Страница 14 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

67. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = 4x - 13;$

2) $f(x) = \frac{7}{x+6};$

3) $f(x) = \frac{x+10}{8};$

4) $f(x) = \frac{x+4}{x-5};$

5) $f(x) = \sqrt{x-5};$

6) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{4-x}};$

7) $f(x) = \frac{9}{x^2-5};$

8) $f(x) = \frac{14}{x^2+4};$

9) $f(x) = \frac{7x+13}{x^2-7x};$

10)

$f(x) = \frac{x}{|x|-3};$

11)

$f(x) = \frac{9}{|x|+5};$

12)

$f(x) = \frac{13}{|x|+x^2};$

13)

$f(x) = \sqrt{x+5} + \sqrt{3-x};$

14)

$f(x) = \sqrt{2-x} - \frac{x-3}{x+5};$

15)

$f(x) = \sqrt{x-2} + \sqrt{2-x};$

16)

$f(x) = \sqrt{x-9} + \frac{6}{\sqrt{8-x}};$

17)

$f(x) = \sqrt{x+2} + \frac{x-7}{x^2-4};$

18)

$f(x) = \frac{\sqrt{x-6}}{\sqrt{x+3}} + \frac{5x-4}{x^2-8x+7}.$

1) Данная функция $f(x) = 4x - 13$ является линейной (многочленом первой степени). Область определения любого многочлена – все действительные числа, так как для любого значения $x$ можно вычислить значение функции. Ограничений на $x$ нет.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

2) Данная функция $f(x) = \frac{7}{x+6}$ является дробно-рациональной. Область определения такой функции – все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:
$x + 6 = 0$
$x = -6$
Следовательно, $x$ не может быть равен -6.

Ответ: $(-\infty; -6) \cup (-6; +\infty)$.

3) Данная функция $f(x) = \frac{x+10}{8}$ является линейной, так как ее можно представить в виде $f(x) = \frac{1}{8}x + \frac{10}{8}$. Знаменатель является константой (8) и не равен нулю. Ограничений на $x$ нет.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

4) Данная функция $f(x) = \frac{x+4}{x-5}$ является дробно-рациональной. Знаменатель не должен быть равен нулю.
$x - 5 \neq 0$
$x \neq 5$

Ответ: $(-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$.

5) Данная функция $f(x) = \sqrt{x-5}$ содержит квадратный корень. Выражение под знаком корня (подкоренное выражение) должно быть неотрицательным.
$x - 5 \geq 0$
$x \geq 5$

Ответ: $[5; +\infty)$.

6) В данной функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{4-x}}$ квадратный корень находится в знаменателе. Это означает, что подкоренное выражение должно быть строго положительным (неотрицательным из-за корня и не равным нулю из-за знаменателя).
$4 - x > 0$
$-x > -4$
$x < 4$

Ответ: $(-\infty; 4)$.

7) Данная функция $f(x) = \frac{9}{x^2-5}$ является дробно-рациональной. Знаменатель не должен быть равен нулю.
$x^2 - 5 \neq 0$
$x^2 \neq 5$
$x \neq \sqrt{5}$ и $x \neq -\sqrt{5}$

Ответ: $(-\infty; -\sqrt{5}) \cup (-\sqrt{5}; \sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; +\infty)$.

8) Данная функция $f(x) = \frac{14}{x^2+4}$ является дробно-рациональной. Знаменатель не должен быть равен нулю.
$x^2 + 4 \neq 0$
$x^2 \neq -4$
Квадрат любого действительного числа $x$ неотрицателен ($x^2 \geq 0$), поэтому $x^2 + 4$ всегда будет больше или равно 4. Знаменатель никогда не равен нулю. Ограничений на $x$ нет.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

9) Данная функция $f(x) = \frac{7x+13}{x^2-7x}$ является дробно-рациональной. Знаменатель не должен быть равен нулю.
$x^2 - 7x \neq 0$
$x(x - 7) \neq 0$
Это условие выполняется, когда ни один из множителей не равен нулю:
$x \neq 0$ и $x - 7 \neq 0$
$x \neq 0$ и $x \neq 7$

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (0; 7) \cup (7; +\infty)$.

10) Данная функция $f(x) = \frac{x}{|x|-3}$ является дробно-рациональной. Знаменатель не должен быть равен нулю.
$|x| - 3 \neq 0$
$|x| \neq 3$
Это означает, что $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Ответ: $(-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

11) Данная функция $f(x) = \frac{9}{|x|+5}$ является дробно-рациональной. Знаменатель не должен быть равен нулю.
$|x| + 5 \neq 0$
$|x| \neq -5$
Модуль любого действительного числа неотрицателен ($|x| \geq 0$), поэтому $|x| + 5$ всегда будет больше или равно 5. Знаменатель никогда не равен нулю. Ограничений на $x$ нет.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

12) Данная функция $f(x) = \frac{13}{|x|+x^2}$ является дробно-рациональной. Знаменатель не должен быть равен нулю.
$|x| + x^2 \neq 0$
Так как $|x| \geq 0$ и $x^2 \geq 0$, их сумма равна нулю только тогда, когда оба слагаемых равны нулю одновременно.
$|x| = 0 \implies x = 0$
$x^2 = 0 \implies x = 0$
Таким образом, знаменатель равен нулю только при $x = 0$. Следовательно, $x \neq 0$.

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

13) Функция $f(x) = \sqrt{x+5} + \sqrt{3-x}$ представляет собой сумму двух квадратных корней. Область определения – это пересечение областей определения каждого слагаемого. Подкоренные выражения должны быть неотрицательными.
$\begin{cases} x+5 \geq 0 \\ 3-x \geq 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x \geq -5 \\ x \leq 3 \end{cases}$
Решением системы является промежуток $-5 \leq x \leq 3$.

Ответ: $[-5; 3]$.

14) Функция $f(x) = \sqrt{2-x} - \frac{x-3}{x+5}$ является разностью радикала и дроби. Область определения – это пересечение областей определения уменьшаемого и вычитаемого.
1. Для $\sqrt{2-x}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $2 - x \geq 0 \implies x \leq 2$.
2. Для дроби $\frac{x-3}{x+5}$ знаменатель не должен быть равен нулю: $x + 5 \neq 0 \implies x \neq -5$.
Объединяем условия: $x \leq 2$ и $x \neq -5$.

Ответ: $(-\infty; -5) \cup (-5; 2]$.

15) Функция $f(x) = \sqrt{x-2} + \sqrt{2-x}$ представляет собой сумму двух квадратных корней. Подкоренные выражения должны быть неотрицательными.
$\begin{cases} x-2 \geq 0 \\ 2-x \geq 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x \geq 2 \\ x \leq 2 \end{cases}$
Единственное число, удовлетворяющее обоим условиям, это $x = 2$.

Ответ: $\{2\}$.

16) Функция $f(x) = \sqrt{x-9} + \frac{6}{\sqrt{8-x}}$ является суммой двух выражений с ограничениями. Область определения – это пересечение их областей определения.
1. Для $\sqrt{x-9}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x - 9 \geq 0 \implies x \geq 9$.
2. Для $\frac{6}{\sqrt{8-x}}$ подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным: $8 - x > 0 \implies x < 8$.
Необходимо найти числа, которые одновременно удовлетворяют условиям $x \geq 9$ и $x < 8$. Таких чисел не существует. Пересечение множеств $[9; +\infty)$ и $(-\infty; 8)$ является пустым множеством.

Ответ: $\emptyset$.

17) Функция $f(x) = \sqrt{x+2} + \frac{x-7}{x^2-4}$ является суммой радикала и дроби. Область определения – пересечение их областей определения.
1. Для $\sqrt{x+2}$: $x+2 \geq 0 \implies x \geq -2$.
2. Для дроби $\frac{x-7}{x^2-4}$: знаменатель не равен нулю.
$x^2 - 4 \neq 0 \implies (x-2)(x+2) \neq 0 \implies x \neq 2$ и $x \neq -2$.
Объединяем условия: $x \geq -2$, $x \neq -2$ и $x \neq 2$. Это равносильно системе: $x > -2$ и $x \neq 2$.

Ответ: $(-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

18) Функция $f(x) = \frac{\sqrt{x-6}}{\sqrt{x+3}} + \frac{5x-4}{x^2-8x+7}$ является суммой двух выражений. Область определения – пересечение их областей определения.
1. Для первого слагаемого $\frac{\sqrt{x-6}}{\sqrt{x+3}}$:
Подкоренное выражение в числителе должно быть неотрицательным: $x - 6 \geq 0 \implies x \geq 6$.
Подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным: $x + 3 > 0 \implies x > -3$.
Пересечение этих условий дает $x \geq 6$.
2. Для второго слагаемого $\frac{5x-4}{x^2-8x+7}$:
Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 - 8x + 7 \neq 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 8x + 7 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 7$.
Значит, $x \neq 1$ и $x \neq 7$.
Теперь найдем пересечение всех условий: $x \geq 6$, $x \neq 1$ и $x \neq 7$.
Условие $x \neq 1$ уже выполняется при $x \geq 6$. Остается исключить $x=7$ из промежутка $[6; +\infty)$.

Ответ: $[6; 7) \cup (7; +\infty)$.

68. Найдите область значений функции:

$f(x) = \sqrt{x + 1};$

$f(x) = \sqrt{x - 2};$

$g(x) = 3 - x^2;$

$f(x) = x^2 + 2;$

$\varphi(x) = 5 + |x|;$

$h(x) = \sqrt{x^2 + 4} - 5;$

$f(x) = \sqrt{-(x + 1)^2};$

$f(x) = \sqrt{x - 3} - \sqrt{3 - x}.$

1) $f(x) = \sqrt{x} + 1$

Область значений функции $y=\sqrt{x}$ — это промежуток $[0; +\infty)$. Это означает, что для любого $x$ из области определения выполняется неравенство $\sqrt{x} \ge 0$.

Чтобы найти область значений функции $f(x) = \sqrt{x} + 1$, прибавим 1 к обеим частям этого неравенства:

$\sqrt{x} + 1 \ge 0 + 1$

$f(x) \ge 1$

Следовательно, область значений функции — это все числа, большие или равные 1.

Ответ: $E(f) = [1; +\infty)$.

2) $f(x) = \sqrt{x - 2}$

Значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, поэтому $\sqrt{x-2} \ge 0$.

Наименьшее значение, равное 0, функция принимает, когда подкоренное выражение равно нулю, то есть при $x-2=0$, откуда $x=2$.

По мере увеличения $x$ значение функции также неограниченно увеличивается. Таким образом, функция может принимать любое неотрицательное значение.

Ответ: $E(f) = [0; +\infty)$.

3) $g(x) = 3 - x^2$

Выражение $x^2$ принимает любые неотрицательные значения, то есть $x^2 \ge 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $-x^2 \le 0$.

Теперь прибавим 3 к обеим частям неравенства:

$3 - x^2 \le 3$

$g(x) \le 3$

Следовательно, область значений функции — это все числа, меньшие или равные 3.

Ответ: $E(g) = (-\infty; 3]$.

4) $f(x) = x^2 + 2$

Выражение $x^2$ принимает любые неотрицательные значения: $x^2 \ge 0$.

Прибавим 2 к обеим частям неравенства:

$x^2 + 2 \ge 2$

$f(x) \ge 2$

Следовательно, область значений функции — это все числа, большие или равные 2.

Ответ: $E(f) = [2; +\infty)$.

5) $\phi(x) = 5 + |x|$

Модуль числа $|x|$ принимает любые неотрицательные значения: $|x| \ge 0$.

Прибавим 5 к обеим частям неравенства:

$5 + |x| \ge 5$

$\phi(x) \ge 5$

Следовательно, область значений функции — это все числа, большие или равные 5.

Ответ: $E(\phi) = [5; +\infty)$.

6) $h(x) = \sqrt{x^2 + 4} - 5$

Рассмотрим подкоренное выражение $x^2 + 4$. Так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 4 \ge 4$.

Поскольку функция $y=\sqrt{t}$ является возрастающей, из $x^2 + 4 \ge 4$ следует, что $\sqrt{x^2 + 4} \ge \sqrt{4}$.

$\sqrt{x^2 + 4} \ge 2$

Теперь вычтем 5 из обеих частей неравенства:

$\sqrt{x^2 + 4} - 5 \ge 2 - 5$

$h(x) \ge -3$

Следовательно, область значений функции — это все числа, большие или равные -3.

Ответ: $E(h) = [-3; +\infty)$.

7) $f(x) = \sqrt{-(x+1)^2}$

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-(x+1)^2 \ge 0$.

Выражение $(x+1)^2$ всегда неотрицательно: $(x+1)^2 \ge 0$.

Следовательно, выражение $-(x+1)^2$ всегда неположительно: $-(x+1)^2 \le 0$.

Единственное значение, удовлетворяющее одновременно условиям $ \ge 0$ и $\le 0$, — это 0.

Значит, $-(x+1)^2 = 0$, что возможно только при $x+1=0$, то есть $x=-1$.

Таким образом, область определения функции состоит из одной точки $x=-1$.

Найдем значение функции в этой точке: $f(-1) = \sqrt{-(-1+1)^2} = \sqrt{0} = 0$.

Следовательно, область значений функции также состоит из одного числа.

Ответ: $E(f) = \{0\}$.

8) $f(x) = \sqrt{x-3} - \sqrt{3-x}$

Найдем область определения функции. Для этого необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательными. Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x - 3 \ge 0 \\ 3 - x \ge 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x \ge 3$. Из второго неравенства получаем $x \le 3$.

Единственное число, которое удовлетворяет обоим условиям, — это $x=3$.

Таким образом, область определения функции состоит из одной точки $x=3$.

Найдем значение функции в этой точке:

$f(3) = \sqrt{3-3} - \sqrt{3-3} = \sqrt{0} - \sqrt{0} = 0$.

Следовательно, область значений функции состоит из одного числа.

Ответ: $E(f) = \{0\}$.

69. Постройте график функции:

1) $f(x) = 6 - \frac{1}{4}x;$

2) $f(x) = -2x;$

3) $f(x) = 4;$

4) $f(x) = -\frac{8}{x}.$

1)

Данная функция $f(x) = 6 - \frac{1}{4}x$ является линейной функцией вида $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = -\frac{1}{4}$ и свободный член $b = 6$. Графиком линейной функции является прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой.

Удобнее всего найти точки пересечения графика с осями координат.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат ($Oy$), подставив $x=0$ в уравнение функции:
$y = 6 - \frac{1}{4} \cdot 0 = 6$.
Таким образом, первая точка имеет координаты $(0, 6)$.

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс ($Ox$), подставив $y=0$ (или $f(x)=0$):
$0 = 6 - \frac{1}{4}x$
$\frac{1}{4}x = 6$
$x = 6 \cdot 4 = 24$.
Таким образом, вторая точка имеет координаты $(24, 0)$.

Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости точки $(0, 6)$ и $(24, 0)$ и провести через них прямую.

Ответ: Графиком функции является прямая линия, проходящая через точки $(0, 6)$ и $(24, 0)$.

2)

Данная функция $f(x) = -2x$ является линейной функцией вида $y = kx$. Такая функция называется прямой пропорциональностью, и ее график — это прямая линия, проходящая через начало координат, то есть через точку $(0, 0)$. Коэффициент пропорциональности $k = -2$.

Поскольку одна точка $(0, 0)$ нам уже известна, для построения прямой достаточно найти еще одну точку. Возьмем произвольное значение $x$, отличное от нуля, например, $x = 1$.

Найдем соответствующее значение $y$:
$y = -2 \cdot 1 = -2$.
Получили вторую точку с координатами $(1, -2)$.

Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости точки $(0, 0)$ и $(1, -2)$ и провести через них прямую.

Ответ: Графиком функции является прямая линия, проходящая через начало координат и точку $(1, -2)$.

3)

Данная функция $f(x) = 4$ является постоянной функцией (константой). Это означает, что для любого значения аргумента $x$ значение функции $y$ всегда будет равно 4.

Графиком такой функции является прямая линия, параллельная оси абсцисс ($Ox$) и проходящая через точку $(0, 4)$ на оси ординат ($Oy$).

Ответ: Графиком функции является горизонтальная прямая $y=4$, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, 4)$.

4)

Данная функция $f(x) = -\frac{8}{x}$ является обратной пропорциональностью вида $y = \frac{k}{x}$, где коэффициент $k = -8$. Графиком такой функции является гипербола.

Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$. График не пересекает ось ординат ($Oy$). Оси координат ($Ox$ и $Oy$) являются асимптотами для графика.

Поскольку коэффициент $k = -8 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.

Для построения графика составим таблицу значений для нескольких точек на каждой ветви.

Ветвь в IV четверти (где $x > 0$):

• Если $x = 1$, то $y = -\frac{8}{1} = -8$. Точка $(1, -8)$.
• Если $x = 2$, то $y = -\frac{8}{2} = -4$. Точка $(2, -4)$.
• Если $x = 4$, то $y = -\frac{8}{4} = -2$. Точка $(4, -2)$.
• Если $x = 8$, то $y = -\frac{8}{8} = -1$. Точка $(8, -1)$.

Ветвь во II четверти (где $x < 0$):

• Если $x = -1$, то $y = -\frac{8}{-1} = 8$. Точка $(-1, 8)$.
• Если $x = -2$, то $y = -\frac{8}{-2} = 4$. Точка $(-2, 4)$.
• Если $x = -4$, то $y = -\frac{8}{-4} = 2$. Точка $(-4, 2)$.
• Если $x = -8$, то $y = -\frac{8}{-8} = 1$. Точка $(-8, 1)$.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными линиями, получим две ветви гиперболы, которые приближаются к осям координат, но не пересекают их.

Ответ: Графиком функции является гипербола с ветвями во второй и четвертой координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами графика. График проходит, например, через точки $(2, -4)$, $(4, -2)$, $(-2, 4)$, $(-4, 2)$.