$y(3) = -3 + 3 = 0$.
Выколотая точка имеет координаты $(3; 0)$.
Для построения прямой $y = -x + 3$ найдем координаты двух точек:
При $x = 0, y = 3$. Точка $(0; 3)$.
При $x = 1, y = -1 + 3 = 2$. Точка $(1; 2)$.
График функции — это прямая, проходящая через точки $(0; 3)$ и $(1; 2)$, с выколотой точкой $(3; 0)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$. График функции — прямая $y = -x + 3$ с выколотой точкой $(3; 0)$.

3) $f(x) = \frac{4x - 20}{x^2 - 5x}$

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
$x^2 - 5x \neq 0$
$x(x - 5) \neq 0$
Это означает, что $x \neq 0$ и $x \neq 5$.
Область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 5) \cup (5; +\infty)$.

Упростим выражение для функции, разложив числитель и знаменатель на множители:
$f(x) = \frac{4(x - 5)}{x(x - 5)}$.
При $x \neq 5$ (и $x \neq 0$) сократим дробь на $(x-5)$:
$f(x) = \frac{4}{x}$.

Графиком функции является гипербола $y = \frac{4}{x}$ с выколотой точкой, так как исходная функция не определена при $x=5$. Найдем ординату этой точки:
$y(5) = \frac{4}{5} = 0.8$.
Выколотая точка имеет координаты $(5; 0.8)$.
Гипербола $y = \frac{4}{x}$ расположена в I и III координатных четвертях. Оси координат являются ее асимптотами.
График функции — это гипербола $y = \frac{4}{x}$ с выколотой точкой $(5; 0.8)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 5) \cup (5; +\infty)$. График функции — гипербола $y = \frac{4}{x}$ с выколотой точкой $(5; 0.8)$.

4) $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 1}$

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
$x^2 - 1 \neq 0$
$(x - 1)(x + 1) \neq 0$
Это означает, что $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Область определения: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

Упростим выражение для функции. Так как числитель и знаменатель равны, при $x \neq 1$ и $x \neq -1$ их частное равно 1.
$f(x) = 1$.

Графиком функции является прямая $y = 1$ с двумя выколотыми точками, так как исходная функция не определена при $x = -1$ и $x = 1$.
Ордината обеих точек равна 1.
Выколотые точки имеют координаты $(-1; 1)$ и $(1; 1)$.
График функции — это горизонтальная прямая $y=1$ с выколотыми точками $(-1; 1)$ и $(1; 1)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$. График функции — прямая $y = 1$ с выколотыми точками $(-1; 1)$ и $(1; 1)$.