Страница 16 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

73. На рисунке 2 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на множестве действительных чисел. Используя график, найдите:

1) нули функции;

2) при каких значениях аргумента значения функции положительные;

3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции.

Рис. 2

а

б

в

График а

1) нули функции;
Нулями функции являются значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Это точки, в которых график функции пересекает ось абсцисс ($Ox$). На данном графике это точки $x = -2$ и $x = 2.5$.
Ответ: $x_1 = -2$, $x_2 = 2.5$.

2) при каких значениях аргумента значения функции положительные;
Значения функции положительны ($y > 0$) там, где ее график находится выше оси $Ox$. Для данного графика это интервал между нулями функции, то есть от -2 до 2.5.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-2; 2.5)$.

3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции.
Функция возрастает на тех промежутках, где её график направлен вверх при движении слева направо, и убывает, где график направлен вниз. Точки, в которых направление движения меняется, называются точками экстремума.
Промежутки возрастания: по графику видно, что функция возрастает на промежутках от минус бесконечности до точки локального максимума $x = -1$ и от точки локального минимума $x = 0.5$ до точки локального максимума $x \approx 1.75$.
Промежутки убывания: функция убывает от точки локального максимума $x = -1$ до точки локального минимума $x = 0.5$ и от точки локального максимума $x \approx 1.75$ до плюс бесконечности.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0.5; 1.75]$; функция убывает на промежутках $[-1; 0.5]$ и $[1.75; +\infty)$.

График б

1) нули функции;
График пересекает ось $Ox$ в точках $x = 0$ и $x = 4$.
Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$.

2) при каких значениях аргумента значения функции положительные;
График функции находится выше оси $Ox$ на интервале между точками пересечения, то есть от 0 до 4.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (0; 4)$.

3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции.
Данный график — парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы, являющаяся точкой максимума, находится в точке $x = 2$.
Промежуток возрастания: функция возрастает на промежутке до вершины.
Промежуток убывания: функция убывает на промежутке после вершины.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 2]$; функция убывает на промежутке $[2; +\infty)$.

График в

1) нули функции;
График пересекает ось $Ox$ в одной точке $x = 3$.
Ответ: $x = 3$.

2) при каких значениях аргумента значения функции положительные;
График находится выше оси $Ox$ на всей своей левой ветви (при $x < 2$) и на части правой ветви от вертикальной асимптоты $x=2$ до нуля функции $x=3$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 2) \cup (2; 3)$.

3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции.
У функции есть вертикальная асимптота $x=2$, которая разделяет график на две части.
Промежутки возрастания: функция возрастает на всей левой ветви (при $x < 2$) и на части правой ветви от асимптоты до точки локального максимума (приблизительно $x \approx 2.75$).
Промежуток убывания: функция убывает на правой ветви после точки локального максимума.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 2)$ и $(2; 2.75]$; функция убывает на промежутке $[2.75; +\infty)$.