Номер 115, страница 22 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

115. Найдите множество решений неравенства:

1) $(3x + 1)(x - 2) < 6;$

2) $(x + 3)^2 - 16 \ge (1 - 2x)^2;$

3) $\frac{x + 3}{5} - \frac{x^2 - 4}{8} \le 1;$

4) $\frac{3x^2 - 11}{8} < 10 - \frac{37 - x^2}{6}.$

1) $(3x + 1)(x - 2) < 6$

Сначала раскроем скобки в левой части неравенства:

$3x^2 - 6x + x - 2 < 6$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть:

$3x^2 - 5x - 2 - 6 < 0$

$3x^2 - 5x - 8 < 0$

Теперь решим соответствующее квадратное уравнение $3x^2 - 5x - 8 = 0$, чтобы найти корни.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25 + 96 = 121$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$

Графиком функции $y = 3x^2 - 5x - 8$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($3 > 0$). Неравенство $3x^2 - 5x - 8 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Следовательно, решением является интервал $(-1; \frac{8}{3})$.

Ответ: $x \in (-1; \frac{8}{3})$.

2) $(x + 3)^2 - 16 \ge (1 - 2x)^2$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$(x^2 + 6x + 9) - 16 \ge 1 - 4x + 4x^2$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$x^2 + 6x - 7 \ge 1 - 4x + 4x^2$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:

$0 \ge (1 - 4x + 4x^2) - (x^2 + 6x - 7)$

$0 \ge 1 - 4x + 4x^2 - x^2 - 6x + 7$

$0 \ge 3x^2 - 10x + 8$

Или, что то же самое:

$3x^2 - 10x + 8 \le 0$

Найдем корни уравнения $3x^2 - 10x + 8 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 - 96 = 4$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{10 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 2}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

$x_2 = \frac{10 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 2}{6} = \frac{12}{6} = 2$

Графиком функции $y = 3x^2 - 10x + 8$ является парабола с ветвями вверх ($3 > 0$). Неравенство $3x^2 - 10x + 8 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решением является отрезок $[\frac{4}{3}; 2]$.

Ответ: $x \in [\frac{4}{3}; 2]$.

3) $\frac{x + 3}{5} - \frac{x^2 - 4}{8} \le 1$

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который равен $40$, чтобы избавиться от дробей:

$40 \cdot \frac{x + 3}{5} - 40 \cdot \frac{x^2 - 4}{8} \le 40 \cdot 1$

$8(x + 3) - 5(x^2 - 4) \le 40$

Раскроем скобки:

$8x + 24 - 5x^2 + 20 \le 40$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все в левую часть:

$-5x^2 + 8x + 44 - 40 \le 0$

$-5x^2 + 8x + 4 \le 0$

Умножим неравенство на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$5x^2 - 8x - 4 \ge 0$

Найдем корни уравнения $5x^2 - 8x - 4 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 64 + 80 = 144$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{8 - \sqrt{144}}{2 \cdot 5} = \frac{8 - 12}{10} = \frac{-4}{10} = -0.4$

$x_2 = \frac{8 + \sqrt{144}}{2 \cdot 5} = \frac{8 + 12}{10} = \frac{20}{10} = 2$

Графиком функции $y = 5x^2 - 8x - 4$ является парабола с ветвями вверх ($5 > 0$). Неравенство $5x^2 - 8x - 4 \ge 0$ выполняется вне отрезка между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решением является объединение лучей $(-\infty; -0.4]$ и $[2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -0.4] \cup [2; +\infty)$.

4) $\frac{3x^2 - 11}{8} < 10 - \frac{37 - x^2}{6}$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть:

$\frac{3x^2 - 11}{8} + \frac{37 - x^2}{6} < 10$

Приведем дроби к общему знаменателю $24$:

$\frac{3(3x^2 - 11) + 4(37 - x^2)}{24} < 10$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{9x^2 - 33 + 148 - 4x^2}{24} < 10$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{5x^2 + 115}{24} < 10$

Умножим обе части неравенства на $24$:

$5x^2 + 115 < 240$

Перенесем свободный член в правую часть:

$5x^2 < 240 - 115$

$5x^2 < 125$

Разделим обе части на $5$:

$x^2 < 25$

Это неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x < 5 \\ x > -5 \end{cases}$

Следовательно, решением является интервал $(-5; 5)$.

Ответ: $x \in (-5; 5)$.