Страница 22 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

112. Пусть $x_1$ и $x_2$ — нули функции $y = 4x^2 - (3a + 2)x + a - 1$. При каких значениях $a$ выполняется неравенство $x_1 < 3 < x_2$?

Дана квадратичная функция $y = f(x) = 4x^2 - (3a + 2)x + a - 1$. Ее нули $x_1$ и $x_2$ являются корнями соответствующего квадратного уравнения.

Графиком этой функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 4, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Условие $x_1 < 3 < x_2$ означает, что число 3 находится строго между корнями квадратного трехчлена. Для параболы, ветви которой направлены вверх, это условие равносильно тому, что значение функции в точке $x=3$ должно быть отрицательным, то есть $f(3) < 0$.

Выполнение условия $f(3) < 0$ автоматически гарантирует, что уравнение имеет два различных действительных корня (то есть дискриминант $D > 0$), поскольку если парабола с ветвями вверх принимает отрицательное значение, она обязательно пересекает ось Ox в двух точках.

Подставим $x=3$ в уравнение функции и решим полученное неравенство относительно $a$:

$f(3) = 4(3)^2 - (3a + 2) \cdot 3 + a - 1 < 0$

$4 \cdot 9 - (9a + 6) + a - 1 < 0$

$36 - 9a - 6 + a - 1 < 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(36 - 6 - 1) + (-9a + a) < 0$

$29 - 8a < 0$

$29 < 8a$

$a > \frac{29}{8}$

Ответ: $a > \frac{29}{8}$.

113. Решите неравенство:

1) $x^2 - 5x - 36 < 0;$

2) $x^2 + 7x - 30 \ge 0;$

3) $-x^2 + 4,6x - 2,4 < 0;$

4) $-3x^2 + 4x + 4 > 0;$

5) $4x^2 - 16x \le 0;$

6) $9x^2 - 25 > 0;$

7) $4x^2 - 12x + 9 > 0;$

8) $x^2 - 14x + 49 \ge 0;$

9) $5x^2 - 2x + 1 > 0;$

10) $64x^2 - 16x + 1 \le 0;$

11) $9x^2 + 30x + 25 < 0;$

12) $2x^2 - 5x + 4 \le 0.$

1) $x^2 - 5x - 36 < 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x - 36 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 13}{2} = -4$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 13}{2} = 9$.

Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), ветви параболы $y = x^2 - 5x - 36$ направлены вверх. Неравенство $x^2 - 5x - 36 < 0$ выполняется, когда парабола находится ниже оси Ox, то есть между корнями.

Поскольку неравенство строгое, корни не включаются в решение.

Ответ: $x \in (-4; 9)$.

2) $x^2 + 7x - 30 \geq 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 7x - 30 = 0$.

Дискриминант $D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 = 13^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-7 - 13}{2} = -10$ и $x_2 = \frac{-7 + 13}{2} = 3$.

Ветви параболы $y = x^2 + 7x - 30$ направлены вверх ($a=1>0$). Неравенство $\geq 0$ выполняется, когда парабола находится на оси Ox или выше нее, то есть левее меньшего корня и правее большего корня.

Поскольку неравенство нестрогое, корни включаются в решение.

Ответ: $x \in (-\infty; -10] \cup [3; \infty)$.

3) $-x^2 + 4,6x - 2,4 < 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 - 4,6x + 2,4 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 4,6x + 2,4 = 0$.

Дискриминант $D = (4,6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2,4 = 21,16 - 9,6 = 11,56 = 3,4^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{4,6 - 3,4}{2} = \frac{1,2}{2} = 0,6$ и $x_2 = \frac{4,6 + 3,4}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Ветви параболы $y = x^2 - 4,6x + 2,4$ направлены вверх ($a=1>0$). Неравенство $> 0$ выполняется, когда парабола находится выше оси Ox, то есть за пределами корней.

Поскольку неравенство строгое, корни не включаются в решение.

Ответ: $x \in (-\infty; 0,6) \cup (4; \infty)$.

4) $-3x^2 + 4x + 4 > 0$

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства: $3x^2 - 4x - 4 < 0$.

Найдем корни уравнения $3x^2 - 4x - 4 = 0$.

Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64 = 8^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{4 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$ и $x_2 = \frac{4 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$.

Ветви параболы $y = 3x^2 - 4x - 4$ направлены вверх ($a=3>0$). Неравенство $< 0$ выполняется между корнями.

Неравенство строгое, поэтому корни не включаются.

Ответ: $x \in (-\frac{2}{3}; 2)$.

5) $4x^2 - 16x \leq 0$

Найдем корни уравнения $4x^2 - 16x = 0$.

Вынесем общий множитель за скобки: $4x(x - 4) = 0$.

Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Ветви параболы $y = 4x^2 - 16x$ направлены вверх ($a=4>0$). Неравенство $\leq 0$ выполняется на оси Ox и ниже нее, то есть между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in [0; 4]$.

6) $9x^2 - 25 > 0$

Найдем корни уравнения $9x^2 - 25 = 0$.

Это разность квадратов: $(3x - 5)(3x + 5) = 0$.

Корни: $x_1 = -\frac{5}{3}$ и $x_2 = \frac{5}{3}$.

Ветви параболы $y = 9x^2 - 25$ направлены вверх ($a=9>0$). Неравенство $> 0$ выполняется выше оси Ox, то есть за пределами корней.

Неравенство строгое, корни не включаются.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{5}{3}) \cup (\frac{5}{3}; \infty)$.

7) $4x^2 - 12x + 9 > 0$

Левая часть неравенства является полным квадратом: $(2x - 3)^2$.

Получаем неравенство $(2x - 3)^2 > 0$.

Квадрат любого действительного числа, кроме нуля, всегда положителен. Выражение равно нулю при $2x - 3 = 0$, то есть при $x = \frac{3}{2}$.

Следовательно, неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x = \frac{3}{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}; \infty)$.

8) $x^2 - 14x + 49 \geq 0$

Левая часть является полным квадратом: $(x - 7)^2$.

Получаем неравенство $(x - 7)^2 \geq 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю). Следовательно, неравенство выполняется для любого действительного значения $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; \infty)$.

9) $5x^2 - 2x + 1 > 0$

Найдем дискриминант уравнения $5x^2 - 2x + 1 = 0$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 4 - 20 = -16$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола $y = 5x^2 - 2x + 1$ не пересекает ось Ox. Коэффициент при $x^2$ равен 5 (положительный), поэтому ветви параболы направлены вверх, и вся парабола лежит выше оси Ox. Таким образом, выражение $5x^2 - 2x + 1$ всегда положительно.

Неравенство выполняется для любого действительного $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; \infty)$.

10) $64x^2 - 16x + 1 \leq 0$

Левая часть является полным квадратом: $(8x - 1)^2$.

Получаем неравенство $(8x - 1)^2 \leq 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(8x - 1)^2 \geq 0$. Единственный случай, когда это неравенство может быть выполнено, это когда $(8x - 1)^2 = 0$.

Это происходит при $8x - 1 = 0$, то есть $x = \frac{1}{8}$.

Ответ: $x = \frac{1}{8}$.

11) $9x^2 + 30x + 25 < 0$

Левая часть является полным квадратом: $(3x + 5)^2$.

Получаем неравенство $(3x + 5)^2 < 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(3x + 5)^2 \geq 0$. Он никогда не может быть строго меньше нуля.

Следовательно, у неравенства нет решений.

Ответ: Решений нет.

12) $2x^2 - 5x + 4 \leq 0$

Найдем дискриминант уравнения $2x^2 - 5x + 4 = 0$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 25 - 32 = -7$.

Так как $D < 0$, у уравнения нет действительных корней. Коэффициент при $x^2$ равен 2 (положительный), поэтому ветви параболы $y = 2x^2 - 5x + 4$ направлены вверх, и вся парабола лежит выше оси Ox. Это означает, что выражение $2x^2 - 5x + 4$ всегда положительно.

Неравенство $\leq 0$ никогда не выполняется.

Ответ: Решений нет.

114. Решите неравенство:

1) $x^2 \le 9;$

2) $x^2 > 7;$

3) $7x^2 \le 3x;$

4) $-5x^2 \ge -10x;$

5) $-3x^2 < -75;$

6) $0,6x^2 < -18x.$

Перенесем все члены неравенства $x^2 \le 9$ в левую часть:
$x^2 - 9 \le 0$
Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$(x - 3)(x + 3) \le 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $(x - 3)(x + 3) = 0$. Корнями являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.
Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала. Поскольку мы решаем неравенство для параболы $f(x) = x^2 - 9$ с ветвями вверх, то значения $f(x) \le 0$ будут находиться между корнями, включая сами корни.
Таким образом, $-3 \le x \le 3$.
Ответ: $x \in [-3; 3]$.

Рассмотрим неравенство $x^2 > 7$.
Перенесем 7 в левую часть:
$x^2 - 7 > 0$
Разложим левую часть на множители:
$(x - \sqrt{7})(x + \sqrt{7}) > 0$
Корнями соответствующего уравнения являются $x_1 = -\sqrt{7}$ и $x_2 = \sqrt{7}$.
Графиком функции $y = x^2 - 7$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны (больше нуля) на промежутках левее и правее корней, не включая сами корни.
Следовательно, решение неравенства: $x < -\sqrt{7}$ или $x > \sqrt{7}$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{7}) \cup (\sqrt{7}; +\infty)$.

Перенесем все члены неравенства $7x^2 \le 3x$ в левую часть:
$7x^2 - 3x \le 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(7x - 3) \le 0$
Найдем корни уравнения $x(7x - 3) = 0$. Это $x_1 = 0$ и $7x-3=0 \implies x_2 = 3/7$.
Графиком функции $y = 7x^2 - 3x$ является парабола с ветвями вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Неравенство $\le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.
Следовательно, $0 \le x \le 3/7$.
Ответ: $x \in [0; 3/7]$.

Рассмотрим неравенство $-5x^2 \ge -10x$.
Перенесем все члены в левую часть:
$-5x^2 + 10x \ge 0$
Разделим обе части неравенства на $-5$, изменив при этом знак неравенства на противоположный:
$x^2 - 2x \le 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 2) \le 0$
Корнями уравнения $x(x - 2) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.
Графиком функции $y = x^2 - 2x$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции не положительны ($ \le 0 $) на промежутке между корнями, включая концы.
Следовательно, $0 \le x \le 2$.
Ответ: $x \in [0; 2]$.

Рассмотрим неравенство $-3x^2 < -75$.
Разделим обе части на $-3$, не забывая изменить знак неравенства на противоположный:
$x^2 > 25$
Перенесем 25 в левую часть:
$x^2 - 25 > 0$
Разложим левую часть на множители:
$(x - 5)(x + 5) > 0$
Корни уравнения $(x - 5)(x + 5) = 0$ равны $x_1 = -5$ и $x_2 = 5$.
Графиком функции $y = x^2 - 25$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны на интервалах вне корней.
Следовательно, решение неравенства: $x < -5$ или $x > 5$.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (5; +\infty)$.

Рассмотрим неравенство $0,6x^2 < -18x$.
Перенесем все члены в левую часть:
$0,6x^2 + 18x < 0$
Вынесем общий множитель $0,6x$ за скобки:
$0,6x(x + 30) < 0$
Найдем корни уравнения $0,6x(x + 30) = 0$. Это $x_1 = -30$ и $x_2 = 0$.
Графиком функции $y = 0,6x^2 + 18x$ является парабола с ветвями вверх (коэффициент $0,6 > 0$). Значения функции отрицательны (меньше нуля) на интервале между корнями.
Следовательно, $-30 < x < 0$.
Ответ: $x \in (-30; 0)$.

115. Найдите множество решений неравенства:

1) $(3x + 1)(x - 2) < 6;$

2) $(x + 3)^2 - 16 \ge (1 - 2x)^2;$

3) $\frac{x + 3}{5} - \frac{x^2 - 4}{8} \le 1;$

4) $\frac{3x^2 - 11}{8} < 10 - \frac{37 - x^2}{6}.$

1) $(3x + 1)(x - 2) < 6$

Сначала раскроем скобки в левой части неравенства:

$3x^2 - 6x + x - 2 < 6$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть:

$3x^2 - 5x - 2 - 6 < 0$

$3x^2 - 5x - 8 < 0$

Теперь решим соответствующее квадратное уравнение $3x^2 - 5x - 8 = 0$, чтобы найти корни.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25 + 96 = 121$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$

Графиком функции $y = 3x^2 - 5x - 8$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($3 > 0$). Неравенство $3x^2 - 5x - 8 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Следовательно, решением является интервал $(-1; \frac{8}{3})$.

Ответ: $x \in (-1; \frac{8}{3})$.

2) $(x + 3)^2 - 16 \ge (1 - 2x)^2$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$(x^2 + 6x + 9) - 16 \ge 1 - 4x + 4x^2$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$x^2 + 6x - 7 \ge 1 - 4x + 4x^2$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:

$0 \ge (1 - 4x + 4x^2) - (x^2 + 6x - 7)$

$0 \ge 1 - 4x + 4x^2 - x^2 - 6x + 7$

$0 \ge 3x^2 - 10x + 8$

Или, что то же самое:

$3x^2 - 10x + 8 \le 0$

Найдем корни уравнения $3x^2 - 10x + 8 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 - 96 = 4$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{10 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 2}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

$x_2 = \frac{10 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 2}{6} = \frac{12}{6} = 2$

Графиком функции $y = 3x^2 - 10x + 8$ является парабола с ветвями вверх ($3 > 0$). Неравенство $3x^2 - 10x + 8 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решением является отрезок $[\frac{4}{3}; 2]$.

Ответ: $x \in [\frac{4}{3}; 2]$.

3) $\frac{x + 3}{5} - \frac{x^2 - 4}{8} \le 1$

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который равен $40$, чтобы избавиться от дробей:

$40 \cdot \frac{x + 3}{5} - 40 \cdot \frac{x^2 - 4}{8} \le 40 \cdot 1$

$8(x + 3) - 5(x^2 - 4) \le 40$

Раскроем скобки:

$8x + 24 - 5x^2 + 20 \le 40$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все в левую часть:

$-5x^2 + 8x + 44 - 40 \le 0$

$-5x^2 + 8x + 4 \le 0$

Умножим неравенство на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$5x^2 - 8x - 4 \ge 0$

Найдем корни уравнения $5x^2 - 8x - 4 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 64 + 80 = 144$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{8 - \sqrt{144}}{2 \cdot 5} = \frac{8 - 12}{10} = \frac{-4}{10} = -0.4$

$x_2 = \frac{8 + \sqrt{144}}{2 \cdot 5} = \frac{8 + 12}{10} = \frac{20}{10} = 2$

Графиком функции $y = 5x^2 - 8x - 4$ является парабола с ветвями вверх ($5 > 0$). Неравенство $5x^2 - 8x - 4 \ge 0$ выполняется вне отрезка между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решением является объединение лучей $(-\infty; -0.4]$ и $[2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -0.4] \cup [2; +\infty)$.

4) $\frac{3x^2 - 11}{8} < 10 - \frac{37 - x^2}{6}$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть:

$\frac{3x^2 - 11}{8} + \frac{37 - x^2}{6} < 10$

Приведем дроби к общему знаменателю $24$:

$\frac{3(3x^2 - 11) + 4(37 - x^2)}{24} < 10$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{9x^2 - 33 + 148 - 4x^2}{24} < 10$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{5x^2 + 115}{24} < 10$

Умножим обе части неравенства на $24$:

$5x^2 + 115 < 240$

Перенесем свободный член в правую часть:

$5x^2 < 240 - 115$

$5x^2 < 125$

Разделим обе части на $5$:

$x^2 < 25$

Это неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x < 5 \\ x > -5 \end{cases}$

Следовательно, решением является интервал $(-5; 5)$.

Ответ: $x \in (-5; 5)$.

116. Найдите целые решения неравенства:

1) $x^2 + 6x \leq 0$;

2) $x^2 - 8 < 0$;

3) $-6x^2 + 13x - 5 \geq 0$;

4) $21x^2 - 22x + 5 \leq 0$;

5) $-\frac{1}{4}x^2 - 3x + 7 > 0$;

6) $x^2 + 3,5x - 2 \leq 0$.

1) $x^2 + 6x \le 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 6x = 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(x + 6) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = -6$ и $x_2 = 0$.
Графиком функции $y = x^2 + 6x$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$).
Неравенство $x^2 + 6x \le 0$ выполняется на том промежутке, где график функции находится на оси Ox или ниже нее. Это промежуток между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства: $x \in [-6; 0]$.
Целые числа, входящие в этот промежуток: -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0.
Ответ: -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0.

2) $x^2 - 8 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 8 = 0$.
$x^2 = 8 \implies x = \pm\sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$.
Графиком функции $y = x^2 - 8$ является парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$).
Неравенство $x^2 - 8 < 0$ выполняется на промежутке, где график функции находится строго ниже оси Ox, то есть между корнями.
Решение неравенства: $x \in (-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$.
Оценим значение $2\sqrt{2}$. Так как $2^2=4$ и $3^2=9$, то $2 < \sqrt{8} < 3$. Более точно, $2\sqrt{2} \approx 2,83$.
Следовательно, мы ищем целые числа в интервале $(-2,83; 2,83)$.
Этому условию удовлетворяют числа: -2, -1, 0, 1, 2.
Ответ: -2, -1, 0, 1, 2.

3) $-6x^2 + 13x - 5 \ge 0$

Чтобы упростить решение, умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный: $6x^2 - 13x + 5 \le 0$.
Найдем корни уравнения $6x^2 - 13x + 5 = 0$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 6 \cdot 5 = 169 - 120 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 7}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$.
График функции $y = 6x^2 - 13x + 5$ - парабола с ветвями вверх. Неравенство $\le 0$ выполняется между корнями включительно.
Решение неравенства: $x \in [\frac{1}{2}; \frac{5}{3}]$.
В десятичном виде это промежуток $[0,5; 1,66...]$. Единственное целое число в этом промежутке - это 1.
Ответ: 1.

4) $21x^2 - 22x + 5 \le 0$

Найдем корни уравнения $21x^2 - 22x + 5 = 0$.
$D = (-22)^2 - 4 \cdot 21 \cdot 5 = 484 - 420 = 64 = 8^2$.
$x_1 = \frac{22 - 8}{2 \cdot 21} = \frac{14}{42} = \frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{22 + 8}{2 \cdot 21} = \frac{30}{42} = \frac{5}{7}$.
График функции $y = 21x^2 - 22x + 5$ - парабола с ветвями вверх. Неравенство $\le 0$ выполняется между корнями включительно.
Решение неравенства: $x \in [\frac{1}{3}; \frac{5}{7}]$.
В десятичном виде это промежуток приблизительно $[0,33; 0,71]$.
В этом промежутке нет целых чисел.
Ответ: нет целых решений.

5) $-\frac{1}{4}x^2 - 3x + 7 > 0$

Умножим обе части неравенства на -4, чтобы избавиться от дроби и отрицательного коэффициента. При этом знак неравенства изменится на противоположный: $x^2 + 12x - 28 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 12x - 28 = 0$.
$D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 144 + 112 = 256 = 16^2$.
$x_1 = \frac{-12 - 16}{2} = -14$.
$x_2 = \frac{-12 + 16}{2} = 2$.
График функции $y = x^2 + 12x - 28$ - парабола с ветвями вверх. Неравенство $< 0$ выполняется между корнями, не включая их.
Решение неравенства: $x \in (-14; 2)$.
Целые числа, входящие в этот интервал: -13, -12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1.
Ответ: -13, -12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1.

6) $x^2 + 3,5x - 2 \le 0$

Умножим обе части неравенства на 2, чтобы работать с целыми коэффициентами: $2x^2 + 7x - 4 \le 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 + 7x - 4 = 0$.
$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 = 9^2$.
$x_1 = \frac{-7 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-16}{4} = -4$.
$x_2 = \frac{-7 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
График функции $y = 2x^2 + 7x - 4$ - парабола с ветвями вверх. Неравенство $\le 0$ выполняется между корнями включительно.
Решение неравенства: $x \in [-4; \frac{1}{2}]$.
В десятичном виде это промежуток $[-4; 0,5]$.
Целые числа, входящие в этот промежуток: -4, -3, -2, -1, 0.
Ответ: -4, -3, -2, -1, 0.

117. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{x^2 + 3x - 40}$;

2) $y = \frac{x + 2}{\sqrt{3x - 12x^2}}$;

3) $y = \sqrt{x^2 - 4x - 21} - \frac{6}{x^2 - 64}$;

4) $y = \frac{x - 8}{\sqrt{5 + 19x - 4x^2}} + \frac{x - 4}{3x^2 - x - 4}$.

1) Область определения функции $y = \sqrt{x^2 + 3x - 40}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Решим неравенство:
$x^2 + 3x - 40 \ge 0$
Сначала найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 3x - 40 = 0$.
Используем теорему Виета или формулу для корней. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169 = 13^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-3 - 13}{2} = \frac{-16}{2} = -8$ и $x_2 = \frac{-3 + 13}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
Квадратный трехчлен $x^2 + 3x - 40$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, выражение принимает неотрицательные значения на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.
Таким образом, область определения функции: $x \in (-\infty, -8] \cup [5, +\infty)$.
Ответ: $(-\infty, -8] \cup [5, +\infty)$.

2) Для функции $y = \frac{x + 2}{\sqrt{3x - 12x^2}}$ область определения задается условием, что выражение, стоящее под корнем в знаменателе, должно быть строго положительным (подкоренное выражение не может быть отрицательным, а знаменатель не может быть равен нулю).
Решим неравенство:
$3x - 12x^2 > 0$
Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:
$3x(1 - 4x) > 0$
Найдем корни уравнения $3x(1 - 4x) = 0$: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{1}{4}$.
Выражение $3x - 12x^2$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен). Следовательно, оно принимает положительные значения на интервале между корнями.
Таким образом, область определения функции: $x \in (0, \frac{1}{4})$.
Ответ: $(0, \frac{1}{4})$.

3) Область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 4x - 21} - \frac{6}{x^2 - 64}$ является пересечением областей определения двух ее слагаемых.
1. Для слагаемого $\sqrt{x^2 - 4x - 21}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^2 - 4x - 21 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 21 = 0$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100 = 10^2$.
Корни: $x_1 = \frac{4 - 10}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{4 + 10}{2} = 7$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -3] \cup [7, +\infty)$.
2. Для слагаемого $\frac{6}{x^2 - 64}$ знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 - 64 \ne 0$.
$x^2 \ne 64 \implies x \ne 8$ и $x \ne -8$.
Теперь найдем пересечение полученных множеств. Из множества $(-\infty, -3] \cup [7, +\infty)$ нужно исключить точки $-8$ и $8$. Обе точки попадают в это множество, поэтому их необходимо исключить.
Получаем: $x \in (-\infty, -8) \cup (-8, -3] \cup [7, 8) \cup (8, +\infty)$.
Ответ: $(-\infty, -8) \cup (-8, -3] \cup [7, 8) \cup (8, +\infty)$.

4) Область определения функции $y = \frac{x - 8}{\sqrt{5 + 19x - 4x^2}} + \frac{x - 4}{3x^2 - x - 4}$ является пересечением областей определения двух ее слагаемых.
1. Для первого слагаемого выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $5 + 19x - 4x^2 > 0$.
Умножим неравенство на $-1$ и изменим знак: $4x^2 - 19x - 5 < 0$.
Найдем корни уравнения $4x^2 - 19x - 5 = 0$. Дискриминант $D = (-19)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 361 + 80 = 441 = 21^2$.
Корни: $x_1 = \frac{19 - 21}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$ и $x_2 = \frac{19 + 21}{8} = \frac{40}{8} = 5$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство $4x^2 - 19x - 5 < 0$ выполняется на интервале между корнями: $x \in (-\frac{1}{4}, 5)$.
2. Для второго слагаемого знаменатель не должен быть равен нулю: $3x^2 - x - 4 \ne 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 - x - 4 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.
Корни: $x_1 = \frac{1 - 7}{6} = -1$ и $x_2 = \frac{1 + 7}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
Следовательно, $x \ne -1$ и $x \ne \frac{4}{3}$.
Найдем пересечение множеств. Из интервала $(-\frac{1}{4}, 5)$ нужно исключить точки $-1$ и $\frac{4}{3}$.
Точка $x = -1$ не принадлежит интервалу $(-\frac{1}{4}, 5)$, так как $-1 < -0.25$.
Точка $x = \frac{4}{3}$ принадлежит интервалу $(-\frac{1}{4}, 5)$, так как $-0.25 < \frac{4}{3} < 5$. Эту точку нужно исключить.
Итоговая область определения: $x \in (-\frac{1}{4}, \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3}, 5)$.
Ответ: $(-\frac{1}{4}, \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3}, 5)$.